2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系距離公式教師用書

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系、距離公式考試要求：1．能根據(jù)兩條直線的方程判定這兩條直線平行或垂直(邏輯推理)．2．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離(數(shù)學(xué)運(yùn)算)．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．兩條直線的位置關(guān)系(1)利用斜率關(guān)系判斷對(duì)于不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2.l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特別地，當(dāng)兩直線的斜率都不存在時(shí)，l1∥l2；當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.(2)利用方程判斷l(xiāng)1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不為0)，l1∥l2A1A2＝l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1與l2重合A1A2＝特別地，若A2，B2，C2中存在為0的情況，則利用斜率關(guān)系判斷．(3)兩直線相交交點(diǎn)——直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組A1相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行?方程組無(wú)解；重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．(1)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直線可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.(2)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直線可設(shè)為Ax＋By＋n＝0.2．三種距離(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|＝x2(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝Ax(3)兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)間的距離d＝C1應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意：(1)將方程化為最簡(jiǎn)的一般形式．(2)利用兩平行線之間的距離公式時(shí)，應(yīng)使兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2. (×)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1. (×)(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為kx0+b1+k2(4)兩平行直線2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0間的距離為0. (×)2．已知過點(diǎn)A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0B．－8C．2D．10B解析：由題意知4-mm--2＝－2，解得3．如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)A(a－1，a＋1)，B(a，a)關(guān)于直線l對(duì)稱，那么直線l的方程為()A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0A解析：因?yàn)橹本€AB的斜率為a+1-aa-1-a＝－1，所以直線l的斜率為1.設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，由題意知直線l過線段AB的中點(diǎn)2a-12，2a+12，所以2a+12＝2a-12＋b，解得b＝1，所以直線l4．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為－9．5．已知兩條直線l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1與l2之間的距離為________．52解析：兩條直線l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即兩條直線l1：4x＋2y－3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它們之間的距離d＝-3-考點(diǎn)1兩直線平行與垂直判定及應(yīng)用——基礎(chǔ)性1．“m＝1”是“直線l1：mx＋y－1＝0和直線l2：x＋my＋6＝0平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：直線l1：mx＋y－1＝0和直線l2：x＋my＋6＝0平行?m2＝1?m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要條件．故選A．2．若直線2x＋(2a－5)y＋2＝0與直線bx＋2y－1＝0互相垂直，則a2＋b2的最小值為()A．3 B．3C．5 D．5C解析：因?yàn)橹本€2x＋(2a－5)y＋2＝0與直線bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化簡(jiǎn)得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5a-22＋5≥5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)取所以a2＋b2的最小值為5.3．已知直線l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，則m＝________．0或－2解析：若l1⊥l2，則m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2?m＝0或m＝－2.1．當(dāng)方程的系數(shù)含有字母時(shí)，應(yīng)考慮斜率不存在的特殊情況，否則容易漏解．2．利用平行、垂直等條件求出參數(shù)值后，應(yīng)將求出的參數(shù)值回代，驗(yàn)證是否符合題意．如當(dāng)兩直線平行時(shí)，利用斜率相等求出的參數(shù)值可能會(huì)使兩直線重合，應(yīng)該代入驗(yàn)證是否舍去其中一個(gè)值．考點(diǎn)2兩直線的交點(diǎn)、距離問題——綜合性(1)已知直線3x＋2y－3＝0與直線6x＋my＋7＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4 B．13C．21313 DB解析：由直線3x＋2y－3＝0與直線6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直線分別為3x＋2y－3＝0與3x＋2y＋72＝0.它們之間的距離是72+332+(2)直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在x軸上，則k的值為()A．－24 B．24C．6 D．±6A解析：直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在x軸上，可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)，則2a-k=0，a+12=0，本例1(1)中，條件“直線3x＋2y－3＝0與直線6x＋my＋7＝0互相平行”改為“直線3x＋2y－3＝0與直線6x＋my＋7＝0互相垂直”，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．解：因?yàn)閮芍本€垂直，則18＋2m＝0，則m＝－9.由3x+2y-3=0，6x-1．求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．2．利用距離公式應(yīng)注意(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等．1．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)C解析：設(shè)P(x，5－3x)，則d＝x-5+3x-112+-12＝2，化簡(jiǎn)得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為2．已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)Q，且點(diǎn)P(0，4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3C解析：由x-2y+3=0，2x+3y-8=0，得x=1，因?yàn)閨PQ|＝1-02+所以滿足條件的直線l有2條．故選C．考點(diǎn)3對(duì)稱問題——應(yīng)用性考向1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱過點(diǎn)P(0，1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________________．x＋4y－4＝0解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.中心對(duì)稱問題的解法(1)若點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則x(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決．考向2點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________．-3313，413解析：設(shè)A′(由已知得y+2解得x=-3313，y=軸對(duì)稱問題的解法(1)若點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(m，n)，則有n(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決．考向3直線關(guān)于直線的對(duì)稱已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱，則l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B解析：由x-y-1=0，2x-y-2=0，得交點(diǎn)(1，0)，取l1上的點(diǎn)(0，－2)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為(－1，－1)，故直線l2的方程為y直線與直線對(duì)稱問題的解法(1)先求出兩條直線的交點(diǎn)，再在其中一條直線上取一個(gè)異于交點(diǎn)的點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)式可寫出直線的方程．(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決．1．已知點(diǎn)(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A，設(shè)直線l2經(jīng)過點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離最大時(shí)，直線l2的方程為()A．2x＋3y＋5＝0B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0D．2x－3y＋5＝0B解析：易知A(－1，1)．設(shè)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離為d，當(dāng)d＝|AB|時(shí)取得最大值，此時(shí)直線l2垂直于直線AB，又－1kA＝32，所以直線l2的方程為y－1＝32(x＋1)，即3x－2y＋5＝2．若函數(shù)y＝ax＋8與y＝－12x＋b的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則a＋b＝(A．12 B．－C．2 D．－2C解析：直線y＝ax＋8關(guān)于y＝x對(duì)稱的直線方程為x＝ay＋8，所以x＝ay＋8與y＝－12x＋b為同一直線，則a=-2，b=4.所以a＋b課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(四十四)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(2023·聊城模擬)d為點(diǎn)P(1，0)到直線x－2y＋1＝0的距離，則d＝()A．55 B．C．355 DB解析：d＝1-0+11+4＝252．已知直線l：ax＋y＋a＝0，直線m：x＋ay＋a＝0，則l∥m的充要條件是()A．a(chǎn)＝－1 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝±1 D．a(chǎn)＝0A解析：因?yàn)橹本€l：ax＋y＋a＝0，直線m：x＋ay＋a＝0，易知a＝0時(shí)，兩直線垂直，所以l∥m的充要條件是a1＝1a≠aa，即a＝－1.3．(2023·泰安質(zhì)檢)過點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0A解析：由題意可設(shè)所求直線方程為x－2y＋m＝0，將A(2，3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0.故選A．4．(多選題)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)，若點(diǎn)P(4，2)和Q(0，－4)到直線l的距離相等，則直線l的方程為()A．3x－2y－4＝0 B．x＝2C．x－2y＝0 D．3x－2y－8＝0AB解析：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝2，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，依題意可設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.因?yàn)镻(4，2)和Q(0，－4)到直線l的距離相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝32，則直線l的方程為3x－2y－4＝0.故選AB．5．已知A(1，63)，B(0，53)，作直線l，使得點(diǎn)A，B到直線l的距離均為d，且這樣的直線l恰有4條，則d的取值范圍是()A．d≥1 B．0＜d＜1C．0＜d≤1 D．0＜d＜2B解析：A，B兩點(diǎn)到直線l的距離相等，這樣的直線有兩類，第一類是過線段AB的中點(diǎn)的直線；第二類是與直線AB平行的直線．而|AB|＝1-02+63-532＝2，要使?jié)M足條件的直線l有4條，只需要6．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0D解析：設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x，y)，則它關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化簡(jiǎn)得x＋2y－3＝0.7．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為________．6x－y－6＝0解析：設(shè)點(diǎn)M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，所以b-4又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，所以所求直線的方程為y-06-0＝x-12-8．l1，l2是分別經(jīng)過A(1，1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是________．x＋2y－3＝0解析：當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大．又kAB＝-1-10-1＝2，所以兩條平行直線的斜率為k＝－12，所以直線l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即9．正方形的中心為點(diǎn)C(－1，0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程．解：點(diǎn)C到直線x＋3y－5＝0的距離d＝-1-5設(shè)與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，則點(diǎn)C到直線x＋3y＋m＝0的距離d＝-1+m1+9＝解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0.設(shè)與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0，則點(diǎn)C到直線3x－y＋n＝0的距離d＝-3+n1+9＝解得n＝－3或n＝9，所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.B組新高考培優(yōu)練10．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使這個(gè)四邊形面積最小的k的值為()A．18 B．C．14 D．A解析：直線l1，l2恒過點(diǎn)P(2，4)，直線l1在y軸上的截距為4－k，直線l2在x軸上的截距為2k2＋2.因?yàn)?＜k＜4，所以4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四邊形的面積S＝12×2×(4－k)＋12×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故當(dāng)k＝11．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為B(3，4)，若將軍從點(diǎn)A(－2，0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為y＝x，則“將軍飲馬”的最短總路程為()A．5 B．35C．45 D．53B解析：因?yàn)辄c(diǎn)A(－2，0)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，－2)，所以|A′B|即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為|A′B|＝9+36＝35.故選B．12．已知A(－2，1)，B(1，2)，點(diǎn)C為直線y＝13x上的動(dòng)點(diǎn)，則|AC|＋|BC|的最小值為(A．22 B．23C．25 D．27C解析：設(shè)B關(guān)于直線y＝13x的對(duì)稱點(diǎn)為B′(x0，y0)，則y0所以B′(2，－1)．由平面幾何知識(shí)得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝2+22+-1-1213．已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)A(1，3)到直線l的距離為2，則直線l的方程為____________________．y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，由點(diǎn)A(1，3)到直線l的距離為2，得k-31+k2＝2，解得k＝－7或k＝1，此時(shí)直線l的方程為y＝－7x或y＝x.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y＝a，由點(diǎn)A(1，3)到直線l的距離為2，得4-a2＝2，解得a＝2或a＝6，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.綜上所述，直線l的方程為y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝014．已知直線y＝2x是△ABC