數(shù)學實驗最佳分數(shù)逼近

./最佳分數(shù)逼近：學號：班級：數(shù)學與應用數(shù)學4班實驗報告實驗目的：本次實驗是要研究怎樣用分數(shù)近似值去對給定的無理數(shù)做最佳逼近,"最佳"就是既要誤差小,又要分母小,而且要精確度高。我們首先需要對"最佳"給出一個具體而明確的標準,還要尋求一個求最佳分數(shù)近似值的簡單易行的算法。實驗環(huán)境：Mathematica軟件實驗基本理論和方法：一提到祖沖之,人們都知道他對于計算的貢獻,他算出的值在3.1415926與3.1415927之間,也就是知道了的準確值得前八位有效數(shù)字,但人們往往不知道,祖沖之還給出了的分數(shù)近似值355/113,這同樣是數(shù)學史上的偉大貢獻。是無理數(shù),對于任何一個無理數(shù)a,不可能用分數(shù)p/q來作它的準確值,只能作它的近似值。近似值p/q的好壞可以用絕對誤差來衡量。越小,就說明這個近似值p/q的精確度越高。對于給定的分母q,總可以選擇適當?shù)姆肿觩使p/q最接近,也就是使誤差最小。此時一定有〈1/2q。由此可見,要提高精確度,減少誤差,一個最簡單的辦法就是增大分母q。只要q足夠大,就可以使誤差任意小。祖沖之為給出了兩個分數(shù)近似值,一個是355/113,稱為密率,另一個是22/7,稱為約率,不但密率是分母小誤差小的有秀近似值,而且約率以更小的分母7實現(xiàn)了誤差小于0.0013,仍不失為好的近似值。實驗容和步驟及結(jié)果分析：問題一：求分數(shù)對無理數(shù)的最佳逼進,已知=3.141592653579…,讓分母q依次取遍1到100的自然數(shù)。對每個分母q,取p=[q+0.5]作為分子得到一個接近的分數(shù)p/q?！策@里符號[q+0.5]表示不超過q+0.5的最大整數(shù),它也是由q四舍五入得到的整數(shù)。其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結(jié)果如下圖問題二：求下列數(shù)的連分數(shù)展開〔一的連分數(shù)展開其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結(jié)果如下圖〔二有理數(shù)的連分數(shù)展開其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結(jié)果如下圖思考：做完上述有關(guān)最佳分數(shù)逼近的實驗,我頓時想到了概率,畢竟概率也可以理解為一個數(shù)的逼近,所以下面為有關(guān)概率的實驗。問題一：已知在1000個燈泡中壞燈泡的個數(shù)從0到5均可能,求從中任取100個都是好燈泡的概率。分析：事件表示1000個燈泡有i個壞燈泡,事件A表示任意取出100個都是好燈泡,則,由全概率公式有。其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結(jié)果如下圖問題二：n個人每人攜帶一件禮物參加聯(lián)歡會。聯(lián)歡會開始后,先把所有禮物編號,然后每人任意抽取一個號,按領取禮物,請分別就參加聯(lián)歡會的人數(shù)為n=1到20人求所有人都得到別人贈送禮物的概率,并從這些概率值推斷隨著參加聯(lián)歡會人數(shù)的增加是否會出現(xiàn)所有人都得到別人贈送禮物的概率會不斷變小的情況？分析：應用有限多個相容事件的概率加法公式求解設={第i個人得到自己帶來的禮物},則表示至少有一個人得到自己帶來的禮物,由得到其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結(jié)果如下圖結(jié)果分析：從計算結(jié)果可以看出,隨著參加人數(shù)的增加,所有人都會得到別人贈送送禮物的概率不會不斷變小,而是會收斂到一個約為0.367879的極限值。實際上,從概率可知故當n很大的時候。問題三：某種檢驗方法對癌癥的準確率是95%,一個人接受了檢測并且結(jié)果呈陽性,假定這個人來自一個有100000人口的地區(qū),該地區(qū)2千人得這種癌癥,推斷接受檢測者患這種癌癥的概率是多少？分析：檢測的準確率是95%,意味著對呈陽性的檢測結(jié)果有95%是患病的,而對成陰性的檢測結(jié)果是95%是不患病的,因此僅由檢測數(shù)據(jù)不能支持準確率是95%的結(jié)論。如果事件{T>0}表示檢測結(jié)果呈陽性,{T<0}表示檢測結(jié)果呈陰性,用H和C表示沒有患病的人和患這種病的人,則有使用貝葉斯公式,當檢測結(jié)果呈陽性時,檢測者患病的概率為其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；