第十一章級數(shù)微分方程習(xí)題課

11、常數(shù)項級數(shù)級數(shù)的部分和定義級數(shù)的收斂與發(fā)散一、主要內(nèi)容2性質(zhì)1:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性質(zhì)3:在級數(shù)前面加上或去掉有限項不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)3定義2、正項級數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法4(2)比較審斂法的極限形式56定義

正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).3、交錯級數(shù)及其審斂法7定義正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).4、任意項級數(shù)及其審斂法85、函數(shù)項級數(shù)(1)定義(2)收斂點與收斂域9(3)和函數(shù)10(1)定義6、冪級數(shù)11(2)收斂性12推論13定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.(-R,R)稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.14a.代數(shù)運算性質(zhì):加減法(其中(3)冪級數(shù)的運算15乘法(其中除法16b.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):177、冪級數(shù)展開式(1)定義18(2)充要條件(3)唯一性19(3)展開方法a.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:b.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.20(4)常見函數(shù)展開式2122(1)三角函數(shù)系三角函數(shù)系8、傅里葉級數(shù)23(2)傅里葉級數(shù)定義三角級數(shù)24其中稱為f(x)的傅里葉級數(shù).25(3)狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)26(4)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)2728奇延拓:(5)在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)29偶延拓:3031二、典型例題321.設(shè)a是常數(shù),則級數(shù)(A)絕對收斂;(B)條件收斂;(C)發(fā)散;(D)收斂性與a的取值有關(guān).提示:而發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.C絕對收斂33(常數(shù)a>0)(

)2.級數(shù)(A)絕對收斂;(B)條件收斂;(C)發(fā)散;(D)收斂性與a的有關(guān).提示:因收斂,故原級數(shù)絕對收斂,所以應(yīng)選(A)A～343.設(shè)常數(shù)(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對收斂;(D)收斂性與

有關(guān).提示:而和都收斂,故原級數(shù)絕對收斂C收斂,則級數(shù)且級數(shù)354.設(shè)常數(shù)k>0,則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對收斂;(D)收斂與發(fā)散與k有關(guān).提示:絕對收斂條件收斂B36肯定收斂的是（)5.設(shè)則下列級數(shù)中提示:D收斂絕對收斂376.設(shè)冪級數(shù)必定在區(qū)間

內(nèi)收斂.的收斂半徑為3,則冪級數(shù)提示:令則收斂半徑均為3,(–2,4)故必在這里關(guān)鍵用到冪級數(shù)求導(dǎo)后收斂半徑不變即內(nèi)收斂

.與38例２解即原級數(shù)非絕對收斂．39由萊布尼茨定理：40所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．41例3.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)可知原級數(shù)發(fā)散42利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.因

n

充分大時由發(fā)散,知原級數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時收斂;時發(fā)散;時,與p

級數(shù)比較可知:時收斂時發(fā)散43例4設(shè)正項級數(shù)和也收斂.解:因

存在N>0,利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級數(shù)當(dāng)n>N時44例5.若級數(shù)與均收斂,且證明級數(shù)收斂.證:則與收斂收斂收斂收斂45證明級數(shù)收斂。證明：從而數(shù)列的極限存在考察正項級數(shù)，設(shè)它的部分和為，則46因存在，故存在，也就是正項級數(shù)收斂。由比較審斂法知原級數(shù)收斂。47例7.求級數(shù)的和函數(shù)及收斂,解:收斂域為

48因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及49例8求的和函數(shù).解: