人教版六年級數(shù)學(xué)上冊【詳解】六年級（上）第03講 遞推計數(shù)僅答案

第三講遞推計數(shù)例題答案：927

詳解：將作文數(shù)量與完成作文的方法數(shù)列成一張表格，如下所示：

作文數(shù)作文數(shù)123456789101112完成方法數(shù)124713244481149274504927下面解釋一下這張數(shù)表是如何累加得到的．寫1、2、3篇作文的方法數(shù)可以枚舉得到．寫4篇作文的完成方法數(shù)可以分三類去數(shù)：如果第一天寫1篇，那么參考數(shù)表可得，剩下3篇有4種完成方法；如果第一天寫2篇，同樣參考數(shù)表可得，剩下2篇有2種完成方法；如果第一天寫3篇，那么剩下1篇還有1種完成方法——因此4篇作文的完成方法總數(shù)為，如上表箭頭所示．接著分析5篇作文的完成方法數(shù)，仍然分三類：第一天寫1篇，那么參考數(shù)表可得，剩下4篇還有7種完成方法；第一天寫2篇，那么剩下3篇還有4種完成方法；第一天寫3篇，那么剩下2篇還有2種完成方法——因此5篇作文的完成方法數(shù)等于……以此類推便可填滿整張表格．答案：28

詳解：我們同樣可以列出一個遞推數(shù)列，將其表示如下：

方格表大小覆蓋方法數(shù)1123469131928

下面詳細(xì)說明該問題的遞推規(guī)律．覆蓋1×3、2×3和3×3方格表的方法數(shù)可以枚舉得到．接著分析覆蓋4×3的表格有幾種覆蓋方法．如下圖所示，左上角的陰影方格在覆蓋的時候有兩種方法：豎著覆蓋或橫著覆蓋．當(dāng)豎著覆蓋時，余下部分恰好是一個3×3的方格表，覆蓋方法數(shù)為2；當(dāng)橫著覆蓋時，其下方的方格只能被橫放的紙片蓋住，因此只剩下一個1×3的方格表需要覆蓋，方法數(shù)為1．由此可得4×3表格的方法數(shù)為2+1=3．用同樣的方法分析5×3方格表大小覆蓋方法數(shù)1123469131928余下部分是的方格表，覆蓋方法有2種．陰影方格下方的格子只能用橫放的紙片蓋住，因此只剩下的方格表需要覆蓋．答案：5051

詳解：我們同樣可以列出一個遞推數(shù)列，將其寫為如下的一張數(shù)表：

直線數(shù)量12345…100平面被分成的區(qū)域數(shù)量24711165051…

下面詳細(xì)說明該遞推過程．平面上有1、2、3條直線的情形畫圖即可解決，我們從第4條直線開始分析．如右圖所示，當(dāng)畫上第4條直線時，會把原有的區(qū)域一分為二（如編號為I、II、III、IV的4個區(qū)域），因此會增加4個新區(qū)域．而之所以能產(chǎn)生4個新區(qū)域，就是由于第4條直線會與原有的3條直線產(chǎn)生3直線數(shù)量12345…100平面被分成的區(qū)域數(shù)量24711165051…第4條IIIIIIIVIIIIIIIV增加第n條直線產(chǎn)生個交點(diǎn)第n條直線被分成n部分直線的每一部分都分出一個新區(qū)域增加n個新區(qū)域ABCD010001011123222367774212020205606161616183182182182754654754754781641164016401640答案：1641

詳解：本題的方法稱為“傳球法”．傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用．如右側(cè)表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則累加得到的．比如第“1”行A下方的0，就是通過第“0”行B、C、D的數(shù)量相加得到的；第“3”行B下方的7，就是通過第“2”行A、C、D的數(shù)量相加得到的；第“4”行C下方的20，就是通過第“5”行A、B、D的數(shù)量相加得到的；第“6”行D下方的182，就是通過第“5ABCD0100010111232223677742120202056061616161831821821827546547547547816411640164016401230111123326883162222444606051201641646328448448答案：1224

詳解：我們把這個七位數(shù)看作是1、2、3三個人之間傳6次球的一個傳球順序，具體的傳球規(guī)則是：1能傳球給2、3，但不能給自己；2、3都能傳球給1、2、1230111123326883162222444606051201641646328448448答案：42

詳解：我們依照連續(xù)偶數(shù)的次序進(jìn)行遞推累加．（1）圓周上有2個點(diǎn)，只有1種連法．（2）圓周上有4個點(diǎn)，只有2種連法．（3）圓周上有6個點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6（如下左圖），那么與A1相連的點(diǎn)只能是A2、A4或A6．依次分三類情況討論：第一，A1連A2，剩下4個點(diǎn)連法數(shù)為2；第二，A1連A4，剩下4個點(diǎn)連法數(shù)為1；第三，A1連A4，剩下4個點(diǎn)連法數(shù)也為2．由此可得，6個點(diǎn)共有5種不同的連法．（4）如果圓周上有8個點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8（如下右圖），那么與A1相連的點(diǎn)有四種可能，分別是A2、A4、A6或A8．以此分四類討論，共14種方法．

A3A1A2A4A5A6A1A2A3A4A5A6A7A8還剩4個點(diǎn)，2種方法．1種方法．還剩4個點(diǎn)，2種方法．還剩6個點(diǎn)，共5種方法．剩余個點(diǎn)，方法數(shù)為．剩余個點(diǎn)，方法數(shù)為．還剩6個點(diǎn)，共5種方法．6個點(diǎn)共5種方法8個點(diǎn)共14種方法（5）如果圓周上有10個點(diǎn)，同樣考慮能與A3A1A2A4A5A6A1A2A3A4A5A6A7A8還剩4個點(diǎn)，2種方法．1種方法．還剩4個點(diǎn)，2種方法．還剩6個點(diǎn)，共5種方法．剩余個點(diǎn)，方法數(shù)為．剩余個點(diǎn)，方法數(shù)為．還剩6個點(diǎn)，共5種方法．6個點(diǎn)共5種方法8個點(diǎn)共14種方法A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10剩余8個點(diǎn)共14種方法剩余個點(diǎn)共種方法剩余個點(diǎn)共種方法剩余個點(diǎn)共種方法剩余8個點(diǎn)共14種方法AABCDEF

練習(xí)：

練習(xí)1、答案：12簡答：仿照例題1進(jìn)行分類討論，列出如下數(shù)表進(jìn)行累加即可，注意累加規(guī)則．

臺階數(shù)臺階數(shù)123456789101112上臺階方法數(shù)0111223457912練習(xí)2、

答案：21簡答：仿照例題2，找到左上角的方格，按照該方格是橫著覆蓋還是豎著覆蓋分兩類討論即可得遞推規(guī)則．

方格表大小覆蓋方法數(shù)方格表大小覆蓋方法數(shù)123581321練習(xí)3、答案：1276簡答：本題與直線分平面的問題本質(zhì)相同，因此與例題3類似進(jìn)行遞推即可．如下表所示

直線數(shù)量直線數(shù)量12345…50圓被分成的區(qū)域數(shù)量24711161276……練習(xí)4、答案：43簡答：本題的傳球規(guī)則和例題4相同，都只能把球傳給別人，因此累加規(guī)則也相同．但最后的拿球人不是發(fā)球人這一點(diǎn)要注意！

作業(yè)：答案：89

簡答：

蛋黃派數(shù)蛋黃派數(shù)12345678910吃的方法數(shù)123581321345589答案：36

簡答：

石子數(shù)石子數(shù)123456789101112抓取方法數(shù)01122458111724360123401234001111143333212131313133525151515142042052052052055820819819819819632763277327732773277答案：3277

簡答：如右表所示，用傳球法列表解決．傳球規(guī)則是：0不能發(fā)球，其它都可以發(fā)球；傳球不能傳給自己，只能傳給別人；總共傳球傳6次．答案：29

簡答：如下方左圖所示，和例題2類似，找到某個方格，依據(jù)這個方格是橫著覆蓋還是豎著覆蓋分兩種情況討論．