圓錐曲線中的典型問(wèn)題與方法：圓錐曲線中的探究性問(wèn)題

圓錐曲線中的探究性（存在性）問(wèn)題（一）存在性問(wèn)題是一種具有開放性和發(fā)散性的問(wèn)題，此類題目的條件和結(jié)論不完備，要求學(xué)生結(jié)合已有的條件進(jìn)行觀察、分析、比較和概括，它對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力有較高的要求，特別是在解析幾何第二問(wèn)中經(jīng)?？嫉健笆欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)”的問(wèn)題，也就是是否存在定值定點(diǎn)定直線的問(wèn)題。一、是否存在這樣的常數(shù)例1．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和．（=1\*ROMANI）求的取值范圍；（=2\*ROMANII）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（Ⅰ）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得．整理得①直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，解得或．即的取值范圍為．（Ⅱ）設(shè)，則，由方程①，．②又．③而．所以與共線等價(jià)于，將②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)．練習(xí)1：（08陜西卷20）．（本小題滿分12分）已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn)．（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．xAy112MNBO解法一：（Ⅰ）如圖，設(shè)，xAy112MNBO由韋達(dá)定理得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，，．即．（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，．由（Ⅰ）知．軸，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè)，把代入得．由韋達(dá)定理得．，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，．（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使．由（Ⅰ）知，則，，，解得．即存在，使．練習(xí)2.直線與曲線相交于P、Q兩點(diǎn)。當(dāng)a為何值時(shí)，；是否存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）聯(lián)立方程，，即，設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，化簡(jiǎn)得即為所求。假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，二、是否存在這樣的點(diǎn)例2.（2009全國(guó)卷Ⅱ）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為（I）求，的值；（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問(wèn)直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問(wèn)利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題，注意特殊情況的處理。解：（Ⅰ）設(shè)當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為，故，，由，得，=（Ⅱ）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。由（Ⅰ）知橢圓C的方程為+=6.設(shè)(ⅰ)假設(shè)上存在點(diǎn)P，且有成立，則，，整理得故①將②于是,=,，代入①解得，，此時(shí)于是=，即因此，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。（ⅱ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為.例3.（2009福建卷）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)。（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；（Ⅲ）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又，由得故又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)的方程為要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線，則由解得或練習(xí)：1.（2008湖北卷20題）．（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：由條件知，，設(shè)，．解法一：（I）設(shè)，則，，，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡(jiǎn)得．當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．所以點(diǎn)的軌跡方程是．（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，于是．因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，此時(shí)．故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．練習(xí)2.（08山東卷22)(本小題滿分14分)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.（Ⅰ）證明：由題意設(shè) 由得，則 所以 因此直線MA的方程為直線MB的方程為 所以 ① ②由①、②得因此，即所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x0=2時(shí)， 將其代入①、②并整理得： 所以x1、x2是方程的兩根， 因此 又 所以 由弦長(zhǎng)公式得 又， 所以p=1或p=2， 因此所求拋物線方程為或（Ⅲ）解：設(shè)D(x3,y3)，由題意得C(x1+x2,y1+y2), 則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)直線AB的方程為 由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上， 代入得 若D（x3,y3）在拋物線上，則 因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或 （1）當(dāng)x0=0時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意. （2）當(dāng)，對(duì)于D(0，0)，此時(shí) 又AB⊥CD，所以即矛盾.對(duì)于因?yàn)榇藭r(shí)直線CD平行于y軸，又所以，直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.練習(xí)3.（2007廣東理18）．(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為．(1)求圓的方程；(2)試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2即=4① 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得，m2+n2=8②聯(lián)立方程①和②組成方程組解得，故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，∴a2=25，則橢圓的方程為 其焦距c==4，右焦點(diǎn)為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓(x─4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)。通過(guò)聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(，)，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)。三、是否存在這樣的直線例4.（2007湖北理19）．（本小題滿分12分）NOACByx在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于NOACByx（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．（此題不要求在答題卡上畫圖）解析：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，NOANOACByxl．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．練習(xí)1.已知雙曲線方程為，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)M(1，1)的直線ｌ，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：顯然x=1不滿足條件，設(shè).聯(lián)立和，消去y得，由>0，得k<，，由M(1，1)為PQ的中點(diǎn)，得，解得，這與<矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.四、是否存在這樣的圓例5．(2009年廣東卷文)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12，圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓G的方程；(2)求的面積；(3)問(wèn)是否存在圓包圍橢圓G請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為：（）半焦距為c;則,解得,所求橢圓G的方程為：.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外，若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外；不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.例6．(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E:（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E:（a，b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為，，，所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系五、是否存在這樣的最值例7．已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，（II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．掌握研究解析幾何問(wèn)題的基本方法近幾年解析幾何的考題在難度、計(jì)算的復(fù)雜程度等方面都有所下降，突出對(duì)解析幾何基本思想和基本方法的考查，重點(diǎn)要掌握解析幾何的一些基本方法來(lái)解決問(wèn)題，解析幾何中解題的基本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等方法．課堂教學(xué)中選擇例題要突出題目的普遍性，解題方法要具有代表性，即通性通法．所以在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做到:1．牢固掌握?qǐng)A錐曲線定義

圓錐曲線定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，是構(gòu)建有關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。同時(shí)，定義直接用于解題常常使一些看似很難解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。2．重視基礎(chǔ)知識(shí)，基本題型的復(fù)習(xí)

（1）注意課本典型例題、習(xí)題的延伸

教材中的例題、習(xí)題雖然大多比較容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，適當(dāng)?shù)鼐帞M題組進(jìn)行復(fù)習(xí)訓(xùn)練，有利于系統(tǒng)地掌握知識(shí)，融會(huì)貫通。如教材中題:“過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1,y2，求證y1y2=-p2?！?/p>

給出的結(jié)論是關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的一條重要性質(zhì)，而其證明方法也是解決有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題的最基本最典型的方法。

（2）注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法

解析幾何中有一些基本問(wèn)題，如兩直線垂直的證明、求弦的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)的計(jì)算等等，對(duì)這些問(wèn)題的處理方法是熟知的。但有不少題目，所給的條件無(wú)法直接使用，或者使用起來(lái)比較困難，此時(shí)，可考慮對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過(guò)程納入到學(xué)生所熟悉的軌道。

3．重視判別式的作用

有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，通常都是利用一元二次方程來(lái)解決的。其中，根的判別式往往起著關(guān)鍵的作用。4．強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和運(yùn)用

（1）函數(shù)與方程思想

解析幾何的研究對(duì)象和方法決定了它與函數(shù)、方程的“不解之緣”，很多解析幾何問(wèn)題實(shí)際上就是建立方程后研究方程的解或建立函數(shù)后研究函數(shù)的性質(zhì)。（2）分類討論思想解析幾何中，有些公式，性質(zhì)是有適用條件的，解題時(shí)必須注意分類討論、區(qū)別處理。例如直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式中斜率必須存在，截距式只適用在兩軸上的截距存在且不為零的情況，兩點(diǎn)式不適用于與坐標(biāo)軸垂直的直線。（3）數(shù)形結(jié)合思想解析幾何的本質(zhì)就是將“數(shù)”與“形”有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，曲線的幾何特征必然在方程、函數(shù)或不等式中有所反映，而函數(shù)、方程或不等式的數(shù)字特征也一定體現(xiàn)出曲線的特性。

圓錐曲線中的探究性（存在性）問(wèn)題（二）題型一定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，eq\r(3))，離心率為eq\f(1,2)，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ，＝μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ＋μ的值是否為定值若是，求出λ＋μ的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．破題切入點(diǎn)(1)待定系數(shù)法．(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式＝λ，＝μ.把λ，μ用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，只要證明λ＋μ的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值．解(1)依題意得b＝eq\r(3)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為y＝k(x－1)，求得l與y軸交于M(0，－k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝eq\f(x1,1－x1)，同理μ＝eq\f(x2,1－x2)，∴λ＋μ＝eq\f(x1,1－x1)＋eq\f(x2,1－x2)＝eq\f(x1＋x2－2x1x2,1－x1＋x2＋x1x2)＝eq\f(\f(8k2,3＋4k2)－\f(24k2－12,3＋4k2),1－\f(8k2,3＋4k2)＋\f(4k2－12,3＋4k2))＝－eq\f(8,3).所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線λ＋μ的值為定值－eq\f(8,3).題型二定直線問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2＝2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．破題切入點(diǎn)假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解．解方法一(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，－p)，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋p，與x2＝2py聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋p.))消去y得x2－2pkx－2p2＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝eq\f(1,2)·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝peq\r(x1＋x22－4x1x2)＝peq\r(4p2k2＋8p2)＝2p2eq\r(k2＋2)，∴當(dāng)k＝0時(shí)，(S△ABN)min＝2eq\r(2)p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，則O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(x1,2)，eq\f(y1＋p,2))．∵O′P＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,1)＋y1－p2)＝eq\f(1,2)eq\r(y\o\al(2,1)＋p2)，O′H＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(y1＋p,2)))＝eq\f(1,2)|2a－y1－p|，∴PH2＝O′P2－O′H2＝eq\f(1,4)(yeq\o\al(2,1)＋p2)－eq\f(1,4)(2a－y1－p)2＝(a－eq\f(p,2))y1＋a(p－a)，∴PQ2＝(2PH)2＝4[(a－eq\f(p,2))y1＋a(p－a)]．令a－eq\f(p,2)＝0，得a＝eq\f(p,2)，此時(shí)PQ＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝eq\f(p,2)，即拋物線的通徑所在的直線．方法二(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得AB＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4p2k2＋8p2)＝2peq\r(1＋k2)·eq\r(k2＋2)，又由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(2p,\r(1＋k2)).從而S△ABN＝eq\f(1,2)·d·AB＝eq\f(1,2)·2peq\r(1＋k2)·eq\r(k2＋2)·eq\f(2p,\r(1＋k2))＝2p2eq\r(k2＋2).∴當(dāng)k＝0時(shí)，(S△ABN)min＝2eq\r(2)p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，則以AC為直徑的圓的方程為(x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，將直線方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，則Δ＝xeq\o\al(2,1)－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－eq\f(p,2))y1＋a(p－a)]．設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有PQ＝|x3－x4|＝eq\r(4[a－\f(p,2)y1＋ap－a])＝2eq\r(a－\f(p,2)y1＋ap－a).令a－eq\f(p,2)＝0，得a＝eq\f(p,2)，此時(shí)PQ＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝eq\f(p,2)，即拋物線的通徑所在的直線．題型三定圓問(wèn)題例3已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.(1)求橢圓G的方程；(2)求△AkF1F2(3)問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓G請(qǐng)說(shuō)明理由．破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程．(2)直接求．(3)關(guān)鍵看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)．解(1)設(shè)橢圓G的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距為c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝3\r(3)，))所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.所以所求橢圓G的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(－k,2)，S△AkF1F2＝eq\f(1,2)×|F1F2|×2＝eq\f(1,2)×6eq\r(3)×2＝6eq\r(3).(3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外；若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知點(diǎn)(－6,0)在圓Ck外．所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.即不存在圓Ck包圍橢圓G.總結(jié)提高(1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)．在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的．(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)．(3)定直線問(wèn)題一般都為特殊直線x＝x0或y＝y(tǒng)0型．1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，eq\r(2))且斜率為k的直線l與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)由已知條件，得直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，代入橢圓方程得eq\f(x2,2)＋(kx＋eq\r(2))2＝1.整理得(eq\f(1,2)＋k2)x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0.①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4(eq\f(1,2)＋k2)＝4k2－2>0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2).即k的取值范圍為(－∞，－eq\f(\r(2),2))∪(eq\f(\r(2),2)，＋∞)．(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，得x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2).②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2).③而A(eq\r(2)，0)，B(0,1)，＝(－eq\r(2)，1)．所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－eq\r(2)(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝eq\f(\r(2),2).由(1)知k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2)，故不存在符合題意的常數(shù)k.2．已知雙曲線方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解顯然x＝1不滿足條件，設(shè)l：y－1＝k(x－1)．聯(lián)立y－1＝k(x－1)和x2－eq\f(y2,2)＝1，消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，由Δ>0，得k<eq\f(3,2)，x1＋x2＝eq\f(2k－k2,2－k2)，由M(1,1)為PQ的中點(diǎn)，得eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k－k2,2－k2)＝1，解得k＝2，這與k<eq\f(3,2)矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.3．設(shè)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)過(guò)M(2，eq\r(2))，N(eq\r(6)，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)因?yàn)闄E圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)過(guò)M(2，eq\r(2))，N(eq\r(6)，1)兩點(diǎn)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(6,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4，))橢圓E的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥，設(shè)該圓的切線方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m則Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(4km,1＋2k2)，,x1x2＝\f(2m2－8,1＋2k2)，))y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq\f(k22m2－8,1＋2k2)－eq\f(4k2m2,1＋2k2)＋m2＝eq\f(m2－8k2,1＋2k2).要使⊥，需使x1x2＋y1y2＝0，即eq\f(2m2－8,1＋2k2)＋eq\f(m2－8k2,1＋2k2)＝0，所以3m2－8k所以k2＝eq\f(3m2－8,8)≥0.又8k2－m2＋4>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2>2，,3m2≥8，))所以m2≥eq\f(8,3)，即m≥eq\f(2\r(6),3)或m≤－eq\f(2\r(6),3)，因?yàn)橹本€y＝kx＋m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為r＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，r2＝eq\f(m2,1＋k2)＝eq\f(m2,1＋\f(3m2－8,8))＝eq\f(8,3)，r＝eq\f(2\r(6),3)，所求的圓為x2＋y2＝eq\f(8,3)，此時(shí)圓的切線y＝kx＋m都滿足m≥eq\f(2\r(6),3)或m≤－eq\f(2\r(6),3)，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x＝±eq\f(2\r(6),3)與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)交點(diǎn)為(eq\f(2\r(6),3)，±eq\f(2\r(6),3))或(－eq\f(2\r(6),3)，±eq\f(2\r(6),3))滿足⊥，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2＋y2＝eq\f(8,3)，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥.4．(2014·重慶)如圖，設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1⊥F1F2，eq\f(F1F2,DF1)＝2eq\r(2)，△DF1F2的面積為eq\f(\r(2),2).(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由eq\f(F1F2,DF1)＝2eq\r(2)，得DF1＝eq\f(F1F2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)c，從而S△DF1F2＝eq\f(1,2)DF1·F1F2＝eq\f(\r(2),2)c2＝eq\f(\r(2),2)，故c＝1，從而DF1＝eq\f(\r(2),2).由DF1⊥F1F2，得DFeq\o\al(2,2)＝DFeq\o\al(2,1)＋F1Feq\o\al(2,2)＝eq\f(9,2)，因此DF2＝eq\f(3\r(2),2).所以2a＝DF1＋DF2＝2eq\r(2)，故a＝eq\r(2)，b2＝a2－c2＝1.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，x2＝－x1，y1＝y(tǒng)2.由(1)知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)，再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋yeq\o\al(2,1)＝0.由橢圓方程得1－eq\f(x\o\al(2,1),2)＝(x1＋1)2，即3xeq\o\al(2,1)＋4x1＝0，解得x1＝－eq\f(4,3)或x1＝0.當(dāng)x1＝0時(shí)，P1，P2重合，題設(shè)要求的圓不存在．當(dāng)x1＝－eq\f(4,3)時(shí)，過(guò)P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.設(shè)C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得eq\f(y1－y0,x1)·eq\f(y1,x1＋1)＝－1.而求得y1＝eq\f(1,3)，故y0＝eq\f(5,3).圓C的半徑CP1＝eq\r(－\f(4,3)2＋\f(1,3)－\f(5,3)2)＝eq\f(4\r(2),3).綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，其方程為x2＋(y－eq\f(5,3))2＝eq\f(32,9).5．(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x2＝4y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：MNeq\o\al(2,2)－MNeq\o\al(2,1)為定值，并求此定值．(1)證明依題意可設(shè)AB方程為y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8.直線AO的方程為y＝eq\f(y1,x1)x；BD的方程為x＝x2.解得交點(diǎn)