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課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練
五十九圓錐曲線中的最值問題
【基礎(chǔ)落實(shí)練】(30分鐘50分)
一、選擇題(每小題5分,共35分)
X2
1.已知雙曲線C:舁-4y2=l(a>0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離
a
等于坐,拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,則拋
物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線/i:4x—3y+6=0和力:x=-l距離之和的
最小值為()
A.1B.2C.3D.4
2
【解析】選B.由雙曲線方程之一4y2=1(a>0)可得雙曲線的右頂點(diǎn)為
a
(a,0),
1
漸近線方程為y=±-x,即x±2ay=0.
za"
因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于乎,
所以肅看=乎,解得T,
42
所以雙曲線的方程為工一X-4y2=1,所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(1,0).又
拋物線E:y?=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,所以p=2,所以
拋物線的方程為y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).如圖,
設(shè)點(diǎn)M到直線4的距離為|MA|,到直線3的距離為|MB|,因?yàn)閨MB|=
|MF|,
所以|MA|+|MB|=|MA|+|MF|,
結(jié)合圖形可得當(dāng)AM,F三點(diǎn)共線時(shí),|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,
><:+6[2
且最小值為點(diǎn)F到直線1的距離d=-7£>=2.
+(-3)
2.已知%,F2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn).若制
的最大值為3,則橢圓C的離心率為()
11^2
A.§B.2C.2D.2
【解析】選B.P點(diǎn)到橢圓C的焦點(diǎn)的最大距離為a+c,最小距離為a
IppIa+c1
—c,又?p,1的最大值為3,所以=3,所以e=,.
3.過拋物線x2=y的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AC,BD,則四邊形
ABCD面積的最小值為()
A.3B.2C.1D.
【解析】選B.由題意可知,直線AC和BD的斜率都存在且不為0,設(shè)
1
直線AC的斜率為k,則直線BD的斜率為一廠,
K
(ni
焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為|0,或,則直線AC的方程為y=kx+-,聯(lián)立
f.1
jy=kx+74,得x,—kx--1=0,
lx2=y,
1
則xi+x2=k,XiX2=--,
22
4XIX
所以|AC|=^/l+k(xi+x2)—2
=^/l+k2^Jk2+1=k2+l,
111
2
同理可得|BD|=j+1,所以S舊邊形ABCD=5|AC|?|BD|=-(k+
KZZ
即k2=1時(shí),等號(hào)成立,所以四邊形ABCD面積的最小值為2.
4.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,A,B是C上兩
動(dòng)點(diǎn),且NAFB=a(a為常數(shù)),線段AB中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作/的垂線,
垂足為N,若揣p的最小值為1,則a=()
JIJIJIJI
A.B.vC.VD.v
OHOZ
【解析】選C.如圖,過點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ,BP,垂足分別
是Q,P.
設(shè)|AF|=a,|BF|=b,
由拋物線定義得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,
2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
在aAFR中,由余弦定理得|AB『=a2+b2—2abcosa.
|AB|2a2+b2—2abcosa
所以而F=(a+b)2
4
4(a2+b2—2abcosa)2ab(1+cosa)
1--------Z-------------Z------------------------------
a2+b2+2aba+b+2ab
2(1+cosa)
1
=4ab
/尹2
2(1+cosa)
1
24=2—2cosa,
2^--+2
ba
ab
當(dāng)且僅當(dāng)即a=b時(shí)等號(hào)成立?
因?yàn)門i贏iT的最小值為1,所以2—2cosa=1,
|MN|
1n
解得cosa=-,所以a=—.
X2V2
5.已知雙曲線C:孕-p=l(a>0,b>0)的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=
aD
、a"+4…
4x的準(zhǔn)線重合,當(dāng)油2+,取得最小值時(shí)、雙曲線C的離心率為()
A.4B.事C.2D.啦
【解析】選D.拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,
X2V2a3
雙曲線C:1—~2=1(a>0,b>0)的準(zhǔn)線方程為x=±—,所以一=
cc
a"+4C2+444
1,即a2=c,所以=----=c+-24,當(dāng)且僅當(dāng)c=~=2
y/a+bccc
時(shí)等號(hào)成立.所以,=c=2,解得a=y[2,
所以雙曲線的離心率為e=2=啦'
6.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一
點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=3|MF|,則直線0M的斜率的最大
值是()
3C./D.喙
A.3B.-
n
【解析】選D.由題意可知點(diǎn)F今0,p>0,
/2\
設(shè)P*,y0(y0>0),由|PM|=3|MF|
12P)
2
pyV。
可得PF—?=4MF—?,貝IMF—?=0
(88p'可
2
3Py0yo
所以點(diǎn)M[8十8p'4J
爭時(shí)等號(hào)成立.
7.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于
A,B和C,D兩點(diǎn),則|AB|+|CD|的最小值為()
A.16B.12C.8D.4
【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1,0),
所以設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),
設(shè)A(x1,yi),B(X2,y2),
y=k(x—1),
由'
.y2=4x
消去y并化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
△=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,
,,2k2+4,4
則Xi+x2=—記—=2+南,Xi?x2=1.
2k?+44
所以|AB|=xi+x?+p=―記一+2=南+4.
1
由于AB_LCD,所以直線CD的斜率為一廠,
K
1
所以直線CD的方程為y=-j(x-1),
K
設(shè)C(X3,y3),D(X4,y4),可求得X3+x4=2+4k?,
22
所以|CD|=x3+x4+p=24-4k4-2=4+4k.
4
所以|AB|+|CD|=7+4+4+41^28+2?4k2=16,
K
當(dāng)且僅當(dāng)*=4k2=>k=±1時(shí)等號(hào)成立,
所以|AB|+|CD|的最小值為16.
二、填空題(每小題5分,共15分)
8.設(shè)ei,e2分別為具有公共焦點(diǎn)Fi與F2的橢圓和雙曲線的離心率,P
>=
為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足PFi--*-PF2—0,則4e:+e;的最
小值為.
【解析】設(shè)橢圓的半長軸長為④,雙曲線的半實(shí)軸長為a20>a2),它
們的半焦距為C,
P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),
不妨設(shè)|PFj>|PF2|,
所以|PFJ+|PF21=2a,,|PF1|-|PF2|=2a2,
所以IPFiI=a1+a2,IPF21=a1—a2,
又PR-1?PF2-?=0,所以PFJPF2,|PF』2+
2222
|PF2|=(2C),所以(ai+a2)+(a,—a2)
=(2c)2,即2c2=a;+a;,
a;a;11
所以2=-2-+-T,即2+2=2,
cce2
1
所以4e;+e;=~(4e;+e;)~+~
L卜1Q2?
1(e;4e;11(偏~~922
=554--+-^—5+2A-?—7-=5,當(dāng)且僅當(dāng)e?=2e)
215e2J2\Jeie2J2
3
=2時(shí)等號(hào)成立,
o
所以4e;+e;的最小值為/.
9
答案:2
【加練備選?拔高】
已知直線/:x+y=3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在橢圓
丫2。
—+y2=l上運(yùn)動(dòng),則APAB面積的最大值為
2
[解析】因?yàn)閆:x+y=3與X軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,所以A(3,0),B(0,3),
因此IAB1=3證,
又點(diǎn)P在橢圓9+y2=1上運(yùn)動(dòng),
所以可設(shè)P(V2cos0,sin9),
所以點(diǎn)P到直線/的距離為
y/2cosd+sin0~3y/3sin(6+(p)-3
d二w
V2
(其中tan。=\[?),
“、11-3(3+A/3)
所以Szj>AB=,|AB|dW2
答案:勺12
9.已知拋物線C:y=x2,點(diǎn)P(0,2),A,B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)
P到直線AB的距離為1.則|AB|的最小值為.
【解析】設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,
貝勺二!=,所以k?+1=(m—2尸.
y=kx+m,
由2仔x—kx—m=0,
y=x,
所以Xi+x2=k,XiX2=—m,所以|AB「=(1+k?)[(Xi+x2)2—4x1X2]=(1
+k2)(k2+4m)
=(m-2)2(m2+3).
記f(m)=(m—2)2(m?+3),所以千'(m)=2(m—2)(2m2—2m+3),又k?
+1=(m—2)2"
所以mW1或m23,
當(dāng)(―8,1]時(shí),f7(m)VO,f(m)單調(diào)遞減,
當(dāng)m£[3,+8)時(shí),f7(m)>0,f(m)單調(diào)遞增,
又因?yàn)閒(1)=4,f(3)=12,
所以f(m)*n=f(1)=4,所以|AB%n=2.
答案:2
10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為2,若點(diǎn)P在
拋物線上,且點(diǎn)P到/的距離為d,Q在圓x2+(y-3)2=l上,則p=
,|PQ|+d的最小值為.
【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為2,所
以p=2,F(1,0),準(zhǔn)線/:x=-1,由拋物線的定義可知點(diǎn)P到/的
距離d=|PF|,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|,
設(shè)圓x?+(y-3)2=1的圓心為C,則C(0,3),圓的半徑為1,|PQ|+
|PF|^|CF|-1=A/12+32-1=赤-1,
當(dāng)且僅當(dāng)C,P,Q,F共線時(shí)等號(hào)成立,
所以|PQ|+d的最小值為赤-1.
答案:2訴一1
【素養(yǎng)提升練】(25分鐘35分)
1.已知雙曲線C:X了一V事=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,
1
F2,實(shí)軸長為6,漸近線方程為y=±§x,動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上,點(diǎn)
N為圓E:x2+(y+V6產(chǎn)=1上一點(diǎn),貝lJ|MN|+|MF2|的最小值為()
A.8B.9C.10D.11
【解析】選B.由題意可得2a=6,即a=3,
[b]
漸近線方程為y=±-x,即有一=-,
oao
2
即b=1,可得雙曲線方程為/-y2=1,
焦點(diǎn)為E(一四,0),F2(VW,0),
由雙曲線的定義可得IMF2I=2a+|ME|
=6+|MF/,
22
由圓E:x+(y+V6)=1可得E(0,一[Z),半徑r=1,|MN|+|MF2|
=6+|MN|+|MFj,
連接EE,交雙曲線于M,交圓于N,
可得|MN|十|MF』取得最小值,且將1|=y6+10=4,則iMNl+lMFzl
的最小值為6+4—1=9.
2.已知直線/i:4x—3y+6=0和直線/2:x=-l,拋物線y?=4x上一
動(dòng)點(diǎn)P到直線/i和直線12的距離之和的最小值是()
1137
A.2B.3C.ED.T7
OA.0
【解析】選A.直線,2:x=-1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線.由拋物線的定
義知,P到/2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離,故本題轉(zhuǎn)
化為在拋物線y2=4x上找一個(gè)點(diǎn)P,使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線人的距
離之和最小,最小值為F(1,0)到直線h:4x-3y+6=0的距離,即
如圖,已知拋物線J的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)(3,
6),圓C2:x2+y2-6x+8=0,過圓心C2的直線/與拋物線和圓分別交
于P,Q,M,N,則|PN|+3|QM|的最小值為.
【解析】由題意,拋物線過點(diǎn)(3,6),得拋物線方程y2=i2x,設(shè)焦點(diǎn)
為F(3,0),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+y2=i,所以圓心為(3,0),與
拋物線焦點(diǎn)重合.半徑r=1.由于直線過焦點(diǎn),
“a1121
所以有兩+兩=P=§'
又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4
(11A
=3(|PF|+3|QF|)向+向+4
=3(4+WT+TQFT]+4^16+673.
當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=[5]QF|時(shí)取等號(hào).
答案:16+6水
X2V2
4.已知橢圓C:p+京=l(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積
為2yli,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,平].
⑴求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的下頂點(diǎn)為P,如圖所示,點(diǎn)M為直線x=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線I垂直于0M,且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),
與0M交于點(diǎn)N,設(shè)四邊形AMBO和AONP的面積分別為Si,S2,求
SR2的最大值.
【解析】(1)因?yàn)椤埃?dāng)在橢圓C上,所以*+泉=1,又因?yàn)闄E
圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2皿,所以,X2aX2b=2四,ab
2
解得a?=2,b2=1,所以橢圓C的方程為,+y2=1.
⑵由⑴可知F(1,0),設(shè)M(2,t),A(X1,y0,B(x2,y2),則當(dāng)t左。
,t
時(shí),OM:y=-x,
2
所以kAB=--,
2
直線AB的方程為丫=一三(x-1),
即2x+ty—2=0(tWO),
、
I(v—,—2(/x—1)
由Jt'得(8+t2)x2—16x+8—2t2=0,則△=(-16)2
[x2+2y2-2=0,
16g_2t2
—4(8+t?)(8—2t,)=8(t"+4t2)>0,Xi+x2=^p^,XlX2=8+t2'
所以|AB|=[l+k*?]些
1,42-72?^/t2(t2+4)2^/2(t2+4)
=V+?X8+t2=8+t2-
又0M=qt2+4,所以S|=1OM?AB
_1rrrz2m3+4)yf?(t2+4)-\/?+4
2
一?8+t2-8+t
2,、
y=-r(x-1),
t4
t得XN=?+4'
y=1x,
“142
所以S2=,義1*百彳=P+4'
(¥+4)7^+422啦"+4
所以S1S2
8+t2P+48+t2
2啦-〈乎,當(dāng)t=0時(shí),直線/:x=1,AB=A/2,Si=;
戶+許
X/X2=/,Sz=;X1X1=1,S$2=*,所以當(dāng)t=0時(shí),
(S1S2)max="^~?
22
5.(10分)已知橢圓C:[+9=l(a>b>0)過點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn),且
a12b2
AM的斜率為士
2
(1)求C的方程;
⑵點(diǎn)N為C上一動(dòng)點(diǎn),求4AMN的面積的最大值..
【解析】(1)由題意,點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-a,0),
3-01
所以kAM=-解得a=4,
2+Q2
因?yàn)辄c(diǎn)M(2,3)在橢圓C上,
所以2+:1,解得b?=12,
a2bz
所以橢圓C的方程為匕zi=i.
1612
1
⑵由題意,直線AM的方程為y-3=-(x-2),即x-2y+4=0,
2
因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C上,
所以設(shè)N(4cos9,2V3Sin0),9e[0,2n),
設(shè)點(diǎn)N到直線AM的距離為d,
\4cosO-4y/3sinO+4\_475
所以d=IV3sin0-cos0
J仔+(-2)25
一1|二中?|2s譏
因?yàn)镮AM|=J(-4-2)2+(0.3)2=3晶,
所以SAAMN=||AM|-d=|X3V5X^-|2sin(0-^-1|=6?J2sizi(0-21
因?yàn)?£[0,2n),所以2sin(吧T
所以12s譏(e-)1H。,3],
所以當(dāng)2sin^0---1—3,(SAAMN)max—6X3—18.
【加練備選?拔高】
22
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓Cj+4=1(a>b>0)的離心率
為?,左、右焦點(diǎn)分別為F?F2,以F,為圓心以3為半徑
的圓與以Fz為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢
圓C的方程.
⑵設(shè)橢圓E:言+力=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線y
=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.
(i)求隘■的值;(ii)求△ABQ面積的最大值.
【解析】(1)因?yàn)閮蓤A的公共點(diǎn)在橢圓C上,所以2a=3+1=4,a=2.
又因?yàn)闄E圓C的離心率為e=—,
a2
所以c=[5,b2=a2—c2=1.
2
即橢圓C的方程為,+y2=1.
22
(2)(i)由⑴知,橢圓E:77+'-1.
104
設(shè)P(x。,y。)是橢圓C上任意一點(diǎn),則X:+4y:=4.直線OP:y=-x
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