多項(xiàng)式的帶余除法及同余問題

多項(xiàng)式的帶余除法及同余問題在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們學(xué)過了一元多項(xiàng)式的基本運(yùn)算，如加減乘除、整式化簡、配方法等。本文將介紹多項(xiàng)式的另外一種重要運(yùn)算——帶余除法及同余問題，同時(shí)也會涉及到一些相關(guān)的概念和定理。一、帶余除法帶余除法，又稱長除法，是多項(xiàng)式除法的一種算法。通過帶余除法，我們可以把一個多項(xiàng)式fx除以另一個多項(xiàng)式gx的商qx和余數(shù)帶余除法的步驟如下：將fx和gx從高次項(xiàng)開始排列，得到fx=amxm將gx的首項(xiàng)系數(shù)bn與fx的首項(xiàng)系數(shù)am做除法，得到商式$c=\\frac{a_m}{b_n}$和中間多項(xiàng)式h比較hx的次數(shù)和gx的次數(shù)，如果hx的次數(shù)小于gx的次數(shù)，那么qx=c，rx=hx，即商為c，余數(shù)為hx。如果hx的次數(shù)大于等于gx最終得到$f(x)=q(x)\\cdotg(x)+r(x)$，其中qx是商式，rx是余數(shù)，滿足接下來我們通過一個例子來具體說明。例1將多項(xiàng)式fx=3x3解：首先將fx和gx$$\\begin{aligned}f(x)&=3x^3+5x^2-x-2\\\\g(x)&=x^2+2\\end{aligned}$$將gx的首項(xiàng)系數(shù)1與fx的首項(xiàng)系數(shù)3做除法，得到商式c=3h因?yàn)閔x的次數(shù)小于gx的次數(shù)，所以qx$$q(x)=3,\\r(x)=3x-1$$最終得到$f(x)=(x^2+2)\\cdot3+(3x-1)$。二、同余問題在多項(xiàng)式運(yùn)算中，同余問題是很常見的問題。如果兩個多項(xiàng)式在模gx的意義下相等，那么它們是同余的。具體來說，如果多項(xiàng)式fx和gx滿足$f(x)\\equivg(x)\\pmod{m(x)}$，則稱fx和gx對于同余問題，我們有以下定理：定理1設(shè)fx、gx、hx為多項(xiàng)式，同余關(guān)系具有傳遞性，即$f(x)\\equivg(x)\\pmod{m(x)},\\g(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}$則$f(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}$。同余關(guān)系具有加法和乘法運(yùn)算，即$$\\begin{aligned}&f(x)+g(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}\\\\&f(x)\\cdotg(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}\\end{aligned}$$同余關(guān)系具有指數(shù)運(yùn)算，即$$f(x)^k\\equivg(x)^k\\pmod{m(x)}$$證明略。我們來看一個應(yīng)用同余問題的例子。例2求多項(xiàng)式fx=3x3+解：由帶余除法可知，$$\\begin{aligned}f(x)&=q(x)\\cdotg(x)+r(x)\\\\&=q(x)\\cdot(x+1)+r(x)\\end{aligned}$$因此，$$\\begin{aligned}r(x)&=f(x)-q(x)\\cdot(x+1)\\\\&=(3x^3+5x^2-x-2)-q(x)\\cdot(x+1)\\end{aligned}$$要求fx除以gx的余數(shù)，就等價(jià)于在模x+1的意義下，求出fx下面對fx進(jìn)行模x+$$\\begin{aligned}f(x)&\\equiv3x^3+5x^2-x-2\\pmod{x+1}\\\\&\\equiv3\\cdot(-1)^3+5\\cdot(-1)^2-(-1)-2\\pmod{x+1}\\\\&\\equiv-5\\pmod{x+1}\\end{aligned}$$所以rx=?5，即fx除以g三、小結(jié)本文主要介紹了多項(xiàng)式