專題06 新定義型問(wèn)題（解析版）

2023年中考不常考滿分當(dāng)成寶數(shù)學(xué)10個(gè)特色專題精煉（中等難度）專題06新定義型問(wèn)題1.定義一種新的運(yùn)算：如果．則有，那么的值是（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意列出算式，求解即可．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算、負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式與定義，本題雖屬于基礎(chǔ)題，但其計(jì)算中容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，因此應(yīng)加強(qiáng)符號(hào)運(yùn)算意識(shí)，提高運(yùn)算能力與技巧等．2.定義一種運(yùn)算：，則不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.或【答案】C【解析】由新定義得或，解得或3．對(duì)于任意的有理數(shù)a，b，如果滿足+＝，那么我們稱這一對(duì)數(shù)a，b為“相隨數(shù)對(duì)”，記為（a，b）．若（m，n）是“相隨數(shù)對(duì)”，則3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)（m，n）是“相隨數(shù)對(duì)”得出9m+4n＝0，再將原式化成9m+4n﹣2，最后整體代入求值即可．∵（m，n）是“相隨數(shù)對(duì)”，∴+＝，∴＝，即9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2，4．定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥【答案】C【解析】先根據(jù)新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理為一般式，接著根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．根據(jù)題意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)解，所以k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．5.定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]【答案】D【解析】將一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖像向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到解析式y(tǒng)＝﹣2x+m+3，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），所以x1與x2是一元二次方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得到，又A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以x1+x2＝0，則，得到m＝﹣3，根據(jù)定義，得到一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]．解：將一次函數(shù)y＝﹣2x+m向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)＝﹣2x+m+3，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），聯(lián)立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的兩根，∴，又∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根據(jù)定義，一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]，故選：D．6．設(shè)P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點(diǎn)，當(dāng)a≤x≤b時(shí)，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論：①函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”；③0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”；④2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【解析】根據(jù)當(dāng)a≤x≤b時(shí)，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，當(dāng)x＝1時(shí)，y1﹣y2最大值為﹣9，當(dāng)x＝2時(shí)，y1﹣y2最小值為﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”不正確；②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，當(dāng)x＝3時(shí)，y1﹣y2最大值為1，當(dāng)x＝4時(shí)，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”正確；③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，當(dāng)x＝時(shí)，y1﹣y2最大值為﹣，當(dāng)x＝0或x＝1時(shí)，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，當(dāng)然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”正確；④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，當(dāng)x＝時(shí)，y1﹣y2最大值為，當(dāng)x＝2或x＝3時(shí)，y1﹣y2最小值為1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”不正確；∴正確的有②③，故選：A．7.（2022黑龍江大慶）函數(shù)叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．定義，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()①；②；③高斯函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；④函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】根據(jù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，即可解答．①，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；②，正確，符合題意；③高斯函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是，正確，符合題意；④函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；所以，正確的結(jié)論有3個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是明確表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．8.（2022湖南常德）我們發(fā)現(xiàn)：，，，…，，一般地，對(duì)于正整數(shù)，，如果滿足時(shí)，稱為一組完美方根數(shù)對(duì)．如上面是一組完美方根數(shù)對(duì)．則下面4個(gè)結(jié)論：①是完美方根數(shù)對(duì)；②是完美方根數(shù)對(duì)；③若是完美方根數(shù)對(duì)，則；④若是完美方根數(shù)對(duì)，則點(diǎn)在拋物線上．其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)定義逐項(xiàng)分析判斷即可．，是完美方根數(shù)對(duì)；故①正確；不是完美方根數(shù)對(duì)；故②不正確；若是完美方根數(shù)對(duì)，則即解得或是正整數(shù)則故③正確；若是完美方根數(shù)對(duì)，則,即故④正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查了求算術(shù)平方根，解一元二次方程，二次函數(shù)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．9.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”．下列函數(shù)的圖象中不存在“好點(diǎn)”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)“好點(diǎn)”的定義判斷出“好點(diǎn)”即是直線y=x上的點(diǎn)，再各函數(shù)中令y=x，對(duì)應(yīng)方程無(wú)解即不存在“好點(diǎn)”.根據(jù)“好點(diǎn)”的定義，好點(diǎn)即為直線y=x上的點(diǎn)，令各函數(shù)中y=x，A、x=-x，解得：x=0，即“好點(diǎn)”（0，0），故選項(xiàng)不符合；B、，無(wú)解，即該函數(shù)圖像中不存在“好點(diǎn)”，故選項(xiàng)符合；C、，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程解，即“好點(diǎn)”為（，）和（-，-），故選項(xiàng)不符合；D、，解得：x=0或3，即“好點(diǎn)”為（0，0）和（3，3），故選項(xiàng)不符合.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解“好點(diǎn)”的定義.10.定義新運(yùn)算，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如，若（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）A.有一個(gè)實(shí)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】將按照題中的新運(yùn)算方法展開(kāi)，可得，所以可得，化簡(jiǎn)得：，，可得，即可得出答案.根據(jù)新運(yùn)算法則可得：，則即為，整理得：，則，可得：，；，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故答案選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運(yùn)算的計(jì)算方法，不能出錯(cuò)；在求一元二次方程根的判別式時(shí)，含有參數(shù)的一元二次方程要尤其注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).11.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”：，例如：．如果，則的值是（）A. B.1 C.0 D.2【答案】C【解析】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，一元一次方程的解法，本題的關(guān)鍵是能看明白題目意思，根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解即可根據(jù)題目中給出的新定義運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．由題意知：，又，∴，∴．12.規(guī)定：.給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；；（4）其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．（1），故此結(jié)論正確；（2），故此結(jié)論正確；（3）故此結(jié)論正確；（4）==，故此結(jié)論錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問(wèn)題，主要考查了三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，理解題中公式.13．定義：a*b＝，則方程2*（x+3）＝1*（2x）的解為．【答案】x＝1．【解析】2*（x+3）＝1*（2x），＝，4x＝x+3，x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1是原方程的解，故答案為：x＝1．14．閱讀材料：設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，則x1?y2＝x2?y1，根據(jù)該材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，則m＝．【答案】6【解析】根據(jù)材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，∴4m＝3×8，∴m＝6；故答案為6；【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，點(diǎn)的坐標(biāo)；理解閱讀材料的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)求解是關(guān)鍵．15.對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算．若，則_____．【答案】【解析】根據(jù)給出的新定義分別求出與的值，根據(jù)得出關(guān)于a的一元一次方程，求解即可．∵，∴，，∵，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程、新定義下實(shí)數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，理解題干中給出的新定義是解題的關(guān)鍵．16．我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是．【答案】8．【解析】根據(jù)平面向量的新定義運(yùn)算法則，列出關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可．根據(jù)題意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因?yàn)椹?≤x≤3，所以當(dāng)x＝3時(shí)，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．17．定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸；②當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)；③當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)有最小值；④如果m＜0，當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而減?。渲兴姓_結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③．【解析】根據(jù)特征數(shù)的定義，寫出二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①寫出對(duì)稱軸方程后把m＝1代入即可判斷；②把m＝2代入即可判斷；③根據(jù)開(kāi)口方向即可判斷；④根據(jù)對(duì)稱軸，開(kāi)口方向，增減性即可判斷．由特征數(shù)的定義可得：特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此拋物線的的對(duì)稱軸為直線x＝＝＝，∴當(dāng)m＝1時(shí)，對(duì)稱軸為直線x＝0，即y軸．故①正確；∵當(dāng)m＝2時(shí)，此二次函數(shù)表達(dá)式為y＝2x2﹣x，令x＝0，則y＝0，∴函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，故②正確；∵當(dāng)m＞0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，函數(shù)有最小值，故③正確；∵m＜0，∴對(duì)稱軸x＝＝，拋物線開(kāi)口向下，∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小．即x＞時(shí)，y隨x的增大而減?。盛苠e(cuò)誤．故答案為：①②③．18.（2022浙江寧波）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，．若，則x的值為_(kāi)__________．【答案】或【解析】根據(jù)新定義可得，由此建立方程解方程即可．∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵即，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．19．若把第n個(gè)位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個(gè)有序放置的數(shù)為一個(gè)數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個(gè)數(shù)列中第n個(gè)位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個(gè)數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是．【答案】0，1，0，1．【解析】根據(jù)“伴生數(shù)列”的定義依次取n＝1，2，3，4，求出對(duì)應(yīng)的yn即可．當(dāng)n＝1時(shí)，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，當(dāng)n＝2時(shí)，x1≠x3，∴y2＝1，當(dāng)n＝3時(shí)，x2＝x4，∴y3＝0，當(dāng)n＝4時(shí)，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生數(shù)列”B是：0，1，0，1，故答案為0，1，0，1．20.我們定義一種新函數(shù)：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，且b2-4a＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個(gè)結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（-1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=1；③當(dāng)-1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當(dāng)x=-1或x=3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；⑤當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是______．【答案】4【解析】①∵（-1，0），（3，0）和（0，3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)y=|x2-2x-3|，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得是直線x=1，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)-1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y=0，求出相應(yīng)的x的值為x=-1或x=3，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當(dāng)x＜-1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x=1時(shí)的y=|x2-2x-3|=4，因此⑤時(shí)不正確的；故答案是：4由（-1，0），（3，0）和（0，3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)y=|x2-2x-3|，∴①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得是直線x=1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)-1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y=0，求出相應(yīng)的x的值為x=-1或x=3，因此④也是正確的；從圖象上看，當(dāng)x＜-1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x=1時(shí)的y=|x2-2x-3|=4，因此⑤時(shí)不正確的；逐個(gè)判斷之后，可得出答案．理解“鵲橋”函數(shù)y=|ax2+bx+c|的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與y=|ax2+bx+c|與二次函數(shù)y=ax2+bx+c之間的關(guān)系；兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)、對(duì)稱性、對(duì)稱軸及最值的求法以及增減性應(yīng)熟練掌握．21．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：（1）如圖1，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由．運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CD＝10，AF＝5，求DF的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再證AD＝CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；（3）連接AC，先證∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出DF的長(zhǎng)．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD，∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（2）AD平分∠BCD，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD；（3）如圖3，連接AC，∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，由（2）知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴，即，∴DF＝5﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行探究，運(yùn)用等．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”，如圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”示意圖．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；②點(diǎn)C在直線x=3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；（2）⊙O的半徑為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3），若在⊙O上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）①由相關(guān)矩形的定義可知：要求A與B的相關(guān)矩形面積，則AB必為對(duì)角線，利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的底與高的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出該矩形的面積；②由定義可知，AC必為正方形的對(duì)角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設(shè)直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；（2）由定義可知，MN必為相關(guān)矩形的對(duì)角線，若該相關(guān)矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因?yàn)辄c(diǎn)N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點(diǎn)，由此可以求出m的范圍．【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）由定義可知：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的底與高分別為2和1，∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為2×1=2；②由定義可知：AC是點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”的對(duì)角線，又∵點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形∴直線AC與x軸的夾角為45°，設(shè)直線AC的解析為：y=x+m或y=﹣x+n把（1，0）分別y=x+m，∴m=﹣1，∴直線AC的解析為：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，綜上所述，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，直線AC的表達(dá)式為y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，∵點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，∴k=±1，∵點(diǎn)N在⊙O上，∴當(dāng)直線MN與⊙O有交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，當(dāng)k=1時(shí)，作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，其中A、C為⊙O的切點(diǎn)，直線AD與y軸交于點(diǎn)D，直線BC與y軸交于點(diǎn)B，連接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直線MN的解析式為：y=x+3﹣m∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，當(dāng)k=﹣1時(shí)，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直線MN的解析式為：y=﹣x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形時(shí)，m的取值范圍是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義問(wèn)題，涉及圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題需要我們理解相關(guān)矩形的定義，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將新舊知識(shí)貫穿起來(lái)．23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，①在點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是．②點(diǎn)P在直線y=﹣x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）①∵點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1與⊙O的最小距離為，P2與⊙O的最小距離為1，OP3與⊙O的最小距離為，∴⊙O，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P2，P3；故答案為：P2，P3；②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)最小y=﹣x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，∴設(shè)P（x，﹣x），當(dāng)OP=1時(shí)，由距離公式得，OP==1，∴x=，當(dāng)OP=3時(shí)，OP==3，解得：x=±；∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣≤≤﹣，或≤x≤；（2）∵直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，∴A（1，0），B（0，1），如圖1，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)，CA=3，∴C（﹣2，0），如圖2，當(dāng)直線AB與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D，∴CD=1，∵直線AB的解析式為y=﹣x+1，∴直線AB與x軸的夾角=45°，∴AC=，∴C（1﹣，0），∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣；如圖3，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A，則AC=1，∴C（2，0），如圖4，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)B，連接BC，此時(shí)，BC=3，∴OC==2，∴C（2，0）．∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：2≤xC≤2；綜上所述；圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．24．如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）當(dāng)x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，∴B（0，﹣b），∵AB＝8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）＝8，∴b＝4．∴L：y＝﹣x2+4x，∴L的對(duì)稱軸x＝2，當(dāng)x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，∴L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2）；（2）y＝﹣（x﹣）2+，∴L的頂點(diǎn)C（）∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，∴點(diǎn)C與1距離的最大值為1；（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，對(duì)于L，當(dāng)y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0）．∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b﹣）＝（4）①當(dāng)b＝2019時(shí)，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x直線解析式a：y＝x﹣2019聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個(gè)整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn)，∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4042﹣2＝4040（個(gè)）；②當(dāng)b＝2019.5時(shí)，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y＝x﹣2019.5，聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y＝x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，在二次函數(shù)y＝x+2019.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣1到2019.5之間有1009個(gè)偶數(shù)，并且在﹣1和2019.5之間還有整數(shù)0，驗(yàn)證后可知0也符合條件，因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．故b＝2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b＝2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．25．已知平面圖形S，點(diǎn)P、Q是S上任意兩點(diǎn)，我們把線段PQ的長(zhǎng)度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對(duì)角線的長(zhǎng)度．（1）寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：；②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．①若d＝2，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)C所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動(dòng)，⊙M的半徑為1，圓心M在過(guò)點(diǎn)（0，2）且與y軸垂直的直線上．對(duì)于⊙M上任意點(diǎn)C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析。【解析】（1）①平面圖形S的“寬距”的定義即可解決問(wèn)題．②如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，設(shè)半圓的圓心為O，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解決問(wèn)題．（2）①如圖2﹣1中，點(diǎn)C所在的區(qū)域是圖中正方形AEBF，面積為2．②如圖2﹣2中，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，連接AM，作MT⊥x軸于T．求出d＝5或8時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可判斷，再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)M在y軸左側(cè)的情形即可．【解答】（1）①半徑為1的圓的寬距離為1，故答案為1．②如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，設(shè)半圓的圓心為O，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC＝＝＝∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，∴這個(gè)“窗戶形“的寬距為1+．故答案為1+．（2）①如圖2﹣1中，點(diǎn)C所在的區(qū)域是圖中正方形AEBF，面積為2．②如圖2﹣2中，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，連接AM，作MT⊥x軸于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴當(dāng)d＝5時(shí)．AM＝4，∴AT＝＝2，此時(shí)M（2﹣1，2），當(dāng)d＝8時(shí)．AM＝7，∴AT＝＝2，此時(shí)M（2﹣1，2），∴滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的范圍為2﹣1≤x≤2﹣1．當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的范圍為﹣2+1≤x﹣2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了平面圖形S的“寬距”的定義，正方形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．26.定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形．理解：（1）若四邊形是對(duì)余四邊形，則與的度數(shù)之和為_(kāi)_____；證明：（2）如圖1，是的直徑，點(diǎn)在上，，相交于點(diǎn)D．求證：四邊形是對(duì)余四邊形；探究：（3）如圖2，在對(duì)余四邊形中，，，探究線段，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說(shuō)明理由．【答案】（1）90°或270°；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【解析】（1）分當(dāng)∠A和∠C互余時(shí)，當(dāng)∠B和∠D互余時(shí)，兩種情況求解；（2）連接BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圓周角定理證明∠C+∠A=90°即可；（3）作△ABD的外接圓O，分別延長(zhǎng)AC，BC，DC，交圓O于E，F(xiàn)，G，連接DF，DE，EF，先證明GF是圓O的直徑，得到，再證明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可得，，從而得出，根據(jù)△ABC為等邊三角形可得AB=AC=BC，從而得到.解：（1）∵四邊形是對(duì)余四邊形，當(dāng)∠A和∠C互余時(shí)，∠A+∠C=90°，當(dāng)∠B與∠D互余時(shí)，∠B+∠D=90°，則∠A+∠C=360°-90°=270°，故答案為：90°或270°；（2）如圖，連接BO，可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A，而∠BON+∠BOM=180°，∴2∠C+2∠A=180°，∴∠C+∠A=90°，∴四邊形是對(duì)余四邊形；（3）∵四邊形ABCD為對(duì)于四邊形，∠ABC=60°，∴∠ADC=30°，如圖，作△ABD的外接圓O，分別延長(zhǎng)AC，BC，DC，交圓O于E，F(xiàn)，G，連接DF，DE，EF，則∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°，∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°，∴GF是圓O的直徑，∵AB=BC，∴△ABC為等邊三角形，∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF，∴△ABC∽△FEC，得：，則，同理，△ACD∽△GCE，得：，則，△BCD∽△GCF，得：，可得：，而，∴，∴，∴，∵AB=BC=AC，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的新定義問(wèn)題，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)余四邊形的概念，結(jié)合所學(xué)知識(shí)求證.27.閱讀感悟有些關(guān)于方程組的問(wèn)題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．解決問(wèn)題：（1）已知二元一次方程組，則________，________；（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，那么________．【答案】（1）-1，5；（2）購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元；（3）-11【解析】（1）已知，利用解題的“整體思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；（2）設(shè)每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，根據(jù)題意列出方程組，根據(jù)（1）中“整體思想”，即可求解；（3）根據(jù)，可得，，，根據(jù)“整體思想”，即可求得的值．【詳解】（1）①-②，得x-y=-1①+②，得3x+3y=15∴x+y=5故答案為：-1，5（2）設(shè)每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，則①×2，得40x+6y+4z=64③③-②，得x+y+z=6∴5(x+y+z)=30∴購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元（3）∵∴①，②，∴②-①，得③∴④①+②，得⑤⑤-④，得∴故答案為：-11【點(diǎn)睛】本題考查了利用“整體思想”解二元一次方程組，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，引入了新運(yùn)算，根據(jù)定義結(jié)合“整體思想”求代數(shù)式的值．28．我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則把該函數(shù)稱之為“T函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)叫做一對(duì)“T點(diǎn)”．根據(jù)該約定，完成下列各題．（1）若點(diǎn)A（1，r）與點(diǎn)B（s，4）是關(guān)于x的“T函數(shù)”y＝的圖象上的一對(duì)“T點(diǎn)”，則r＝，s＝，t＝（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）；（2）關(guān)于x的函數(shù)y＝kx+p（k，p是常數(shù)）是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對(duì)“T點(diǎn)”如果不