八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考測(cè)試卷(北師大版測(cè)試范圍-第一章、第二章)解析版

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：120分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：第一章、第二章（北師大版）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷單項(xiàng)選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．在3.14、﹣、、π、2.01001000100001這五個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：﹣＝﹣5，＝3，只有π是無(wú)理數(shù)，即無(wú)理數(shù)有1個(gè)，故選：A．2．下列計(jì)算正確的是（）A．＝±3 B．＝9 C．＝﹣3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把給出的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得出答案．【解答】解：A、＝3，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、（﹣）2＝3，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、﹣＝﹣3，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；D、＝＝，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．判斷下列各組數(shù)能作為直角三角形三邊的是（）A．3，4，6 B．4，5，7 C．2，3， D．7，6，【答案】D【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵32+42≠62，∴不能作為直角三角形三邊；B、∵42+52≠72，∴不能作為直角三角形三邊；C、∵22+（）2≠32，∴不能作為直角三角形三邊；D、∵62+（）2＝72，∴能作為直角三角形三邊．故選：D．4．把直角三角形兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，則其斜邊（）A．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的8倍 C．不變 D．?dāng)U大到原來(lái)的12倍【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理分別表示出原直角三角形的斜邊長(zhǎng)和擴(kuò)大后的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，得到答案．【解答】解：設(shè)直角三角形兩直角邊分別為a、b，則擴(kuò)大后的直角三角形的兩直角邊分別為4a、4b，由勾股定理得，原直角三角形的斜邊長(zhǎng)＝，擴(kuò)大后的直角三角形的斜邊長(zhǎng)＝＝4，∴把直角三角形兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，則其斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，故選：A．5．下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、＝，不是最簡(jiǎn)二次根式；B、＝＝，不是最簡(jiǎn)二次根式；C、是最簡(jiǎn)二次根式；D、＝5，不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：C．6．要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2【答案】B【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故選：B．7．如圖矩形ABCD的邊AD長(zhǎng)為2，AB長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是﹣1，以A點(diǎn)為圓心，對(duì)角線(xiàn)AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)是（）A． B． C． D．1﹣【答案】B【分析】直接利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)．【解答】解：如圖所示：連接AC，由題意可得：AC＝，則點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)是：﹣1．故選：B．8．如圖，一輪船以12海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以5海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后兩船相距（）A．13海里 B．16海里 C．20海里 D．26海里【答案】D【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，得兩條船分別走了24，18．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC＝90°，兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），根據(jù)勾股定理得：＝26（海里）．答：離開(kāi)港口2小時(shí)后兩船相距26海里，故選：D．9．如圖，一根長(zhǎng)為2.5m的梯子AB斜靠在垂直于地面的墻上，這時(shí)梯子的底端B離墻根E的距離為0.7m，如果梯子的底端向外（遠(yuǎn)離墻根方向）移動(dòng)0.8m至D處則梯子的頂端將沿墻向下移動(dòng)的距離AC為（）A．0.4m B．0.5m C．0.8m D．0.7m【答案】A【分析】在Rt△ABE中求出AE，在Rt△CDE中求出CE，繼而可得出頂端將沿墻向下移動(dòng)的距離．【解答】解：由題意得，AB＝CD＝2.5m，BE＝0.7m，DE＝1.5m，在Rt△ABE中，AE＝＝2.4m，在Rt△CDE中，CE＝＝2m，∴梯子的頂端將沿墻向下移動(dòng)的距離AC＝2.4﹣2＝0.4m．故選：A．10．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab＝8，小正方形的面積為9，則大正方形的邊長(zhǎng)為（）A．9 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的邊長(zhǎng)．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，∵每一個(gè)直角三角形的面積為：ab＝×8＝4，∴大正方形的面積為：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的邊長(zhǎng)為5．故選：C．第Ⅱ卷填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）11．a(chǎn)是9的算術(shù)平方根，而b的算術(shù)平方根是9，則a+b＝84．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出a、b的值，然后算出a+b即可．【解答】解：∵a是9的算術(shù)平方根，∴a＝3，又∵b的算術(shù)平方根是9，∴b＝81，∴a+b＝3+81＝84．故答案為：84．12．若最簡(jiǎn)根式與是可以合并的二次根式，則a的值是2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用題意可判斷與為同類(lèi)二次根式，則a+3＝11﹣3a，然后解關(guān)于a的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得a+3＝11﹣3a，解得a＝2．故答案為2．13．比較大?。ㄌ睢埃尽薄埃肌被颉埃健保海荆敬鸢浮恳?jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】?jī)蓴?shù)相減后，根據(jù)正負(fù)情況，即可得到答案．【解答】解：﹣＝﹣＝，∵11＝，6＝，，∴＞0，∴＞，故答案為：＞．14．如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線(xiàn)AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，則EF的長(zhǎng)為3．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】求出AC的長(zhǎng)度；證明EF＝EB（設(shè)為λ），得到CE＝8﹣λ；列出關(guān)于λ的方程，求出λ即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝90°，DC＝AB＝6；由勾股定理得：AC2＝AD2+DC2，∴AC＝10；由題意得：∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝6；EF＝EB（設(shè)為λ），∴CF＝10﹣6＝4，CE＝8﹣λ；由勾股定理得：（8﹣λ）2＝λ2+42，解得：λ＝3，∴EF＝3．故答案為：315．已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，那么2a+b的值為3+．【答案】3+．【分析】直接利用的取值范圍，得出a，b的值，進(jìn)而求出答案．【解答】解：∵3＜＜4，且a是實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，∴a＝3，b＝，∴2a+b＝2×3+﹣3＝3+．故答案為：3+．16．如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線(xiàn)從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線(xiàn)最短需要10cm．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】要求所用細(xì)線(xiàn)的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”得出結(jié)果．【解答】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接AB′，∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，AB′＝＝10cm．故答案為：10．三、解答題（本題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（6分）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）5．（2）3．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算以及零指數(shù)冪的意義即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則以及加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝+1＝4+1＝5．（2）原式＝+2﹣＝2+2﹣＝3．18．（6分）解方程：①（4x+1）2＝．②8x3+125＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x＝﹣．【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法解方程；（2）先把方程變形為x3＝﹣，然后利用直接開(kāi)立方法解方程．【解答】解：①∵（4x+1）2＝，∴4x+1＝±，解得：x1＝，x2＝﹣；②∵8x3+125＝0，∴x3＝﹣，∴x＝﹣．19．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）求CD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算；（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25；（2）△ABC的面積＝×BC×AC＝150；（3）由三角形的面積公式可得，×AB×CD＝150則CD＝＝12．20．（6分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是3，的小數(shù)部分為c．（1）分別求出a，b，c的值；（2）求c2+ac+bc+1的平方根．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、估算無(wú)理數(shù)的大小得出2a+4＝8，3a+b﹣1＝9，c＝﹣3，求出a、b即可；（2）求出c2+ac+bc+1的值，再求出平方根即可．【解答】解：（1）∵2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是3，的小數(shù)部分為c，∴2a+4＝8，3a+b﹣1＝9，c＝﹣3，解得：a＝2，b＝4，c＝﹣3；（2）c2+ac+bc+1＝（﹣3）2+2（﹣3）+4（﹣3）+1＝5，即c2+ac+bc+1的平方根為．21．（8分）某公司的大門(mén)如圖所示，其中四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，上部是以AD為直徑的半圓，其中AB＝2.3m，BC＝2m，現(xiàn)有一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，高為2.5m，寬為1.6m，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)公司的大門(mén)？并說(shuō)明你的理由．【答案】能通過(guò)，理由見(jiàn)解析．【分析】因?yàn)樯喜渴且訟D為直徑的半圓，O為AD中點(diǎn)，同時(shí)也為半圓的圓心，OG為半徑，OF的長(zhǎng)度為貨車(chē)寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出GF的長(zhǎng)度．EF的長(zhǎng)度等于DC的長(zhǎng)度．如果EG的長(zhǎng)度大于2.5m貨車(chē)可以通過(guò)，否則不能通過(guò)．【解答】解：能通過(guò)，理由如下：設(shè)點(diǎn)O為半圓的圓心，則O為AD的中點(diǎn)，OG為半圓的半徑，如圖，∵直徑AD＝2m，∴半徑OG＝1m，OF＝1.6÷2＝0.8（m），在Rt△OFG中，F(xiàn)G2＝OG2﹣OF2＝12﹣0.82＝0.36（m）；∴FG＝0.6m，∴EG＝0.6+2.3＝2.9m＞2.5m．∴能通過(guò)．22．（8分）如圖1，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64．（1）求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)；（2）圖中四邊形ABCD為正方形，求出此正方形的面積及其邊長(zhǎng)；（3）把正方形ABCD放到數(shù)軸上，如圖2，使得A與﹣1重合，點(diǎn)E與1重合，點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于E點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣1﹣2；點(diǎn)F在數(shù)軸上表示的數(shù)為3+2．【答案】（1）4；（2）8，2；（3）﹣1﹣2，3+2．【分析】（1）根據(jù)立方根的定義即可解答；（2）求出每個(gè)小立方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)，從而得到面積；（3）﹣1減去正方形的邊長(zhǎng)即可得到點(diǎn)D表示的數(shù)，設(shè)點(diǎn)F在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，根據(jù)點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于E點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可求出點(diǎn)F表示的數(shù)．【解答】解：（1）＝4，答：這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)為4；（2）∵魔方是由8個(gè)同樣大小的立方體組成，魔方的棱長(zhǎng)為4，∴每個(gè)小立方體的棱長(zhǎng)為2，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為＝2，正方形ABCD的面積為（2）2＝8；（3）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣1﹣2，設(shè)點(diǎn)F在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，∵點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于E點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴﹣1﹣2+a＝1×2，∴a＝3+2，∴點(diǎn)F表示的數(shù)為3+2，故答案為：﹣1﹣2，3+2．23．（10分）如圖，將矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝4，BC＝8．（1）求DF的長(zhǎng)；（2）求△DBF和△DEF的面積；（3）求△DBF中F點(diǎn)到BD邊上的距離．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）易證BF＝FD，在直角△ABF中，根據(jù)勾股定理就可以求出DF的長(zhǎng)；（2）由折疊的性質(zhì)得BE＝BC＝8，DE＝CD＝4，∠E＝90°，EF＝BE﹣BF＝3，由S△DEF＝EF?DE，S△DBF＝S△BDE﹣S△DEF即可得出結(jié)果；（3）由勾股定理得出BD＝＝4，設(shè)F到BD邊上的距離為h，則S△DBF＝BD?h，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，∠A＝90°，AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB，由折疊性質(zhì)得：∠DBC＝∠DBE，∴∠FDB＝∠FBD，∴BF＝FD，設(shè)AF＝x，則BF＝DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，即：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴DF＝8﹣3＝5；（2）由折疊的性質(zhì)得：BE＝BC＝8，DE＝CD＝4，∠E＝90°，EF＝BE﹣BF＝8﹣5＝3，∴S△DEF＝EF?DE＝×3×4＝6，S△DBF＝S△BDE﹣S△DEF＝BE?DE﹣6＝×8×4﹣6＝10；（3）BD＝＝＝4，設(shè)F到BD邊上的距離為h，則S△DBF＝BD?h，即：10＝×4h，解得：h＝，∴F到BD邊上的距離為．24．（10分）利用圖形整體面積等于部分面積之和可以證明勾股定理．①如圖（1）所示可以證明勾股定理，因?yàn)榇笳叫蚊娣e表示為（a+b）2，又可表示為c2+4×ab，所以（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2+2ab＝c2+2ab，所以a2+b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．②美國(guó)第20屆總統(tǒng)伽菲爾德利用圖（2）證明了勾股定理，請(qǐng)你用①的方法證明勾股定理；③如圖（3）請(qǐng)你用①的方法證明勾股定理；④如圖（4）請(qǐng)你用①的方法證明勾股定理．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】②梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；③連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a根據(jù)S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC，S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；④根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．【解答】解：②梯形的面積為（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也可利用表示為ab+c2+ab，∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，即a2+b2＝c2②連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S