一類非線性方程解的存在性

一類非線性方程解的存在性

在概率計(jì)量的空間中，張石生等人引入了“概率積分”的概念。朱傳喜等人在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究，改進(jìn)和推廣了許多研究成果。朱傳喜等在文中首次提出了Z-P-S空間的概念后,在高次冪的無(wú)零元的緊連續(xù)下,繼續(xù)豐富了概率度量空間中不動(dòng)點(diǎn)的研究?jī)?nèi)容,也獲得了一些相關(guān)研究成果,對(duì)概率度量空間中不動(dòng)點(diǎn)理論的研究起到極大的推動(dòng)作用。由于文獻(xiàn)至都只局限于低次冪和一維的研究情形,而且所要求的三角函數(shù)模比較強(qiáng),故本文在“比較弱的三角函數(shù)模的條件下”將其推廣至具有Menger概率內(nèi)積的高次冪和二維的Z-P-S空間中,從而拓寬了此類非線性方程解的研究范圍。在本文用R表示一切實(shí)數(shù)的集合,R+為一切非負(fù)實(shí)數(shù)的集合。定義1映射f:R→R+稱為分布函數(shù),如果它是非減的,左連續(xù)的,又滿足下面條件:inft∈Rf(t)=0?supt∈Rf(t)=1。用D0表示一切分布函數(shù)的集合。并用H(t)表示一特殊的分布函數(shù),其定義如下:Η(t)={1,t＞00,t≤0定義2映象Δ:×→稱為三角范數(shù)(簡(jiǎn)稱t-范數(shù)),如果滿足下面條件:對(duì)?a,b,c,d∈1)Δ(a,1)=a,Δ(0,0)=0。2)Δ(a,b)=Δ(b,a)。3)Δ(Δ(a,b),c)=Δ(a,Δ(b,c))。4)Δ(c,d)≥Δ(a,b),當(dāng)a≥a,d≥b時(shí)。定義3Menger概率線性賦范空間(簡(jiǎn)稱PN–空間)是一三元組(E,F,Δ),其中E是一實(shí)線性空間,且F:E→D是一映象(記分布函數(shù)F(x)為fx,x∈E又fx(t)表示fx在t∈R的值)滿足下面條件:(PN-1)fx(0)=0。(PN-2)fx(t)=H(t),?t∈R?x=0。(ΡΝ-3)fax(t)=fx(t|a|),其中a是任一實(shí)數(shù)且a≠0。(PN-4)對(duì)?x,y∈E,t1,t2∈R,若fx(t1)=1,fy(t2)=1,則有fx+y(t1+t2)=1。(PN-5)對(duì)?x,y∈e,?t1,t2∈R+,則有fx+y(t1+t2)≥Δ(fx(t1),fy(t2))。1fx,y,z-t,b的概率內(nèi)積空間全文假定t范數(shù)Δ是連續(xù)的,E是域K(實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域)上的線性空間,且所有的運(yùn)算都是有意義的。定義4概率內(nèi)積空間是一三元組(E,F,Δ),其中E是一實(shí)線性空間,Δ∈Δ′ω={Δ為弱t-模:Δ(a,b)≥min(a,b),?a,b∈},且有映象F:E×E→D0(分布函數(shù)的全體),?x,y,z∈E,下述條件滿足:(PI-1)F(x,y)=F(y,x)。(PI-2)F(x,y)∈D0;F(x,x)=H(t),?t∈R?x=θ。(PI-3)若F(x,y)(t)=H(t),則F(λx,y)(t)=H(t),?λ∈R。若F(x,y)t≠H(t),則F(λx,y)(t)=F(x,y)(t|λ|)?λ≠0;F(0x,y)(t)=H(t)。(PI-4)若F(x+y,z),F(x,z),F(y,z)∈D0,且?λ∈R,?α,β>0,α+β=1,則當(dāng)F(x+y,z)(t)=1,S0(F(x,z))(αt),F(y,z)(βt))當(dāng)F(x+y,z)＜1,S(F(x,z))(αt),F(y,z)(βt))}≥F(x+y,z)(t)≥{Δ(F(x,z))(αt),F(y,z)(βt)),當(dāng)F(x+y,z)(t)＞0Δ0(F(x,z))(αt),F(y,z)(βt)),當(dāng)F(x+y,z)(t)=0其中Δ0(a,b)=min(a,b),S(a,b)=1-Δ(1-a,1-b),S0(a,b)=1-Δ0(1-a,1-b)定義5設(shè)(E,F,Δ)是概率內(nèi)積空間,若?x,y∈E,t,s>0,有F(x,y)(ts)≥Δ(F(x,x)(t2),F(y,y)(s2))則(E,F,Δ)稱為Menger概率內(nèi)積空間。定義6如果M-PN空間(E,F,Δ)滿足下列條件:(R1)E是實(shí)數(shù)集R上的代數(shù),即對(duì)?x,y∈E,存在x·y,使得1)?x,y∈E,有x·y∈E;2)?α∈R,?x,y∈E,(αx)·y=x·(αy)=α(xy);(R2)E中沒(méi)有冪零元,即?x∈E,?n∈N,xn=θ?x=θ。則稱E為Z-P-S空間。在Z-P-S空間E中,記x?x?xn個(gè)=xn,其中x∈E,n為自然數(shù)。2有tx0,b1,bd引理1設(shè)(E,F,Δ)具有Menger概率內(nèi)積空間,如果定義映射f:X→D0(分布函數(shù)的全體)形如:fx(t)={F(x?x)(t2)t＞00t≤0則(E,F,Δ)是Menger概率線性賦范空間(簡(jiǎn)稱PN–空間)。定理1設(shè)(E,F,Δ)為具有Menger概率內(nèi)積的Z-P-S空間,D?E是其開(kāi)子集,Δ(t,t)≥t,?t>0,又設(shè)T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,θ∈D且?x∈?D有,如果T滿足下列條件:(Η1)∶f((Τx-x)n?(Τx-x)n)(t2)＜f((Τx)n+xn,(Τx)n+xn)(t2),?x∈?D則非線性算子方程Tx=μx(μ≥1)在ˉD中必有解。證明可設(shè)Tx≠μx,?x∈?D,μ≥1(否則,定理已獲證)。由已知條件T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,故1μΤ:ˉD→E也是緊連續(xù)算子。令hs(x)=x-sμΤx,s∈,其中?x∈?D,μ≥1。下面證明:θ?hs(?D),s∈。事實(shí)上,假設(shè)θ∈hs(?D),即存在s0∈,x0∈?D,使得θ=x0-s0μΤx0。如果s0=0時(shí),則μx0=0(μ≥1)?x0=θ,所以θ∈?D,則與θ∈D矛盾。如果s0=1時(shí),有Tx0=μx0(μ≥1),x0∈?D,因此有Tx0=μx0(μ≥1),x0∈?D,與Tx≠μx,?x∈?D,μ≥1矛盾。所以s0∈(0,1),故可得Τx0=μs0x0(μ≥1),x0∈?D。將Τx0=μs0x0(μ≥1)代入已知條件(H1)可得:f(((μs0)-1)nxn0,((μs0)-1)nxn0)(t2)＜f(((μs0)n+1)xn0,((μs0)n+1)xn0)(t2)其中?x0∈?D由分布函數(shù)的非減性得:t2((μs0)-1)2n＜t2((μs0)n+1)2)即((μs0)-1)2n＞((μs0)n+1)2(1)令t=μs0＞1,構(gòu)造函數(shù)f(t)=(t-1)2n-(tn+1)2,其中?n∈N。對(duì)t求導(dǎo)得:f′(t)=2n[(t-1)2n-1-t2n-1-tn-1]＜0所以函數(shù)f(t)在t∈(1,+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減。因此f(t)<f(1)=(1-1)2n-(1n+1)2=-4<0。故(t-1)2n<(tn+1)2,t∈(1,+∞)。即(1)式不成立。因此θ?hs(?D),s∈。由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院涂山庑缘?Deg(Ι-1μΤ,D,θ)=Deg(Ι,D,θ)=1≠0所以1μΤ在D中必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即存在x1∈D,使得1μΤx1=x1。定理2設(shè)(E,F,Δ)具有Menger概率內(nèi)積的Z-P-S空間,D?E是其開(kāi)子集,Δ(t,t)≥t,?t>0,又設(shè)T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,θ∈D且?x∈?D,如果T滿足下列條件:(Η2):f((Τx+x)n,(Τx+x)n)(t2)＞f((Τx)n-xn,(Τx)n-xn))(t2),?x∈?D則非線性算子方程Tx=μx(μ≥1)在ˉD中必有解。證明可設(shè)Tx≠μx,?x∈?D,μ≥1(否則,定理已獲證)。由已知條件T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,故1μΤ:ˉD→E也是緊連續(xù)算子。令hs(x)=x-sμΤx,s∈,?x∈?D,μ≥1。下面證明:θ?hs(?D),s∈。事實(shí)上,假設(shè)θ∈hs(?D),即存在s0∈,x0∈?D,使得θ=x0-s0μΤx0。如果s0=0時(shí),則μx0=0(μ≥1)?x0=θ,所以θ∈?D,則與θ∈D矛盾。如果s0=1時(shí),有Tx0=μx0(μ≥1),x0∈?D,因此有Tx0=μx0(μ≥1),x0∈?D,與Tx≠μx,?x∈?D,μ≥1矛盾。所以s0∈(0,1),故可得Τx0=μs0x0(μ≥1),x0∈?D。將Τx0=μs0x0(μ≥1),代入已知條件(H2)可得:f(((μs0)+1)nxn0,((μs0)+1)nxn0)(t2)＞f(((μs0)n+1)xn0,((μs0)n+1)xn0)(t2)??x0∈?D由分布函數(shù)的非減性得:t2((μs0)+1)2n＞t2((μs0)n+1)2即((μs0)+1)2n＜((μs0)n+1)2(2)令t=μs0＞1,構(gòu)造函數(shù)f(t)=(t+1)2n-(tn+1)2,其中?n∈N。對(duì)t求導(dǎo)得:f′(t)=2n[(t+1)2n-1-t2n-1+tn-1]＞0所以函數(shù)f(t)在t∈(1,+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增。因此f(t)>f(1)=(1+1)2n-(1n+1)2=4n-4>0。故(t+1)2n>(tn+1)2,t∈(1,+∞)。即(2)式不成立。因此θ?hs(?D),s∈由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院涂山庑缘?Deg(Ι-1μΤ,D,θ)=Deg(Ι,D,θ)=1≠0所以1μΤ在D中必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x2,即存在x2∈D,使得1μΤx2=x2。推論1設(shè)(E,F,Δ)具有Menger概率內(nèi)積的Z-P-S空間,D?E是其開(kāi)子集,Δ(t,t)≥t,?t>0,又設(shè)T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,θ∈D且?x∈?D,如果T滿足下列條件:(Η′2):f((Τx+x)n,(Τx+x)n)(t2)＞f((Τx)n+xn,(Τx)n+xn))(t2),?x∈?D則非線性算子方程Tx=μx(μ≥1)在ˉD中必有解。證明其證明過(guò)程與定理2相同,故略。定理3設(shè)(E,F,Δ)為具有Menger概率內(nèi)積的Z-P-S空間,D?E是其開(kāi)子集,Δ(t,t)≥t,?t>0,又設(shè)T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,θ∈E且?x∈?D,如果T滿足下列條件:(Η3):f((Τx)n,(Τx)n)(t2)＞f((Τx-x)n,(Τx-x)n)(t2),?x∈?D則非線性算子方程Tx=μx(μ≥1)在ˉD中必有解。證明可設(shè)Tx≠μx,?x∈?D,μ≥1(否則,定理已獲證)。由已知條件T:ˉD→E是緊連續(xù)算子,故1μΤ:ˉD→E也是緊連續(xù)算子。令hs(x)=x-sμΤx,s∈,?x∈?D,μ≥1。下面證明:θ?hs(?D),s∈。事實(shí)上,假設(shè)θ∈hs(?D),即存在s0∈,x0∈?D,使得θ=x0-s0μΤx0。如果s0=0時(shí),則μx0=0(μ≥1)?x0=θ,所以θ∈?D,則與θ∈D矛盾。如果s0=1時(shí),有Tx0=μx0(μ≥1),x0∈?D,因此有Tx0=μx0(μ≥1),x0∈?D,與Tx≠μx,?x∈?D,μ≥1矛盾。所以s0∈(0,1),故可得Τx0=μs0x0(μ≥1),x0∈?D。將Τx0=μs0x0(μ≥1)代入已知條件(H3)可得:f((μs0)nxn0,(μs0)nxn0)(t2)＞f(((μs0)n-1)xn0,((μs0)n-1)xn0)(t2)??x0∈?D由分布函數(shù)的非減性得:t2(μs0)2n＞t2((μs0)n-1)2n即(μs0)2n＜((μs0)n-1)2(3)令t=μs0＞1,構(gòu)造函數(shù)f(t)=t2n-(tn-1)2,其中?n∈N。對(duì)t求導(dǎo)得:f′(t)=2n[t2n-1-t2n-1+tn-1]=2ntn-1＞0所以函數(shù)f(t)在t∈(1,+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增。因此f(t)>f(1)=2n·12n=1>0。故t2n>(tn-1)2,t∈(1,+∞)。即(3)式不成立。因此θ?hs(?D),s∈。由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院涂山庑缘?Deg(Ι-1μΤ,