常微分方程41微分方程組的概念

第四章微分方程組前面幾章研究了只含一個(gè)未知函數(shù)的一階或高階方程，但在許多實(shí)際的問題和一些理論問題中，往往要涉及到若干個(gè)未知函數(shù)以及它們導(dǎo)數(shù)的方程所組成的方程組，即微分方程組，

本章將介紹一階微分方程組的一般解法，重點(diǎn)仍在線性方程組的基本理論和常系數(shù)線性方程的解法上.14.1微分方程方程組的概念4.2微分方程組的消元法和首次積分法4.3線性微分方程組的基本理論4.4常系數(shù)齊次線性微分方程組4.6微分方程組應(yīng)用舉例4.5常系數(shù)非齊次線性微分方程組2Volterra捕食-被捕食模型設(shè)有捕食種群和食餌種群生活在同一小環(huán)境中,建立微分方程組來研究?jī)煞N群個(gè)體數(shù)量隨時(shí)間的變化趨勢(shì).設(shè)t時(shí)刻食餌和捕食者的數(shù)量或密度分別為假設(shè)個(gè)體不區(qū)分大小,而且沒有個(gè)體向環(huán)境輸入或從環(huán)境輸出.一、微分方程組的實(shí)例及有關(guān)概念4.1微分方程組的概念3為環(huán)境的容納量.當(dāng)時(shí),種群規(guī)模增長,時(shí),種群規(guī)模減小.當(dāng)環(huán)境中不存在捕食者時(shí),食餌種群的增長規(guī)律用下述Logistic方程來描述稱為密度制約項(xiàng).4由于捕食者的存在,將使食餌的增長率減少,設(shè)單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)捕食者吃掉的食餌數(shù)量與該時(shí)刻食餌的總量成正比,t

時(shí)刻有y(t)個(gè)捕食者,它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)吃掉食餌的總數(shù)量為食餌種群對(duì)于捕食種群,當(dāng)不存在食餌種群時(shí),Logistic方程描述增長規(guī)律:項(xiàng)反映了捕食者僅以食餌為生.5當(dāng)存在食餌種群時(shí),被捕食者吃掉的食餌將轉(zhuǎn)化為能量去生育后代,設(shè)轉(zhuǎn)化系數(shù)為則捕食種群的增長規(guī)律為Volterra

捕食-食餌系統(tǒng):6質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)已知在空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間t

及點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系為且質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻經(jīng)過點(diǎn)求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.這個(gè)問題其實(shí)就是求微分方程組滿足初始條件的解7高階微分方程令則可以化為方程組:高階微分方程組?今后我們只研究一階微分方程組.8含有個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組線性微分方程組?非線性微分方程組?微分方程組的解?9通解及通積分

如果通解滿足方程組則稱為方程組的通積分.含有個(gè)任意常數(shù)的解

為方程組的通解

.這里相互獨(dú)立.10二、函數(shù)向量與函數(shù)矩陣（1）函數(shù)向量和函數(shù)矩陣n維函數(shù)向量注：關(guān)于向量或矩陣的代數(shù)運(yùn)算!為上的函數(shù).階函數(shù)矩陣11關(guān)于函數(shù)向量與函數(shù)矩陣的連續(xù)、微分、積分?

123.2.對(duì)任意常數(shù)性質(zhì)：1.且

且（2）矩陣及向量的范數(shù)

4.5.13向量序列和矩陣序列的收斂稱為收斂的，向量序列如果數(shù)列都是收斂的。上收斂的（一致收斂的），函數(shù)向量序列稱為在在區(qū)間如果函數(shù)列都是收斂的（一致收斂的）。在區(qū)間14函數(shù)向量級(jí)數(shù)如果其部分和所作成的函數(shù)向量序列是收斂的(一致收斂的).與數(shù)學(xué)分析中關(guān)于函數(shù)序列和函數(shù)級(jí)數(shù)有類似結(jié)論.例如：判別通常的函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性的維爾斯特拉斯判別法對(duì)于函數(shù)向量級(jí)數(shù)也成立。在區(qū)間I上收斂(一致收斂),則稱在區(qū)間I15如果而級(jí)數(shù)是收斂的，則函數(shù)向量級(jí)數(shù)在區(qū)間上是一致收斂的。如果連續(xù)函數(shù)向量序列在上是一致收斂的，則函數(shù)矩陣序列的收斂?16（3）微分方程組的向量表示矩陣形式:記初始條件初始值問題:

17例1:將初值問題化為用矩陣表示的方程組形式.解:則有

設(shè)令則有

初始條件

18三、微分方程組解的存在唯一性定理則初值問題

定理4.1設(shè)和在上連續(xù),

在內(nèi)存在惟一解

.19證明:

（1）設(shè)為的滿足初始條件的解.

（2）構(gòu)造Picard迭代向量函數(shù)序列,

的解,則是積分方程取,為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)列.令20級(jí)數(shù)的部分和由Weiestrass

判別法,級(jí)數(shù)一致收斂,所以向量函數(shù)序列一致收斂.構(gòu)造

（3）序列在上是一致收斂的.令

21（4）是積分方程在上的連續(xù)解.

22(5)解的唯一性

設(shè)是積分方程的另一連續(xù)解,則有令