幾種不同增長的函數(shù)模型+應(yīng)用實(shí)例

幾類不同增長

例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.回報量選擇投資方案的標(biāo)準(zhǔn)X請問：你會選擇哪種投資方案？日回報累計(jì)回報方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述圖-1我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多。從中你對“指數(shù)爆炸”的含義有什么新的理解？函數(shù)圖象是分析問題的好幫手。為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn)。結(jié)論三種方案的每日回報第1~3天，應(yīng)選擇方案一第4天，應(yīng)選擇方案一或方案二；第9天開始，應(yīng)選擇方案三.第5~8天，應(yīng)選擇方案二；81940920410250.8251262.81.20.4三660550450360280210150100603010二4404003603202802402001601208040一1110987654321

天數(shù)回報/元方案327616389107805204801312三種方案的累計(jì)回報投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三.結(jié)論常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)型函數(shù)幾種常見函數(shù)的增長情況：保持不變直線上升勻速增長急劇增長指數(shù)爆炸沒有增長列表法圖象法實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題函數(shù)問題讀懂題意抽象概括解析法X例2、公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定了一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：

y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？X對數(shù)增長模型：平緩增長觀察—?dú)w納—猜想—證明2004006008001000234567810思想方法知識常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)沒有增長直線上升指數(shù)爆炸對數(shù)增長數(shù)學(xué)建模學(xué)以致用，用以致優(yōu)!

函數(shù)的三種表示法，觀察—?dú)w納—猜想—證明！

小結(jié)從剛才兩個例子中可以看到，這三類函數(shù)的增長是有差異的，那么，這種差異的具體情況到底怎么樣呢？思考x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y=x20.040.3611.963.244.846.76811.56…y=log2x-2.322-0.73700.4850.8471.1361.3781.5851.766…18161412108642-2-4-55101520h(x)=log2xgx()

=2xfx()

=x2O結(jié)論1：一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有ax>xn.結(jié)論2：一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn

(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)、在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)、隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度。(3)、隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn(n>0)的增長速度?？偞嬖谝粋€x0，當(dāng)x>x0時，就有

logax<xn<ax

一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關(guān)系如圖所示:例310203040506070809012534t/h

(1)求圖中陰影部分的面積,并說明所求面積的實(shí)際含義;

(3)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時間t

的函數(shù)解析式,并作出相應(yīng)的圖象.o(2)試建立汽車行駛路程Skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象汽車行使路程與時間的函數(shù)解析式汽車?yán)锍瘫淼淖x數(shù)為：22002300240012534to2100●s●●●●1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天房價住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達(dá)到最高，每間定價應(yīng)為（）A.20元B.18元C.16元D.14元2.將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少20個，為了取得最大利潤，每個售價應(yīng)定為()

A.95元B.100元C.105元D.110元CAy=(90+x-80）（400-20x)人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).

早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：例４(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型,并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符;年份

人數(shù)/萬人1950551961951563001952574821953587961954602661955614561956628281957645631958659941959672071950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料:5000060000650007000012534to55000●y6789●●●●●●●●●年份

人數(shù)/萬人195055196195156300195257482195358796195460266195561456195662828195764563195865994195967207(2)如果按右表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億?基本步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題

讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息。第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型

設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。