一類關(guān)系方程的一個(gè)解

一類關(guān)系方程的一個(gè)解

1交既約元的解集設(shè)置i和j表示索引集，a=（aj）ij是系數(shù)矩陣，b=（bi）tii是已知列向量，并用它代替。為一個(gè)取值于完備Brouwerian格上的@-Fuzzy關(guān)系方程,其中@表示inf-α合成,且所有的aij,bi均取值于完備Brouwerian格L.方程(1)的一個(gè)特殊情況為其中b∈L,A=(ai)i∈I為一行向量.記方程(2)的解集為χ2={X:A@X=b}.在E.Sanchez介紹了Fuzzy關(guān)系方程的理論以后,許多研究工作者進(jìn)一步擴(kuò)大了此理論的研究.1985年,A.D.Nola,W.Pedrycz及S.Sessa引入了@-Fuzzy關(guān)系方程并找到了方程的最小解,得到了@-Fuzzy關(guān)系方程有解的一個(gè)充要條件,即一個(gè)@-Fuzzy關(guān)系方程有解當(dāng)且僅當(dāng)方程有最小解.1989年,A.D.Nola,W.Pedrycz和E.Sanchez等又在線性格上討論了@-Fuzzy關(guān)系方程并構(gòu)造出了其極大解.作者于另文中在完備Brouwerian格上從最簡(jiǎn)單的@-Fuzzy關(guān)系方程aαx=b開始討論,得到了其解集;進(jìn)一步,假設(shè)方程(2)的b是格上的一個(gè)交既約元而得到了方程(2)的解集χ2;又在假設(shè)方程(1)中B的每一個(gè)分量bi(i∈{1,2,…,n})是交既約元的情況下,得到了方程(1)的解集;在此基礎(chǔ)上,作者又已經(jīng)在完備Brouwerian格上假設(shè)方程(2)的b有不可約有限交分解時(shí)找到了方程(2)有解的一個(gè)充要條件并構(gòu)造出了其極大解,從而給出了解集χ2,又進(jìn)一步在假設(shè)方程(1)中B的每一個(gè)分量bi(i∈{1,2,…,n})有不可約有限交分解的情況下確定了方程(1)的解集.作者以前的工作都是在有限論域上討論@-Fuzzy關(guān)系方程,而本文則是在論域?yàn)闊o(wú)限集時(shí)在完備Brouwerian格上討論@-Fuzzy關(guān)系方程,并且只討論方程(2).在假設(shè)方程(2)的b為完全交既約元或有不可約完全交既分解時(shí),構(gòu)造出了方程的極大解且對(duì)方程的解集中每一個(gè)解都找到了一個(gè)大于等于它的極大解.全文假設(shè)L=(L,≤,∨,∧)是一個(gè)具有泛界0和1的完備無(wú)限分配Brouwerian格,其中任取a,b∈L,a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b},“≤”表示格L上的偏序.還假設(shè)所有的向量及矩陣的元均取自格L.除特別申明外的其它符號(hào)及定義可參考文.定義1如果格L滿足:任取a,b∈L,存在使a∧x≤b成立的最大的元x,則稱L為一個(gè)Brouwerian格,記該最大元為aαb.如果格L還是完備的,則稱L為一個(gè)完備Brouwerian格.引理1任取a,b∈L,則aαb=aα(a∧b),aαb≥b.引理2任取a,b∈L,則a≤b當(dāng)且僅當(dāng)aαb=1.定義2設(shè)L為格,任取x,y,b∈L,如果b=x∧y蘊(yùn)含x=b或y=b則稱b為格L的交既約元.引理3如果p為分配格L的交既約元,a∈L且a≤p,則aαp=p.引理4如果a∈L,{xi|i∈I}?L,其中I是某個(gè)指標(biāo)集,則aα(∧i∈Ixi)=∧i∈I(aαxi).定義3設(shè)A=(aij)I×J,B=(bjk)J×K,定義A@B=C=(cij)I×K如下:任取i∈I,j∈K,cij=∧r∈J(airαbrj).cij=∧r∈J(airαbrj).定義4設(shè)A=(aij)I×J,B=(bij)I×J,定義A≤B當(dāng)且僅當(dāng)任取i∈I,j∈J,aij≤bij.引理5設(shè)B和C表示格L上n×r階矩陣,且B≤C.則對(duì)每一個(gè)m×n階矩陣A,A@B≤A@C.定義5設(shè)L為完備格,a∈L,如果任取S?L,由a∈S可推出a∈S,則稱a為L(zhǎng)的完全交既約元.注1明顯地,完全交既約元是交既約元的一個(gè)特例.引理6設(shè)L為完備Brouwerian格,任取a∈L,S?L,如果a為完全交既約元且a≥∧S,則存在p∈S使a≥p.證明如果a≥∧S,則由L為無(wú)限分配格知a=a∨(∧S)=∧q∈S(a∨q),進(jìn)一步由定義5知存在p∈S使a=a∨p,所以存在p∈S使a≥p.推論1對(duì)于方程b=A@X=∧i∈I(aiαxi),如果b有不可約完全交分解∧Q,則任取p∈Q,存在i∈I使aiαxi≤p.定義6設(shè)L為完備格,a∈L,如果存在L中若干完全交既約元構(gòu)成的集合Q使a=∧Q,則稱a有完全交既分解.進(jìn)一步,如果任取p∈Q,a≠∧Qp},則稱a有不可約完全交既分解.注2由定義5,6易見(jiàn),若a為格L的完全交既約元,則a有不可約完全交既分解.引理7完備無(wú)限分配格的元的不可約完全交既分解如果存在,一定是唯一的.證明設(shè)a∈L,a=∧Q和a=∧D分別為a的任意兩個(gè)不可約完全交既分解.任取p∈Q,p≥∧D,則由引理7知,存在q∈D,使p≥q.若p>q,而q≥∧Q,則存在p1∈Q,使q≥p1.于是有p>p1,因此a=∧(Qp})與∧Q是a的不可約完全交既分解相矛盾,所以p=q.同樣,任取q∈D,也存在p∈Q使q=p.所以Q=D.定義7S為一偏序集P的非空子集,a∈S,若不存在x∈S使得x>a,則稱a為S的一個(gè)極大元.定義8稱所討論的Fuzzy關(guān)系方程的解集中的極大元(如果存在)為所討論的Fuzzy關(guān)系方程的一個(gè)極大解.注3設(shè)X*∈χ(χ為所討論的Fuzzy關(guān)系方程的解集).于是由定義7知,X*是χ的極大元當(dāng)且僅當(dāng)任取X∈χ,如果X≥X*,則X=X*.2極大元x#本節(jié)將在論域?yàn)闊o(wú)限集時(shí)在完備無(wú)限分配Brouwerian格上證明如果方程(2)有解且b為完全交既約元或有不可約完全交既分解,則對(duì)于方程(2)的每一個(gè)解至少存在一個(gè)大于等于它的極大解.設(shè)I為無(wú)限集,記G(b)={i∈I:ai≤b}.第一作者和其它合作者在另文中已經(jīng)證得下面一個(gè)引理(待發(fā)表):引理8如果X=(xi)Ti∈I∈χ2,且b有不可約完全交既分解∧Q,則任取p∈Q,存在i∈I使得aiαxi≤p,且aiαxi≤p蘊(yùn)含ai≤p.命題1如果χ2≠>,且G(b)=>,則b不是完全交既約元.證明若b為完全交既約元,則由χ2≠>知存在X=(xi)Ti∈I使得b=∧i∈I(aiαxi).由定義5知存在i∈I使b=aiαxi,又由引理8得ai≤b,于是i∈G(b),此與G(b)=>矛盾.推論2如果b為完全交既約元,則χ2≠>當(dāng)且僅當(dāng)G(b)≠>.命題2如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則χ2有極大元.證明若χ2≠>,則由推論2知G(b)≠>.設(shè)k∈G(b),令X*=(x*i)i∈I滿足:任取i∈I,則由引理2,5,注1及引理8得故X*∈χ2.下證X*是χ2的極大元.假設(shè)存在X=(xi)Ti∈I∈χ2使得X≥X*,由定義4,任取i∈I,xi≥x*i.不妨設(shè)x*k≠1,則xk=1,否則若xk=1,又當(dāng)i≠k時(shí),由xi≥x*i知xi=1,這樣就有X=(1,1,…,1,…)T,從而A@X=1≠b,矛盾.于是由(3)式,引理2,5,注1及引理3知所以xk=x*k.因此X=X*,進(jìn)一步由注3知X*就是χ2的極大元.引理9若方程aαx=b有解,則b是方程的最大解.第一作者和其它合作者在另文中已證明該引理(待發(fā)表).命題3如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則χ2的所有極大元都具有(3)式的形式.證明若χ2≠>,設(shè)X=(xi)Ti∈I為χ2的任一極大元,于是b=∧i∈I(aiαxi).由注1及定義5知,存在k∈I使b=akαxk.定義C=(ci)Ti∈I如下:任取i∈I,于是由引理9及定義4得C≥X,又由命題2的證明知C∈χ2,再由注3知X=C,故χ2的所有極大元都具有(3)式的形式.推論3如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則任取X∈χ2,至少存在χ2的一個(gè)極大元X*滿足X*≥X.證明由推論2,命題2和3即知.設(shè)A=(ai)i∈I,b∈L,定義Aγb=(aiγb)i∈I,其中由推論2,命題2及3易得下一命題成立.命題4如果χ2≠>,且b為完全交既約元,則χ2中所有的極大元之交等于Aγb,且χ2中極大元的個(gè)數(shù)為|G(b)|.由引理7,下設(shè)b有不可約完全交既分解∧Q.設(shè)A,B是兩個(gè)集合,(1)定義A\B{x∈A:x?B};(2)如果集合B是集合A的子集,以下約定A|B=B.命題5如果χ2≠>,且b有不可約完全交既分解∧Q,則任取X∈χ2,至少存在χ2的一個(gè)極大元X*滿足X*≥X.證明由χ2≠>,可設(shè)X=(xi)Ti∈I∈χ2,于是b=∧i∈I(aiαxi)=∧Q.因此任取p∈Q,p≥∧i∈I(aiαxi),由推論1及引理1知存在i∈I使p≥aiαxi≥xi,因此可作Q的子集族如下:由引理8得易見(jiàn)∪i∈ΙˉAi=∪i∈ΙAi=Q∪i∈IAˉˉˉi=∪i∈IAi=Q,對(duì)子集族ˉAAˉˉˉi,i∈I,作如下改造:任取p∈Q,讓p屬于且僅屬于一個(gè)ˉˉAi,i∈Ι.(4)任取p∈Q,讓p屬于且僅屬于一個(gè)Aˉˉˉˉˉˉi,i∈I.(4)記改造后的子集族ˉAAˉˉˉi,i∈I,為ˉˉAAˉˉˉˉˉˉi,i∈I.于是∪i∈ΙˉˉAi=Q.且任取i,j∈I,如果i≠j,則ˉˉAi∩ˉˉAj=>.令X*=(x*i)i∈I滿足:任取i∈I,于是由引理2,4,注1及引理3得因此X*∈χ2,易見(jiàn)X*≥X.下證X*就是χ2的極大元.設(shè)存在X**=(x**i)Ti∈I∈χ2使X**≥X*,由定義4,即任取i∈I,x**i≥x*i.不妨設(shè)x*k≠1,下證x**k=x*k.事實(shí)上,由x*k≠1知ˉˉAk≠>,對(duì)任取p∈ˉˉAk,由p≥b=∧i∈I(aiαx**i)及推論2和引理1知存在ik∈I使p≥aikαx**ik≥x**ik,可以斷言ik=k.否則若ik≠k,則由p≥x**ik≥x*ik及p≠1知x*ik≠1.于是由X*的構(gòu)造知ˉˉAi