【課件】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第二章

直線和圓的方程

2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)A直線l點(diǎn)A在直線l上

（形）（數(shù)）A(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0Ax0＋By0＋C＝0【問題1】點(diǎn)與直線的關(guān)系是什么？A(x0，y0)Ax＋By＋C＝0【問題2】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線l1與l2的圖象：l1：3x＋4y－2＝0；【追問1】兩條直線l1與l2

的位置關(guān)系是怎樣的？【追問2】它們的交點(diǎn)坐標(biāo)與兩條直線的方程有什么關(guān)系？【追問3】你能求出交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？l2l1A(－2，2)

聯(lián)立方程組：①②l2：2x＋y＋2＝0.l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0.【問題3】上述結(jié)論有一般性嗎？若兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)與直線的方程有什么關(guān)系？由此能得出求其交點(diǎn)坐標(biāo)的方法嗎？

直線l1和l2相交直線l1和l2存在唯一交點(diǎn)，

記為A(x0，y0)點(diǎn)A(x0，y0)既在l1上，又在l2上【問題3】上述結(jié)論有一般性嗎？若兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)與直線的方程有什么關(guān)系？由此能得出求其交點(diǎn)坐標(biāo)的方法嗎？

幾何元素及關(guān)系（形）代數(shù)表示（數(shù)）

直線l1與l2的交點(diǎn)是A(x0，y0)

方程組的唯一解是

l2l1【問題4】已知兩條直線：l1：4x＋2y－3＝0；l2：2x＋y＋2＝0，則這兩條直線的位置關(guān)系是什么？【追問】能否判斷對(duì)應(yīng)方程組解的情況？沒有公共點(diǎn)方程組無解不存在點(diǎn)同時(shí)滿足兩條直線方程l1

∥

l2方程組無解l1

∥

l2【問題5】已知兩條直線：l1：4x＋2y＋4＝0；l2：2x＋y＋2＝0，則這兩條直線的位置關(guān)系是什么？l2l1有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿足兩條直線方程方程組有無數(shù)組解直線l1和l2重合方程組有無數(shù)組解l1

和l2重合【問題6】一般地，對(duì)于兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0

，你能說出這兩條直線的位置關(guān)系與對(duì)應(yīng)方程組的解之間的聯(lián)系嗎？

直線的位置關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)方程組解的個(gè)數(shù)圖例相交平行重合有且僅有1個(gè)唯一解0個(gè)無解無數(shù)個(gè)無數(shù)組解【問題7】(1)l1:3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0

(2)l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0

(3)l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0

對(duì)于以上三組直線，你還有其他方法判斷每組直線間的位置關(guān)系么？【追問1】能否用斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系？兩直線斜率均不存在垂直于x軸截距相等重合截距不等平行一條斜率不存在一條斜率存在兩直線斜率均存在斜率不等相交斜率相等看截距截距相等重合截距不等平行兩條直線相交【問題7】(1)l1:3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0

(2)l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0

(3)l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0

對(duì)于以上三組直線，你還有其他方法判斷每組直線間的位置關(guān)系么？【追問2】如何從直線方程的一般式中確定斜率？

k1≠k2相交

平行

重合斜截式【問題8】比較用斜率判斷和解方程組判斷兩直線位置關(guān)系，你有什么體會(huì)？代數(shù)方法關(guān)注直線方程系數(shù)關(guān)系，快速判斷兩條直線平行、重合或相交（垂直）.解方程組判斷斜率判斷關(guān)注解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)，判斷兩條直線平行、重合或相交；求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).【問題9】判斷兩條直線的位置關(guān)系，直線方程的系數(shù)需要滿足怎樣的特征？兩直線位置關(guān)系方程系數(shù)特征相交平行重合【例1】

判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).(1)l1：x－y＝0；l2：3x＋3y－10＝0.(2)l1：3x－y＋4＝0；l2：6x－2y－1＝0.(3)l1：3x＋4

y－5＝0；l2：6x＋8y－10＝0.

【例2】求經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程．【追問1】求解直線方程需要具備哪些條件？【追問2】分析本題中的條件，可以獲得哪些確定直線的信息？

交點(diǎn)坐標(biāo)(-1，-1)

解：【問題10】方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，當(dāng)λ變化時(shí)表示什么圖形？該圖形有何特點(diǎn)？令λ=0，方程化為3x＋4y－2＝0，此時(shí)的圖形是一條直線；

令λ=1，得到5x＋5y＝0，也是一條直線，(-2,2)；令λ=－1，則x＋3y－4＝0，還是一條直線,(-2,2).……猜想：當(dāng)λ變化時(shí)，方程表示的是相交于點(diǎn)(-2,2)的直線(-2,2)(-2,2)(-2,2)【問題10】方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，當(dāng)λ變化時(shí)表示什么圖形？該圖形有何特點(diǎn)？(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0Ax＋By＋C＝0直線3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0

聯(lián)立方程組：解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，2).(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0

λ無解經(jīng)過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程可以表示為：

A1x＋B1y+C1+λ(A2x＋B2y+C2

)=0求相交直線交點(diǎn)坐標(biāo)判斷兩條直線的位置關(guān)系（相交、平行、重合）解方程組

思想方法數(shù)形結(jié)合特殊到一般問題導(dǎo)入問題1：如下圖已知平面內(nèi)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1,P2間的距離？yxoP2P1

特別地,原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)間的距離為：

問題導(dǎo)入

k是直線P1P2的斜率則兩點(diǎn)間距離公式有如下變形：

(1)當(dāng)P1P2與x軸平行或重合時(shí)，

(2)當(dāng)P1P2與y軸平行或重合時(shí)，問題2：還有其它推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式的方法嗎？問題導(dǎo)入|P1P2|＝|x2－x1|；|P1P2|＝|y2－y1|；問題導(dǎo)入問題2：還有其它推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式的方法嗎？

一般選擇與坐標(biāo)軸平行（或垂直）的直線構(gòu)造直角三角形（相應(yīng)的長度易用坐標(biāo)表示。）

思考：在推導(dǎo)兩點(diǎn)間距離公式時(shí)，勾股定理法與向量法比較，你有什么體會(huì)？問題導(dǎo)入用勾股定理推導(dǎo)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，不僅需要分情況討論，還需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，而向量法比用勾股定理推導(dǎo)方法簡潔.課堂練習(xí)P74典型例題

一題多解

這個(gè)題目還有其他解法嗎？看到“|PA|=|PB|”，你想到了什么？

課堂練習(xí)P79典型例題例4

用坐標(biāo)法證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．分析：首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．補(bǔ)充練習(xí)

如圖所示，已知BD是△ABC的邊AC上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：|AB|2＋|BC|2－

|AC|2＝2|BD|2.證明如圖所示，以AC所在的直線為x軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B(b，c)，C(a，0)，依題意得A(－a，0).思考在“平面向量及其應(yīng)用”的學(xué)習(xí)中，我們用“向量法”證明過這個(gè)命題．你能回憶一下證明過程嗎?比較“坐標(biāo)法”和“向量法”，你有什么體會(huì)?上述利用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問題的基本步驟可以概括為課堂小結(jié)

舉一反三舉一反三

yxPBAA’O5復(fù)習(xí)回顧平面內(nèi)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，問題1.如圖，已知點(diǎn)P(x0,y0)，直線l：Ax+By+C=0，如何求點(diǎn)P到直線

l的距離？xyOPQlP到直線

l的距離，即垂線段|PQ|的長度可以驗(yàn)證，當(dāng)A=0，或B=0時(shí)，上述公式仍然成立.問題1.如圖，已知點(diǎn)P(x0,y0)，直線l：Ax+By+C=0，如何求點(diǎn)P到直線

l的距離？xyOPQl追問：求點(diǎn)P到直線

l的距離你還有什么方法？我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具，能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？問題1.如圖，已知點(diǎn)P(x0,y0)，直線l：Ax+By+C=0，如何求點(diǎn)P到直線

l的距離？xyOPQl追問：求點(diǎn)P到直線

l的距離你還有什么方法？合作探究因此，點(diǎn)到直線

l

：Ax+By+C=0的距離

①運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式；②分母是直線未知數(shù)x,y系數(shù)平方和的算術(shù)跟；③分子是P點(diǎn)代入直線方程；④直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可以用數(shù)形結(jié)合求解.例1求點(diǎn)P(-1,2)到直線l：3x=2的距離.方法1.

例2.已知