2022版高中數(shù)學(xué)理人教A版一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè):五十九 圓錐曲線中的最值問題_第1頁
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課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練

五十九圓錐曲線中的最值問題

【基礎(chǔ)落實(shí)練】(30分鐘50分)

一、選擇題(每小題5分,共35分)

X2

1.已知雙曲線C:舁-4y2=l(a>0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離

a

等于坐,拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,則拋

物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線/i:4x—3y+6=0和力:x=-l距離之和的

最小值為()

A.1B.2C.3D.4

2

【解析】選B.由雙曲線方程之一4y2=1(a>0)可得雙曲線的右頂點(diǎn)為

a

(a,0),

1

漸近線方程為y=±-x,即x±2ay=0.

za"

因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于乎,

所以肅看=乎,解得T,

42

所以雙曲線的方程為工一X-4y2=1,所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(1,0).又

拋物線E:y?=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,所以p=2,所以

拋物線的方程為y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).如圖,

設(shè)點(diǎn)M到直線4的距離為|MA|,到直線3的距離為|MB|,因?yàn)閨MB|=

|MF|,

所以|MA|+|MB|=|MA|+|MF|,

結(jié)合圖形可得當(dāng)AM,F三點(diǎn)共線時(shí),|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,

><:+6[2

且最小值為點(diǎn)F到直線1的距離d=-7£>=2.

+(-3)

2.已知%,F2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn).若制

的最大值為3,則橢圓C的離心率為()

11^2

A.§B.2C.2D.2

【解析】選B.P點(diǎn)到橢圓C的焦點(diǎn)的最大距離為a+c,最小距離為a

IppIa+c1

—c,又?p,1的最大值為3,所以=3,所以e=,.

3.過拋物線x2=y的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AC,BD,則四邊形

ABCD面積的最小值為()

A.3B.2C.1D.

【解析】選B.由題意可知,直線AC和BD的斜率都存在且不為0,設(shè)

1

直線AC的斜率為k,則直線BD的斜率為一廠,

K

(ni

焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為|0,或,則直線AC的方程為y=kx+-,聯(lián)立

f.1

jy=kx+74,得x,—kx--1=0,

lx2=y,

1

則xi+x2=k,XiX2=--,

22

4XIX

所以|AC|=^/l+k(xi+x2)—2

=^/l+k2^Jk2+1=k2+l,

111

2

同理可得|BD|=j+1,所以S舊邊形ABCD=5|AC|?|BD|=-(k+

KZZ

即k2=1時(shí),等號(hào)成立,所以四邊形ABCD面積的最小值為2.

4.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,A,B是C上兩

動(dòng)點(diǎn),且NAFB=a(a為常數(shù)),線段AB中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作/的垂線,

垂足為N,若揣p的最小值為1,則a=()

JIJIJIJI

A.B.vC.VD.v

OHOZ

【解析】選C.如圖,過點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ,BP,垂足分別

是Q,P.

設(shè)|AF|=a,|BF|=b,

由拋物線定義得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.

在梯形ABPQ中,

2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

在aAFR中,由余弦定理得|AB『=a2+b2—2abcosa.

|AB|2a2+b2—2abcosa

所以而F=(a+b)2

4

4(a2+b2—2abcosa)2ab(1+cosa)

1--------Z-------------Z------------------------------

a2+b2+2aba+b+2ab

2(1+cosa)

1

=4ab

/尹2

2(1+cosa)

1

24=2—2cosa,

2^--+2

ba

ab

當(dāng)且僅當(dāng)即a=b時(shí)等號(hào)成立?

因?yàn)門i贏iT的最小值為1,所以2—2cosa=1,

|MN|

1n

解得cosa=-,所以a=—.

X2V2

5.已知雙曲線C:孕-p=l(a>0,b>0)的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=

aD

、a"+4…

4x的準(zhǔn)線重合,當(dāng)油2+,取得最小值時(shí)、雙曲線C的離心率為()

A.4B.事C.2D.啦

【解析】選D.拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,

X2V2a3

雙曲線C:1—~2=1(a>0,b>0)的準(zhǔn)線方程為x=±—,所以一=

cc

a"+4C2+444

1,即a2=c,所以=----=c+-24,當(dāng)且僅當(dāng)c=~=2

y/a+bccc

時(shí)等號(hào)成立.所以,=c=2,解得a=y[2,

所以雙曲線的離心率為e=2=啦'

6.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一

點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=3|MF|,則直線0M的斜率的最大

值是()

3C./D.喙

A.3B.-

n

【解析】選D.由題意可知點(diǎn)F今0,p>0,

/2\

設(shè)P*,y0(y0>0),由|PM|=3|MF|

12P)

2

pyV。

可得PF—?=4MF—?,貝IMF—?=0

(88p'可

2

3Py0yo

所以點(diǎn)M[8十8p'4J

爭時(shí)等號(hào)成立.

7.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于

A,B和C,D兩點(diǎn),則|AB|+|CD|的最小值為()

A.16B.12C.8D.4

【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1,0),

所以設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),

設(shè)A(x1,yi),B(X2,y2),

y=k(x—1),

由'

.y2=4x

消去y并化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

△=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,

,,2k2+4,4

則Xi+x2=—記—=2+南,Xi?x2=1.

2k?+44

所以|AB|=xi+x?+p=―記一+2=南+4.

1

由于AB_LCD,所以直線CD的斜率為一廠,

K

1

所以直線CD的方程為y=-j(x-1),

K

設(shè)C(X3,y3),D(X4,y4),可求得X3+x4=2+4k?,

22

所以|CD|=x3+x4+p=24-4k4-2=4+4k.

4

所以|AB|+|CD|=7+4+4+41^28+2?4k2=16,

K

當(dāng)且僅當(dāng)*=4k2=>k=±1時(shí)等號(hào)成立,

所以|AB|+|CD|的最小值為16.

二、填空題(每小題5分,共15分)

8.設(shè)ei,e2分別為具有公共焦點(diǎn)Fi與F2的橢圓和雙曲線的離心率,P

>=

為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足PFi--*-PF2—0,則4e:+e;的最

小值為.

【解析】設(shè)橢圓的半長軸長為④,雙曲線的半實(shí)軸長為a20>a2),它

們的半焦距為C,

P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),

不妨設(shè)|PFj>|PF2|,

所以|PFJ+|PF21=2a,,|PF1|-|PF2|=2a2,

所以IPFiI=a1+a2,IPF21=a1—a2,

又PR-1?PF2-?=0,所以PFJPF2,|PF』2+

2222

|PF2|=(2C),所以(ai+a2)+(a,—a2)

=(2c)2,即2c2=a;+a;,

a;a;11

所以2=-2-+-T,即2+2=2,

cce2

1

所以4e;+e;=~(4e;+e;)~+~

L卜1Q2?

1(e;4e;11(偏~~922

=554--+-^—5+2A-?—7-=5,當(dāng)且僅當(dāng)e?=2e)

215e2J2\Jeie2J2

3

=2時(shí)等號(hào)成立,

o

所以4e;+e;的最小值為/.

9

答案:2

【加練備選?拔高】

已知直線/:x+y=3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在橢圓

丫2。

—+y2=l上運(yùn)動(dòng),則APAB面積的最大值為

2

[解析】因?yàn)閆:x+y=3與X軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,所以A(3,0),B(0,3),

因此IAB1=3證,

又點(diǎn)P在橢圓9+y2=1上運(yùn)動(dòng),

所以可設(shè)P(V2cos0,sin9),

所以點(diǎn)P到直線/的距離為

y/2cosd+sin0~3y/3sin(6+(p)-3

d二w

V2

(其中tan。=\[?),

“、11-3(3+A/3)

所以Szj>AB=,|AB|dW2

答案:勺12

9.已知拋物線C:y=x2,點(diǎn)P(0,2),A,B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)

P到直線AB的距離為1.則|AB|的最小值為.

【解析】設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

貝勺二!=,所以k?+1=(m—2尸.

y=kx+m,

由2仔x—kx—m=0,

y=x,

所以Xi+x2=k,XiX2=—m,所以|AB「=(1+k?)[(Xi+x2)2—4x1X2]=(1

+k2)(k2+4m)

=(m-2)2(m2+3).

記f(m)=(m—2)2(m?+3),所以千'(m)=2(m—2)(2m2—2m+3),又k?

+1=(m—2)2"

所以mW1或m23,

當(dāng)(―8,1]時(shí),f7(m)VO,f(m)單調(diào)遞減,

當(dāng)m£[3,+8)時(shí),f7(m)>0,f(m)單調(diào)遞增,

又因?yàn)閒(1)=4,f(3)=12,

所以f(m)*n=f(1)=4,所以|AB%n=2.

答案:2

10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為2,若點(diǎn)P在

拋物線上,且點(diǎn)P到/的距離為d,Q在圓x2+(y-3)2=l上,則p=

,|PQ|+d的最小值為.

【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為2,所

以p=2,F(1,0),準(zhǔn)線/:x=-1,由拋物線的定義可知點(diǎn)P到/的

距離d=|PF|,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|,

設(shè)圓x?+(y-3)2=1的圓心為C,則C(0,3),圓的半徑為1,|PQ|+

|PF|^|CF|-1=A/12+32-1=赤-1,

當(dāng)且僅當(dāng)C,P,Q,F共線時(shí)等號(hào)成立,

所以|PQ|+d的最小值為赤-1.

答案:2訴一1

【素養(yǎng)提升練】(25分鐘35分)

1.已知雙曲線C:X了一V事=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,

1

F2,實(shí)軸長為6,漸近線方程為y=±§x,動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上,點(diǎn)

N為圓E:x2+(y+V6產(chǎn)=1上一點(diǎn),貝lJ|MN|+|MF2|的最小值為()

A.8B.9C.10D.11

【解析】選B.由題意可得2a=6,即a=3,

[b]

漸近線方程為y=±-x,即有一=-,

oao

2

即b=1,可得雙曲線方程為/-y2=1,

焦點(diǎn)為E(一四,0),F2(VW,0),

由雙曲線的定義可得IMF2I=2a+|ME|

=6+|MF/,

22

由圓E:x+(y+V6)=1可得E(0,一[Z),半徑r=1,|MN|+|MF2|

=6+|MN|+|MFj,

連接EE,交雙曲線于M,交圓于N,

可得|MN|十|MF』取得最小值,且將1|=y6+10=4,則iMNl+lMFzl

的最小值為6+4—1=9.

2.已知直線/i:4x—3y+6=0和直線/2:x=-l,拋物線y?=4x上一

動(dòng)點(diǎn)P到直線/i和直線12的距離之和的最小值是()

1137

A.2B.3C.ED.T7

OA.0

【解析】選A.直線,2:x=-1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線.由拋物線的定

義知,P到/2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離,故本題轉(zhuǎn)

化為在拋物線y2=4x上找一個(gè)點(diǎn)P,使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線人的距

離之和最小,最小值為F(1,0)到直線h:4x-3y+6=0的距離,即

如圖,已知拋物線J的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)(3,

6),圓C2:x2+y2-6x+8=0,過圓心C2的直線/與拋物線和圓分別交

于P,Q,M,N,則|PN|+3|QM|的最小值為.

【解析】由題意,拋物線過點(diǎn)(3,6),得拋物線方程y2=i2x,設(shè)焦點(diǎn)

為F(3,0),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+y2=i,所以圓心為(3,0),與

拋物線焦點(diǎn)重合.半徑r=1.由于直線過焦點(diǎn),

“a1121

所以有兩+兩=P=§'

又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4

(11A

=3(|PF|+3|QF|)向+向+4

=3(4+WT+TQFT]+4^16+673.

當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=[5]QF|時(shí)取等號(hào).

答案:16+6水

X2V2

4.已知橢圓C:p+京=l(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積

為2yli,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,平].

⑴求橢圓C的方程;

(2)若橢圓C的下頂點(diǎn)為P,如圖所示,點(diǎn)M為直線x=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線I垂直于0M,且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),

與0M交于點(diǎn)N,設(shè)四邊形AMBO和AONP的面積分別為Si,S2,求

SR2的最大值.

【解析】(1)因?yàn)椤埃?dāng)在橢圓C上,所以*+泉=1,又因?yàn)闄E

圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2皿,所以,X2aX2b=2四,ab

2

解得a?=2,b2=1,所以橢圓C的方程為,+y2=1.

⑵由⑴可知F(1,0),設(shè)M(2,t),A(X1,y0,B(x2,y2),則當(dāng)t左。

,t

時(shí),OM:y=-x,

2

所以kAB=--,

2

直線AB的方程為丫=一三(x-1),

即2x+ty—2=0(tWO),

、

I(v—,—2(/x—1)

由Jt'得(8+t2)x2—16x+8—2t2=0,則△=(-16)2

[x2+2y2-2=0,

16g_2t2

—4(8+t?)(8—2t,)=8(t"+4t2)>0,Xi+x2=^p^,XlX2=8+t2'

所以|AB|=[l+k*?]些

1,42-72?^/t2(t2+4)2^/2(t2+4)

=V+?X8+t2=8+t2-

又0M=qt2+4,所以S|=1OM?AB

_1rrrz2m3+4)yf?(t2+4)-\/?+4

2

一?8+t2-8+t

2,、

y=-r(x-1),

t4

t得XN=?+4'

y=1x,

“142

所以S2=,義1*百彳=P+4'

(¥+4)7^+422啦"+4

所以S1S2

8+t2P+48+t2

2啦-〈乎,當(dāng)t=0時(shí),直線/:x=1,AB=A/2,Si=;

戶+許

X/X2=/,Sz=;X1X1=1,S$2=*,所以當(dāng)t=0時(shí),

(S1S2)max="^~?

22

5.(10分)已知橢圓C:[+9=l(a>b>0)過點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn),且

a12b2

AM的斜率為士

2

(1)求C的方程;

⑵點(diǎn)N為C上一動(dòng)點(diǎn),求4AMN的面積的最大值..

【解析】(1)由題意,點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-a,0),

3-01

所以kAM=-解得a=4,

2+Q2

因?yàn)辄c(diǎn)M(2,3)在橢圓C上,

所以2+:1,解得b?=12,

a2bz

所以橢圓C的方程為匕zi=i.

1612

1

⑵由題意,直線AM的方程為y-3=-(x-2),即x-2y+4=0,

2

因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C上,

所以設(shè)N(4cos9,2V3Sin0),9e[0,2n),

設(shè)點(diǎn)N到直線AM的距離為d,

\4cosO-4y/3sinO+4\_475

所以d=IV3sin0-cos0

J仔+(-2)25

一1|二中?|2s譏

因?yàn)镮AM|=J(-4-2)2+(0.3)2=3晶,

所以SAAMN=||AM|-d=|X3V5X^-|2sin(0-^-1|=6?J2sizi(0-21

因?yàn)?£[0,2n),所以2sin(吧T

所以12s譏(e-)1H。,3],

所以當(dāng)2sin^0---1—3,(SAAMN)max—6X3—18.

【加練備選?拔高】

22

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓Cj+4=1(a>b>0)的離心率

為?,左、右焦點(diǎn)分別為F?F2,以F,為圓心以3為半徑

的圓與以Fz為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢

圓C的方程.

⑵設(shè)橢圓E:言+力=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線y

=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.

(i)求隘■的值;(ii)求△ABQ面積的最大值.

【解析】(1)因?yàn)閮蓤A的公共點(diǎn)在橢圓C上,所以2a=3+1=4,a=2.

又因?yàn)闄E圓C的離心率為e=—,

a2

所以c=[5,b2=a2—c2=1.

2

即橢圓C的方程為,+y2=1.

22

(2)(i)由⑴知,橢圓E:77+'-1.

104

設(shè)P(x。,y。)是橢圓C上任意一點(diǎn),則X:+4y:=4.直線OP:y=-x

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