Mathematica教程-2常用的數(shù)學(xué)函數(shù)

常用的數(shù)學(xué)函數(shù)

Mathematica里定義了許多數(shù)學(xué)函數(shù)，包括三角函數(shù)、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、雙曲函數(shù)和許多特殊函數(shù)。這些函數(shù)都可以用在表達(dá)式里。命名規(guī)則一般使用習(xí)慣的英文縮寫(xiě)，應(yīng)該注意的是：函數(shù)名都是由字符串表示，字符之間不能有空格；函數(shù)名字的第一個(gè)字母總是大寫(xiě)的，后面的字母是小寫(xiě)的，但如果名字是由幾個(gè)段構(gòu)成的（如ArcSin），則每段的第一個(gè)字母都必須大寫(xiě)，這些是Mathematica內(nèi)部函數(shù)取名的規(guī)則。再一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)特別注意：函數(shù)的參數(shù)是用方括號(hào)括起來(lái)的。如Sin[x]三角函數(shù)：Sin[x]，Cos[x]，Tan[x]，Cot[x]等反三角函數(shù)：ArcSin[x]，ArcCos[x]，ArcTan[x]等雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)：Sinh[x]，Cosh[x]，Tanh[x]，ArcSinh[x]，ArcCosh[x]，ArcTanh[x]指數(shù)函數(shù)E^x（或Exp[x]），指數(shù)函數(shù)a^x對(duì)數(shù)函數(shù)lnx用Log[x]，以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)用Log[a,x]平方根函數(shù)：Sqrt[x]，絕對(duì)值函數(shù)：Abs[x]Max[x1,x1,……]:取x1,x2,……中的最大值Min[x1,x2,……]:取x1,x2,……中的最小值Sign[x]:符號(hào)函數(shù)（x大于0時(shí)值為1，小于0時(shí)值為-1）

常用函數(shù)的命令格式

Round[x]:最接近x的整數(shù)Floor[x]:不大于x的最大整數(shù)Ceiling[x]:不小于x的最小整數(shù)Abs[x]:x的絕對(duì)值或復(fù)數(shù)的摸

x+Iy:復(fù)數(shù)x+iy；Re[z]:復(fù)數(shù)z的實(shí)部Im[z]:復(fù)數(shù)z的虛部；Arg[z]:復(fù)數(shù)z的幅角Divisors[n]:能整除n的所有整數(shù)組成的表Mod[m,n]:m被n除的正余數(shù)Quotient[m,n]:m/n的整數(shù)部分GCD[n1,n2……]:求n1,n1，……的最大公因數(shù)LCM[n1,n2……]:求n1,n2，……的最小公倍數(shù)。Random[]:0~1之間的隨機(jī)數(shù)Random[Real,xmax]:0~xmax之間的隨機(jī)數(shù)Random[Real,{xmin,xmax}]:xmin~xmax之間的隨機(jī)數(shù)N[表達(dá)式，k]--求表達(dá)式的近似值，k為可選項(xiàng)，它指定計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)。系統(tǒng)默認(rèn)精度為六位有效數(shù)字N!

:

n的階乘N!!

:

n的雙階乘

在Mathematica中，除使用系統(tǒng)提供的函數(shù)外，也可自定義函數(shù)。定義一個(gè)不帶附加條件的一元函數(shù)的規(guī)則是f[x_]:=或f[x_]=后面緊跟一個(gè)以x為變量的表達(dá)式，其中x_稱(chēng)為形式參數(shù)。如果需要給出附加條件，可在表達(dá)式的后面通過(guò)“/；”與表達(dá)式連接，即形式為：f[x_]：=表達(dá)式/；條件。調(diào)用自定義函數(shù)f[x_]時(shí)，只需用實(shí)在參數(shù)（變量或數(shù)值等）代替其中的形式參數(shù)即可。對(duì)于定義的函數(shù)我們可以使用命令Clear[f]清除掉或用Remove[f]從系統(tǒng)中刪除該函數(shù)。

自定義函數(shù)函數(shù)的立即定義

立即定義函數(shù)的語(yǔ)法如下f[x_]=expr函數(shù)名為f,自變量為x，expr是表達(dá)式。在執(zhí)行時(shí)會(huì)把expr

中的x都換為f的自變量x(不是x_)。函數(shù)的自變量具有局部性，只對(duì)所在的函數(shù)起作用。函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后也就沒(méi)有了，不會(huì)改變其它全局定義的同名變量的值。例:

定義函數(shù)f(x)=x*Sinx+x2,對(duì)定義的函數(shù)求函數(shù)值，并繪制它的圖形。多變量函數(shù)的定義也可以定義多個(gè)變量的函數(shù)，格式為f[x_,y_,z_,…]=expr

自變量為x,y,z….,相應(yīng)的expr中的自變量會(huì)被替換。例如定義函數(shù)f(x,y)=xy+ycosx

使用條件運(yùn)算符定義和If命令定義函數(shù)如果要定義如：

可以使用條件運(yùn)算符，基本格式為f[x_]:=expr/;condition

當(dāng)condition條件滿(mǎn)足時(shí)才把expr賦給f當(dāng)然使用If命令也可以定義上面的函數(shù)表

將一些相互關(guān)聯(lián)的元素放在一起，使它們成為一個(gè)整體。既可以對(duì)整體操作，也可以對(duì)整體中的一個(gè)元素單獨(dú)進(jìn)行操作。在Mathematica中這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就稱(chēng)作表（List）。表主要有三個(gè)用法：表｛a,b,c｝可以表示一個(gè)向量；表{{a,b},{c,d}}可表示一個(gè)矩陣。建表

在表中元素較少時(shí)，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如｛1,2,3｝

In[1]:={1,2,3}Out[1]={1,2,3}

下面是符號(hào)表達(dá)式的列表

In[2]:=1+%x+x^%Out[2]={1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2}下面是對(duì)列表中的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo)

In[3]:=D[%,x]Out[3]={2,2+2x,3+2x}In[4]:=%/.x->1Out[4]={2,4,5}下面給出x乘i的值的表，i的變化范圍為[2,6]In[1]:=Table[x*i,{i,2,6}]Out[1]={2x,3x,4x,5x,6x}In[2]:=Table[x^2,{4}]Out[2]={x2,x2,x2,x2}用Range函數(shù)生成一個(gè)序列數(shù)

In[3]:=Range[10]Out[3]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

下面這個(gè)序列是以步長(zhǎng)為2，范圍從8到20In[4]:=Range[8,20,2]Out[4]={8,10,12,14,16,18,20}如果表中的元素較多時(shí)，可以用建表函數(shù)進(jìn)行建表

Table[f,{i,min,max,step}]:以step為步長(zhǎng)給出f的數(shù)值表，i由min變到max，

Table[f,{min,max}]

:給出f的數(shù)值表，i由min變到max步長(zhǎng)為1

Table[f,max]

:

給出max個(gè)f的表Table[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},….]:生成一個(gè)多維表

TableForm[list]:以表格格式顯示一個(gè)表Range[n]:生成一個(gè)｛1,2,……..｝的列表Range[n1,n2,d]:生成｛n1,n1+d,n1+d,….,n2｝的列表表達(dá)式

表達(dá)式的含義

Mathematica

能處理數(shù)學(xué)公式，表以及圖形等多多種數(shù)據(jù)形式。盡管他們從形式上看起來(lái)不一樣，但在Mathematica內(nèi)部都被看成同種類(lèi)型，即都把他們當(dāng)作表達(dá)式的形式。Mathematica

中的表達(dá)式是由常量、變量、函數(shù)、命令、運(yùn)算符和括號(hào)等組成，最典型的形式是f[x,y]表達(dá)式的表示形式

在顯示表達(dá)式時(shí)，由于需要的不同，有時(shí)我們需要表達(dá)式的展開(kāi)形式，有時(shí)又需要其因子乘積的形式。在我們計(jì)算過(guò)程中可能得到很復(fù)雜的表達(dá)式，這時(shí)我們又需要對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。常用的處理這種情況的函數(shù)。Expand〔expr〕:按冪次升高的順序展開(kāi)表達(dá)式Factor〔expr〕:以因子乘積的形式表示表達(dá)式Simplify〔expr〕:進(jìn)行最佳的代數(shù)運(yùn)算，并給出表達(dá)式的最少項(xiàng)形式Apart[expr]:將多項(xiàng)式為化為部分分式之和表達(dá)式（x+y）^4（x+y^2）展開(kāi)：還原上面的表達(dá)式為因子乘積的形式：多項(xiàng)式表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)較多，比較復(fù)雜，在顯示時(shí)顯得比較雜亂，而且在計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有必要知道全部的內(nèi)容；或表達(dá)式的項(xiàng)很有規(guī)律，沒(méi)有必要打印全部的表達(dá)式的結(jié)果，Mathematica

提供了一些命令，可將它縮短輸出或不輸出expr/Short

:顯示表達(dá)式的一行形式Short〔expr,n〕:

顯示表達(dá)式的n行形式,命令后加一分號(hào)“；”不打印結(jié)果將表達(dá)式（1+x）^30展開(kāi)，并僅顯示一行有代表項(xiàng)的式子：

“%”稱(chēng)ditto運(yùn)算符，有重復(fù)以前內(nèi)容的意思。在計(jì)算過(guò)程中某次的計(jì)算可能要用到上次的計(jì)算結(jié)果,或者前幾次的計(jì)算結(jié)果,就可用”%”符,用法如下:

運(yùn)算結(jié)果的讀取---%運(yùn)算符%讀取上一個(gè)運(yùn)算結(jié)果%%讀取上上一個(gè)運(yùn)算結(jié)果%%...%(n個(gè))讀取前第n個(gè)運(yùn)算結(jié)果%n或Out[n]讀取第n個(gè)運(yùn)算結(jié)果置換運(yùn)算符—“/.”

代數(shù)式里的變量可以用某表達(dá)式替換，生成新的代數(shù)式。也可以把代數(shù)式里的所有的變量用數(shù)值替換，得到此代數(shù)式的計(jì)算結(jié)果。替換的格式為：expr/.x->x0：表示將表達(dá)式里的變量x用x0代替。

expr/.{x->x0,y->y0，…}：表示將代數(shù)式里的變量x,y…用x0,y0,…代替。字符串”/.”由一個(gè)除號(hào)和一個(gè)圓點(diǎn)符號(hào)組成字符串”->”由一個(gè)減號(hào)和一個(gè)大于符號(hào)連成關(guān)系表達(dá)式與邏輯表達(dá)式關(guān)系表達(dá)式是最簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，我們常用關(guān)系表達(dá)式表示一個(gè)判別條件。例如：x>0,y=0。關(guān)系表達(dá)式的一般形式是：表達(dá)式＋關(guān)系算子＋表達(dá)式。其中表達(dá)式可為數(shù)字表達(dá)式、字符表達(dá)式或意義更廣泛的表達(dá)式，如一個(gè)圖形表達(dá)式等。在我們實(shí)際運(yùn)用中，這兒的表達(dá)式常常是數(shù)字表達(dá)式或字符表達(dá)式。關(guān)系運(yùn)算判斷式說(shuō)明A==B等于A>B大于A>=B大于等于A<B小于A<=B小于等于A!=B不等于例如：

In[1]:=x=2;y=9Out[1]=9;In[2]:=x>yOut[2]=false下面是比較兩個(gè)表達(dá)式的大小

In[3]:=3^2>y+1Out[3]=True邏輯運(yùn)算四種主要邏輯運(yùn)算：邏輯非、邏輯與、邏輯或、邏輯異或!p非運(yùn)算P&&q并運(yùn)算P||q或運(yùn)算Xor[e]異或運(yùn)算常用的符號(hào)

(term)圓括號(hào)用于組合運(yùn)算f[x]方括號(hào)用于函數(shù){}花括號(hào)用于列表[[i]]雙括號(hào)用于排序%代表最后產(chǎn)生的結(jié)果%%倒數(shù)第二次的算結(jié)果%%%（k）倒數(shù)第k次的計(jì)算結(jié)果%n例出行Out[n])的結(jié)果多項(xiàng)式的表示形式

多項(xiàng)式的運(yùn)算與表達(dá)式的運(yùn)算基本一樣，表達(dá)式中的各種輸出形式也可用于多項(xiàng)式的輸出。Mathematica提供一組按不同形式表示代數(shù)式的函數(shù)。Expand[ploy]按冪次展開(kāi)多項(xiàng)式ployExpand[ploy]

全部展開(kāi)多項(xiàng)式ployExpandAll[ploy]

全部展開(kāi)多項(xiàng)式ployFactor[ploy]

對(duì)多項(xiàng)式poly進(jìn)行因式分解FactorTerms[ploy，{x,y,…}]按變量x,y,…進(jìn)行分解Simplify[poly]

把多項(xiàng)式化為最簡(jiǎn)形式FullSimplify[ploy]把多項(xiàng)式展開(kāi)并化簡(jiǎn)Collect[ploy,x]把多項(xiàng)式poly按x冪展開(kāi)Collect[poly,{x,y…}]把多項(xiàng)式poly按x,y….的冪次展開(kāi)對(duì)x^8-1進(jìn)行分解展開(kāi)多項(xiàng)式（1+x）^5化簡(jiǎn)（2+x）^4(1+x)^4(3+x)^3多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算使用Cancel函數(shù)可以約去公因式

In[8]:=Cancel[(2+3a+a^2)/(1+a)]

Out[8]=2+a兩個(gè)多項(xiàng)式相除，總能寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)有理式相加Mathematic中提供兩個(gè)函數(shù)PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分別返商式和余式。兩個(gè)多項(xiàng)式相除，總能寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)有理式相加

Mathematic中提供兩個(gè)函數(shù)PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分別返回商式和余式。方程及其根的表示

Mathematica把方程看作邏輯語(yǔ)句。在數(shù)學(xué)方程式表示為形如“x^2-2x+1=0”的形式,在Mathematica中用“==”表示邏輯等號(hào)，則方程應(yīng)表示為“x^2-2x+1==0”。方程的解同原方程一樣被看作是邏輯語(yǔ)句。例如用Roots求方程x^2-3x+2的根顯示為用Solve[]可得解集形式。求解一元代數(shù)方程

Solve[lhs==rhs,vars]:給出方程的解集

NSolve[lhs==rhs,vars]:直接給出方程的數(shù)值解集

Roots[lhs==rhs,vars]:求表達(dá)式的根

FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}]以x=x0為初始值，求方程的解當(dāng)方程中有一些復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，Solve[]

可能無(wú)法直接給出解來(lái)。此時(shí)可用FindRoot[]來(lái)求解，例如：求3Cosx=logx的解如果方程有幾個(gè)不同的解，當(dāng)給定不同的初始值時(shí)，會(huì)給出不同的解。如上例若求x=10附近的,則因此確定解的起始位置是比較關(guān)鍵，一種常用的方法是，先繪制圖形觀察后再解如上例通過(guò)圖形可斷定在x=5附近有另一根求方程組的根

使用Solve和NSolve，F(xiàn)indRoot也可求方程組的解求解求方程的全解求ax^2+bx+c=0的根.我們用Solve函數(shù)解的結(jié)果是：這不大合理，因?yàn)閷?duì)不同的a,b,c方程的解有不同的情況，而上面只是給出部分解。如果要解