第15章電路方程矩陣形式

第十五章電路方程的矩陣形式1.掌握割集的概念，熟練寫出電路關(guān)聯(lián)矩陣A、回路矩陣B、割集矩陣Q；2.掌握復合支路的概念；3.學會用矩陣形式列寫回路電流方程、結(jié)點電壓方程和割集電壓方程；重點難點割集電壓方程的列寫。11/14/20231§15-1割集1.定義連通圖G的一個割集是G的一個支路集合，如果①把這些支路移去，將使G(恰好)分離為兩個部分，②但是少移去其中一條支路，G將仍是連通的。(a，d，f)這個支路集合就是G的一個割集。adfbceQ1adfbceQ2Q3Q4(a，b，e)(b，c，f)(c，d，e)顯然，對右圖，匯集于同一結(jié)點的支路都是G的一個割集。11/14/20232全移，G一分為二；少移一條，G連通。(b,d,e,f)是(a,d,e,f)不是G的割集！Q5adfbceadfbceQ6Q7adfbceadfbceQ8(a,e,c,f)是

(a,b,c,d)

也是原因：少移去e，G仍為兩部分。11/14/20233(a,b,c,d,e)不是G的割集！原因：全移，G被分為三部分。2.割集的判斷與確定直觀方便的方法是閉合面加定義。adfbceQ9注意：有些割集可能不易用與閉合面相切割的方法表示。abecdf無法作閉合面判斷割集(a,b,c,d)。Qabcde與Q相切割的支路集合(a,b,e)

不是割集。11/14/202343.獨立割集和基本割集KCL適用于任一閉合面。屬同一割集的所有支路電流也滿足KCL。對于一個連通圖G，總可以列出與割集數(shù)量相等的KCL方程。但它們不一定線性獨立。(1)獨立割集與一組線性獨立的KCL方程相對應的割集，稱為獨立割集。abecdfQ1Q2Q3Q4當割集的所有支路連接于同一結(jié)點時，割集的KCL變?yōu)榻Y(jié)點的KCL。對較大規(guī)模的電路，用觀察法選擇一組獨立割集是困難的。借助于樹，就比較方便。11/14/20235(2)獨立割集的確定選一個樹，一條樹支與相應的連支可以構(gòu)成一個割集。由一條樹支與相應的連支構(gòu)成的割集叫單樹支割集。對于具有n個結(jié)點b條支路的連通圖，樹支數(shù)為(n-1)條。這(n-1)個單樹支割集稱為基本割集組。btl1l2l3Q獨立割集組不一定是單樹支割集。就象獨立回路不一定是單連支回路一樣。而基本割集組是獨立割集組。11/14/20236樹支為2,3,4,6時的基本割集組樹支為5,6,7,8時的基本割集組。12345678Q1Q1(1,2,5,7,8)12345678Q2Q2(1,3,5,8)12345678Q3Q3(1,4,5)Q4Q4(5,6,7,8)12345678Q1Q2Q3Q4同一個圖，有許多不同的樹，因此能選出許多不同的基本割集組。11/14/20237§15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣1.關(guān)聯(lián)矩陣的特點

描述結(jié)點與支路關(guān)聯(lián)的矩陣。是一個(n×b)階的矩陣。Aa=1234123456-1-1+100000-1-10+11i12i23i34i45i5i66①②③④+100+1+100+100-1-1(1)Aa的元素定義ajk=+1，支路k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)，且方向背離結(jié)點；ajk=-1，支路k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)，且方向指向結(jié)點；ajk=0，支路k與結(jié)點j無關(guān)聯(lián)。11/14/20238(2)降階關(guān)聯(lián)矩陣A劃去Aa中任意一行所得到的(n-1)×b階矩陣。A=1234123456-1-1+100000-1-10+1+100+1+100+100-1-11i12i23i34i45i5i66①②③④被劃去的行對應的結(jié)點可以當作參考結(jié)點。a提示給定A可以確定Aa，從而畫出有向圖。若以結(jié)點4為參考結(jié)點，把式中的第4行劃去，得A11/14/20239(3)用A表示KCL的矩陣形式b(=6)條支路電流可以用列向量表示i=[i1,i2,···,i6]TAi=A=-1-1

+100000-1-10+1+100+1+1

0

-1-1

+100000-1-10+1+100+1+10i1

i2···

i6=-i1–i2+i3-i3–i4+i6+i1+i4+i5=000Ai=結(jié)點1的KCL結(jié)點(n-1)的KCL結(jié)點2的KCL……Ai=01i12i23i34i45i5i66①②③④11/14/202310(4)用A表示KVL的矩陣形式以b(=6)階列向量表示支路電壓：u=[u1,u2,···,u6]T并取某一結(jié)點(?、?為參考，(n-1=3)個結(jié)點電壓的列向量：un

=[un1,un2,un3]T結(jié)點電壓與支路電壓之間的關(guān)系為u=ATunu1u2u3u4u5u6=1i12i23i34i45i5i66①②③④-un1+un3-un1un1-un2-un2+un3

un3un2=un1un2un3-101-100

1-10

0-11

001

010AT可以認為，這是用A表示KVL的矩陣形式。11/14/202311小結(jié)①矩陣A表示有向圖結(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。③用A表示的KVL的矩陣形式為u=ATun②用A表示的KCL的矩陣形式為Ai=011/14/2023122.回路矩陣描述回路與支路關(guān)聯(lián)的矩陣。是一個(l×b)階的矩陣。(1)B的元素定義

bjk=+1，支路k與回路j關(guān)聯(lián)，且方向一致；

bjk=-1，支路k與回路j關(guān)聯(lián)，且方向相反；

bjk=0，支路k與回路j無關(guān)聯(lián)。1231234561123456①②③④ⅠⅡⅢ010-110110010001-11B=11/14/202313(2)基本回路矩陣Bf

Bf反映了一組單連支回路與支路間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。寫B(tài)f時的排列順序：

先連支后樹支。

Bf

=[1l┆Bt](3)用B表示的KVL矩陣形式Ⅰ：u1+u3-u5+u6=0Ⅱ：u2+u3+u6=0Ⅲ：u4-u5+u6=0123456①②③④ⅠⅡⅢ123124

3561001-110101010010-11Bf

=Bu=01010–110110

010001–11u1u2u3u4u5u6=00011/14/202314(4)用B表示的KCL矩陣形式若用列向量表示l(=3)個獨立回路電流：il

=[il1il2·

·

·

ill

]T

則支路電流與回路電流之間的關(guān)系可以表示為i=BTil可以認為是用B表示KCL的矩陣形式。123456①②③④ⅠⅡⅢi1i2i3i4i5i6=il1il2il3

100

010

110

001-10-1

111

ii1il2il1+il2il3

-il1-il3il1+il2+il3=11/14/2023153.割集矩陣Q描述割集與支路關(guān)聯(lián)的矩陣。Q是一個(n-1)×b階的矩陣。各元素定義為：

qjk=+1，支路k與割集j關(guān)聯(lián)，且方向一致；

qjk=-1，支路k與割集j關(guān)聯(lián)，且方向相反；

qjk=0，支路k與割集j無關(guān)聯(lián)。若選單樹支割集為一組獨立割集，則得到基本割集矩陣Qf。排列順序為先樹支后連支。123456①②③④12312

3

4

56Q1-1-110

00100110-1-10-101Q2Q3Qf

=[1t┆Ql

]Q=11/14/202316(1)用割集矩陣Q表示的

KCL的矩陣形式因?qū)偻桓罴乃兄返碾娏饕矟M足KCL，所以Qi=0123456①②③④Q1Q2Q3-1-110

00100110-1-10-101i1i2i3i4i5i6=-i1–i2+i3i1+i4+i5-i1-i2-i4+i6=000Qf

=

[

1t┆Ql]=100010001-11

-1-10

-101

-1356124Q1Q2Q311/14/202317(2)用基本割集矩陣Qf表示KVL的矩陣形式式中ut

=[ut1ut2···ut(n-1)]T

為樹支電壓列向量。對右圖：ut

=[ut1ut2

ut3]T

u

=[u3u5

u6

u1u2

u4]Tu=Qf

utT123456①②③④Q1Q2Q3u=100-1-10010101001-1-1

-1ut1ut2ut3=ut1ut2ut3-ut1+ut2-ut3-ut1-ut3ut2-ut3

=u3=u5=u6=u1=u2=u4①當選單樹支割集為獨立割集時，樹支電壓可視為割集電壓。②樹支電壓(割集電壓)也是一組完備的獨立變量，支路電壓可以用樹支電壓表示。11/14/202318*§15-3矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系2.對任一圖G，當A、B、Q的列按相同的支路編號排列時：

ABT

=0或BAT

=0QBT

=0或BQT

=03.

若A、Bf、Qf

對應同一個樹，且支路編號按先樹支后連支的相同順序排列寫出。則有：TBtQl=-

=-AtAl-1TBt=AtAl-11.Ai=0

Qi=0u=A

unTu=Qf

utT在形式上相似。所以對某些圖G有Qf

=

A11/14/202319§15-4回路電流方程的矩陣形式一、復合支路既含阻抗(導納)，又有電源。(1)支路阻抗Zk是單一的R或L或C，但不是它們的組合；(2)可以缺少某種元件。但不許存在無伴電流源支路。二、支路方程的矩陣形式情況1電路無互感Zk-+

.Usk

.Isk

.Iek

.Ik-+

.Uk

.Uk=

Zk

.(Ik+

.ISk)

.-USk式中各量為第k條支路的阻抗、獨立電流源和獨立電壓源。無獨立源時將其置零。設

.I=[.I1.I2…

.Ib]T

.U=[

.U1

.U2…

.Ub]T

.IS=[.IS1.IS2…

.ISb]T

.US

=[

.US1

.US2…

.USb]T則

.U=Z

.(I+.IS)

.-US避免造成計算困難。11/14/202320Z稱為支路阻抗矩陣，Z是對角矩陣，對角元素是各支路阻抗。情況2電路有互感設在b條支路中，1～g支路之間相互有耦合，則有(g+1)～b支路之間無耦合，關(guān)系式同情況1。

.U=Z

.(I+.IS)

.-USZ1

Z2...Zb00Z=

.U1=

Z1

.Ie1±jwM12.Ie2±jwM13.Ie3±···±jwM1g

.Ieg

.-US1

.U2=±jwM21.Ie1+Z2

.Ie2±jwM23.Ie3±···±jwM2g

.Ieg

.-US2············

.Ug=±jwMg1.Ie1±jwMg2.Ie2±jwMg3.Ie3±···

.-USg+Zg

.Ieg.Ie1=.I1+.IS1，.Ie2=.I2+.IS2，······

；M12=M21，······。11/14/202321有互感和無互感，方程形式相同。有互感時，Z不再是對角陣。非對角線元素將含互感阻抗，其正負號根據(jù)同名端確定。=×-

.U=Z

.(I+.IS)

.-US

.U1

.U2…

.Ug

.Ug+1…

.UbZ1±jwM12…±jwM1g0…0±jwM21Z2…±jwM2g0…0…±jwMg1…±jwMg2…Zg………0000…0Zg+1…0……00……0…0…Zb..I1+IS!..I2+IS2…

..Ig+ISg..Ig+1+IS(g+1)

..Ib+ISb…

.US1

.US2…

.USg

.US(g+1)…

.USb……11/14/202322情況3含受控電壓源的復合支路受控電壓源與無源元件串聯(lián)，控制量可以是其它支路無源元件的電壓或電流。在第十章，我們曾用受控源替代法分析過含有互感的電路。所以當支路含受控電壓源時，可以仿照含互感的方法處理。但互感是成對出現(xiàn)的，而受控源可以單個出現(xiàn)。Z的非對角線元素將含有與控制系數(shù)有關(guān)的元素。其正負號的確定：控制量、被控量與復合支路的參考方向都一致(或都相反)時取“+”，否則取“-”。Zk-+

.Usk

.Isk

.Ik-+

.Uk+-

.Udk

.U=Z

.(I+.IS)

.-US支路方程的矩陣形式仍然是：11/14/202323三、回路電流方程的矩陣形式用B表示的KVL：令Zl

=

BZBT，則Zl

稱為回路阻抗矩陣。

Zl的主對角線元素為自阻抗；非對角線元素為互阻抗。

.BU=0

.U=Z

.(I+.IS)

.-US將支路方程代入得：BZ.I

.-BUS=0+BZ.IS

用B表示的KCL：.I=BT.Il

代入上式得回路電流方程的矩陣形式為：BZBT.I=

.BUS-BZ.IS

BZBT是l階方陣。

.BUS和BZ都是l階列向量。11/14/202324四、回路電流方程的編寫步驟P401例15-1解：(1)作有向圖，選樹；(2)畫基本回路電流，參考方向同連支電流；R1-+

.US2

.IS1jwL4R2jwL3jwC5112345ⅠⅡ(3)寫基本回路矩陣B、支路阻抗矩陣和電壓、電流列向量；B

=

-10101

0101-1Z

=

diag[]R1,R2,jwL3,jwL4,jwC51

.US=[0-US2000]T...IS=[IS10000]T11/14/202325(4)求回路阻抗矩陣Zl=BZBT(5)并計算整理便得回路電流方程的矩陣形式。Zl

=BZBTZl.I=

.BUS-BZ.IS

將Zl

、

.US

、

.

IS

代入式=-101010101-1R1R2jwL3jwL4jwC51-101010101-1R1+jwL3+jwC51jwC51-jwC51-R2+jwL4+jwC51.Il1.Il2=

.R1IS1

.-US2計算得11/14/202326§15-5結(jié)點電壓方程的矩陣形式一、復合支路及其方程的矩陣形式情況1無受控電流源、無耦合電感Yk-+

.Usk

.Isk

.Iek

.Ik-+

.Uk

.Idk與回路法定義的復合支路相比，增加了受控電流源。但不許存在受控電壓源；也不許存在無伴電壓源。對第k

條支路有

.Ik=

Yk

.(Uk+

.USk)

.-ISk對整個電路有.I=Y

.(U+

.US)

.-ISY稱為支路導納矩陣。Y是一個對角矩陣，對角線元素為各支路導納。11/14/202327情況2無受控電流源、有耦合電感相當于回路法的情況2：VCR的矩陣形式與情況1相同。差別只是Y

不再是對角陣。Yk-+

.Usk

.Isk

.Iek

.Ik-+

.Uk

.U=Z

.(I+.IS)

.-US電路有耦合電感時，支路阻抗Z不是對角陣，在Z的非主對角線元素中將含有互感阻抗。利用上式可求得

.YU=.I+.IS

.-YUS.I=Y

.(U

.+US)

.-ISY=Z-1是支路導納矩陣。11/14/202328情況3有受控電流源設：第k條支路受控源受第j條支路電流(或電壓)控制。Yk-+

.Usk

.Isk

.Ik-+

.Uk

.IdkYj-+

.Usj

.Isj

.Iej

.Ij-+

.Uj+-

.Uej

.

.Idk

=gkj

Uej或

.

.Idk

=bkj

Iej因為

.

.Iej

=Yj

Uej→

.

.Idk

=bkj

Yj

Uej所以無論是流控還是壓控，均化成VCCS，且控制系數(shù)用Ykj

表示：Ykj

=gkjbkj

Yj第k條支路方程為：

.Ik=

Yk

.(Uk+

.USk)

.+Idk

.-ISk

.Ik=

Yk

.(Uk+

.USk)+Ykj

.(Uj

.+Usj)

.-ISk

.

Idk

=Ykj

.Uej=Ykj

(

.Uj+

.USj

)注意它們在復合支路中的方向。11/14/202329支路方程的形式同情況1。導納矩陣Y不是對角陣，非主對角線包含與控制系數(shù)有關(guān)的元素，可以單個出現(xiàn)。

.Ik=

Yk

.(Uk+

.USk)

.(Uj+Ykj

.+Usj)

.-ISk

.Ij

.Ik0Ykj.I=Y

.(U

.+US)

.-ISk行j列對b條支路有.I1.I2………

.Ib=Y1Y2...Yj...Yk...Yb………0…000……………0…0…0…0……0….U1+.US1.U2+.US2…

.Uj+

.USj…

.Uk+

.USk…

.Ub+

.USb-

.ISj

.ISk.IS1.IS2………

.ISb(在情況2中則是成對出現(xiàn))。11/14/202330二、結(jié)點方程的矩陣形式描述結(jié)點與支路關(guān)聯(lián)的矩陣是A

。用A表示的KCL：用A表示的KVL：.AI=0，

..U=ATUn支路方程：.I=Y

.(U

.+US)

.-IS用結(jié)點電壓表示支路電流.I=YAT

.Un

.+YUS

.-IS代入用A表示的KCL得

AYAT

.Un

.+AYUS

.-

AIS=0結(jié)點方程的矩陣形式為

AYAT

.Un

.

=

AIS

.-AYUS令Yn

=AYAT,

.Jn

.

=

AIS

.-AYUS則結(jié)點方程可以寫為

Yn

.Un

.

=

JnYn稱為結(jié)點導納矩陣。

.Jn是由獨立源引起的注入結(jié)點的電流列向量。11/14/202331三、結(jié)點電壓方程的編寫步驟P405例15-2(1)作有向圖，選參考結(jié)點；(2)寫關(guān)聯(lián)矩陣A、獨立電源列相量和支路導納矩陣；L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④④A=

101100-110001

0-10-110

.Us=0,..

.Is=[00IS3IS400]TjwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag[,,,,,]

AYAT

.Un

.

=

AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=

AIS

11/14/202332觀察結(jié)點導納矩陣發(fā)現(xiàn)主對角線元素為自導納，其余為互導納。相當于第三章所列結(jié)點方程等號左邊的系數(shù)。獨立源列向量為注入結(jié)點的電流(等號右邊的常數(shù))。

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+.IS4

=0

.-IS4

AYAT

.Un

.AISL1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL2111/14/202333P406例15-3設寫支路方程的矩陣形式。控制量、被控量與復合支路的參考方向都一致(或都相反)時取“+”，否則取“-”。

..Id2=

g21U1,

.

.Id4=

b46I6R11R21jwC3jwC4jwL51jwL61

-g21jwL6b4600000Y=2行1列4行6列解：電路含受控源，但無互感。支路導納矩陣為：L5R2C3L6R1iS1②③①iS4C4id4-+

.US4+-u1+-uS2id2i60+-u6561423③②①0注意位置和正負11/14/202334可得到獨立電源列向量為：將以上所求代入.IS=[

.US=[0.I=Y

.(U

.+US)

.-IS

.IS1

00.-IS400

]T

.-US20

.US4

00]T與復合支路相反取正，否則取負。L5R2C3L6R1iS1②③①iS4C4id4-+

.US4+-u1+-uS2id2i60+-u6561423③②①0R11R21jwC3jwC4jwL51jwL61

-g21jwL6b4600000=-.I2.I3.I1.I4.I5.I6.U1+0.U2+.US2.U3+0.U4+.US4.U5+0.U6+0.IS100

.-IS10011/14/202335§15-6割集電壓方程的矩陣形式一、關(guān)于割集電壓割集電壓也是一組完備的獨立變量。以割集電壓作為電路獨立變量的分析方法稱為割集電壓法。當選單樹支(基本)割集作為獨立割集時，樹支電壓就是割集電壓。割集電壓是一種假想電壓，就象假想的回路電流一樣。u=Qf

utT否則，ut

可理解為一組獨立的割集電壓。Qadfbce支路a、b、c、d是G的一個割集。將它們?nèi)恳迫ィ珿被分離成兩個部分。Qfeut兩分離部分之間的電壓就是割集電壓。11/14/202336可以認為，割集電壓法是結(jié)點電壓法的推廣。也可以說結(jié)點電壓法是割集電壓法的一個特例。若選一組獨立割集使每一割集都由匯集在一個結(jié)點上的支路構(gòu)成時，割集電壓法就成為結(jié)點電壓法。割集電壓法規(guī)定的復合支路與結(jié)點電壓法完全相同，因此支路方程的矩陣形式也相同：.I=Y

.(U

.+US)

.-IS12345678Q1Q2Q3Q411/14/202337二、割集電壓方程描述割集與支路關(guān)聯(lián)的矩陣是Qf

。用Qf

表示的KCL：代入用Qf

表示的KCL方程就得到割集方程的矩陣形式：

.Qf

I=0，KVL：

..U=Qf

UtT支路方程：.I=Y

.(U

.+US)

.-IS用割集電壓表示支路電流.I=Y

.Ut

.+YUS

.-ISTQf

Qf

YTQf

.Ut

.=

Qf

IS

.-Qf

YUS若令

Yt

=QfYTQf則Yt

稱為割集導納矩陣。11/14/202338三、割集電壓方程的編寫解：初始條件為零，用運算形式。⑴作有向圖，選獨立割集組；選支路1、2、3為樹支，則單樹支割集如圖所示。12345Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)樹支電壓Ut1(s)、Ut2(s)和Ut3(s)就是割集電壓，取樹支電壓的方向為割集方向。⑵寫基本割集矩陣Qf

；Qf=12345Q1Q2Q310001000111-1011P408例15-4L4R1R2L3C5iS1iS2先樹支后連支11/14/202339⑶寫獨立源列向量和支路導納矩陣；US(s)=0IS(s)=[IS1(s)IS2(s)000]T⑷代入L4R1R2L3C5iS1iS2Y(s)=R11,R21,sL31,sL41,sC5diag

Qf

Y(s)QfTUt(s)=

Qf

IS(s)-Qf

Y

(s)US(s)得割集電壓方程Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC511/14/202340Yt

的主對角線元素分別為與割集Q1、Q2、Q3相關(guān)聯(lián)支路的導納之算術(shù)和，稱自導納。其它元素分別是與兩相鄰割集關(guān)聯(lián)支路的導納算術(shù)和，稱互導納。當兩割集方向不一致時，互導納前加“-”號。L4R1R2L3C5iS1iS2Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)與割集方向相反的割集電流源取“+”，相同取“-”。Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC511/14/202341狀態(tài)方程的編寫在線性電路中，選獨立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量列寫狀態(tài)方程和求解最方便。1.直觀法的編寫步驟

在狀態(tài)方程中，要包含對狀態(tài)變量的一次導數(shù)，所以：(1)對只含一個C的結(jié)點列KCL方程；C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iS①②③i2+iS12結(jié)點②CdtduC=-

i1-

i2(2)對只含一個L的回路列KVL方程；回路1L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)

+uS回路2L2dtdi2=uC-R1(i1+i2)+uS

-R2(i2+iS)

(3)列其它方程(如有必要)，消去非狀態(tài)變量。iR1iR2iR1iR211/14/202342(4)整理成矩陣形式直觀法適用于不太復雜的電路。對復雜電路采用系統(tǒng)法CdtduC=-

i1-

i2L1dtdi1=