橢圓的標準方程及性質(zhì)的應用（第2課時）高二數(shù)學（人教A版2019選擇性必修第一冊）

.1.2橢圓的標準方程及性質(zhì)的應用（教學設計）課時教學內(nèi)容1.掌握橢圓的第二定義；2.能夠自主探究橢圓的簡單幾何性質(zhì).課時教學目標1.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應用，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．2.會判斷直線與橢圓的位置關系，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3.能運用直線與橢圓的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).教學重點、難點重點：直線與橢圓的位置關系，推導橢圓的第二定義和焦半徑公式；難點：直線與橢圓的位置關系的應用，研究橢圓幾何性質(zhì)的思路與方法.教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題例5如圖3.1-11，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分，過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上．由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，．試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蠼乜谒跈E圓的方程（精確到）環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念解：建立如圖3.1-11所示的平面直角坐標系，設所求橢圓方程為．在中，．由橢圓的性質(zhì)知，，所以．．所以，所求橢圓的方程為．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念橢圓、分別為橢圓的左、右焦點,為橢圓上一動點.左準線,右準線橢圓第二定義:到左焦點的距離與它到左準線的距離的比為離心率,即;到右焦點的距離與它到右準線的距離的比為離心率,即焦半徑公式:.環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例6動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點的軌跡．解：如圖3.1-12，設是點到直線的距離，根據(jù)題意，動點的軌跡就是集合．由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得即．所以，點的軌跡是長軸、短軸長分別為10，6的橢圓．環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內(nèi)化問題1：若已知橢圓和直線的方程，如何判斷是哪種情況？【活動預設】相切、相交、相離的本質(zhì)是什么？【答案預設】交點的個數(shù)分別為1，2，0【設計意圖】將題目轉(zhuǎn)化為求交點個數(shù)的問題【活動預設】交點的本質(zhì)是什么？【答案預設】交點是同時滿足兩個曲線方程的點【設計意圖】將交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)的問題(幾何代數(shù))例7如圖3.1-13，已知直線和橢圓，為何值時，直線與橢圓：（1）有兩個公共點?（2）有且只有一個公共點?（3）沒有公共點?如何求解方程組的解和解的個數(shù)【活動預設】如何求方程組的解【預設答案】將直線方程代入曲線方程【活動預設】代入后會變成什么方程？【預設答案】一元二次方程【活動預設】如何判斷解的個數(shù)【預設答案】看Δ＞0，＜0或者＝0分析：直線與橢圓的公共點的個數(shù)與方程組解的個數(shù)相對應．所以，我們可以通過判斷上述方程組解的情況得到問題的解答．解：由方程組．消去，得=1\*GB3①方程=1\*GB3①的根的判別式．由，得．此時方程=1\*GB3①有兩個不相等的實數(shù)根，直線與橢圓有兩個不同的公共點．由，得，．此時方程=1\*GB3①有兩個相等的實數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個公共點．由，得或．此時方程=1\*GB3①沒有的實數(shù)根，直線與橢圓沒有公共點．【探究】類比直線與圓的位置關系，思考直線與橢圓有幾種位置關系？怎樣判斷其位置關系？【預設的答案】相交、相切、相離[提示]直線與橢圓的位置關系有相離、相交、相切三種．判斷方法是聯(lián)立直線與橢圓方程，轉(zhuǎn)化為關于x(或y)的一元二次方程，利用判別式Δ判斷．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題2：請同學們回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學習的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？1.知識總結(jié)：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？1．知識清單：(1)實際生活中的橢圓問題．(2)直線與橢圓的位置關系．(3)中點弦的求法．2．方法歸納：分類討論法、點差法．3．常見誤區(qū)：忽略直線中斜率不存在的情況．【設計意圖】通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力。環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第114頁練習第1，2題第115頁習題3.1第13,14題練習（第114頁）1．求下列直線與橢圓的交點坐標：（1），；（2）1．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）聯(lián)立，消去，得，即，代入，得，所以與的交點坐標為；（2）由消去并整理，得，或，此時或．∴交點的坐標為或．2．經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于兩點，求線段的長．2．【詳解】∵橢圓方程為，∴焦點分別為，，∵直線過左焦點傾斜角為，∴直線的方程為，將方程與橢圓方程消去，得．設，，可得，，．因此，．故答案為：．習題3.1（第115頁）復習鞏固1．如果點在運動過程中，總滿足關系式．那么點的軌跡是什么曲線?為什么?寫出它的方程．1．解析：點的軌跡是橢圓，由滿足可知，動點到定點，的距離之和為10，且，所以動點的軌跡為橢圓．由，可得，，焦點，在軸上，所以橢圓的標準方程為：．2．寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點坐標分別為，，；（2），．2．【答案】（1）（2）或【解析】（1）由焦點坐標分別為，，則橢圓焦點在軸上．所以，設橢圓方程為：，所以．所以橢圓方程為：．（2）由，，解得，，．所以橢圓方程為：或．3．求下列橢圓的長軸和短軸長、離心率、焦點坐標、頂點坐標，并畫出圖形：（1）；（2）．3．解析：（1）由題設，橢圓的標準方程為，，，，且長軸在x軸上，長軸長，短軸長，，焦點坐標為，頂點坐標為、．（2）由題設，橢圓的標準方程為，，，且長軸在y軸上，長軸長，短軸長，，焦點坐標為，頂點坐標為、，4．求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過，兩點；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點；（3）焦距是8，離心率等于0.8．4．【答案】（1）1；（2）或；（3）或【解析】（1）根據(jù)題意，橢圓經(jīng)過點，，且，則橢圓的焦點在x軸上，且，，則橢圓的方程為：；（2）根據(jù)題意，要求橢圓長軸長是短軸長的3倍，即，若橢圓經(jīng)過點，分2種情況討論：①橢圓的焦點在x軸上，則，，橢圓的標準方程為：，②橢圓的焦點在y軸上，則，，橢圓的標準方程為：．（3）根據(jù)題意，即，又，所以，因為，所以若橢圓的焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為：．若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為：．5．已知是橢圓上的一點，且以點及焦點為頂點的三角形的面積等于1，求點的坐標．5．【答案】，，，．【解析】、是橢圓的左、右焦點，，則，，設是橢圓上一點，由三角的面積公式可知：，即，將代入橢圓方程得：，解得：，∴點的坐標為，，，．6．如圖，圓的半徑為定長，是圓內(nèi)一個定點，是圓上任意一點．線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是什么?為什么?6．解析：點的軌跡是以，為焦點，為長軸長的橢圓．連接．因為垂直平分線段，所以，所以，又因為點在圓內(nèi)，所以．根據(jù)橢圓的定義，點的軌跡是以，為焦點，為長軸長的橢圓．7．彗星“紫金山一號”是南京紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的，它的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓．它得軌道的近日點（距離太陽最近的點）距太陽中心1.486天文單位，遠日點（距離太陽最遠的點）距太陽中心5.563天文單位（1天文單位是太陽到地球的平均距離，約)，且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，求軌道的方程．7．【答案】（1）【解析】以近日點和遠日點的中點為坐標原點，近日點和遠日點連線所在直線為軸建立平面直角坐標系．設該橢圓的方程為，．由條件可得，解得，所以，，所以．

8．點與定點的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．8．解析：設是點到直線的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得，即點的軌跡方程為：；軌跡是橢圓．9．如圖，軸，垂足為，點在的延長線上，且，當點在圓上運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．9．【答案】點的軌跡方程為，點的軌跡為橢圓，除去與軸的交點．【解析】設點的坐標為，點，由題意可知，則由題可得，即，∵點在圓上運動，，即點的軌跡方程為，點的軌跡為橢圓，除去與軸的交點．10．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線．10．【答案】；橢圓．【詳解】設動圓圓心為，半徑為，設圓和圓的圓心分別為、，將圓的方程分別配方得：圓，圓．當動圓與圓相外切時，有…………①當動圓與圓相內(nèi)切時，有…………②將①②兩式相加，得，∴動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)12，所以點的軌跡是焦點為點、，長軸長等于12的橢圓．設該橢圓的長軸為，短軸為，焦距為；，，，，．∴動圓圓心軌跡方程為，軌跡為橢圓．11．如圖，矩形中，，．分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點，是線段的四等分點．證明直線與、與，與的交點都在橢圓上．11．解析：由題得，，所以，所以直線的方程為，（1）由題得，，所以，所以直線的方程為，（2）聯(lián)立方程（1）（2）解之得，，所以直線的交點為，代入橢圓方程得，所以直線，的交點在橢圓上．同理，點的坐標為，點的坐標為．將點，，的坐標代人橢圓方程中均成立．因此直線與、與，與的交點都在橢圓上．12．已知地球運行的軌道是長半軸長，離心率的橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，求地球到太陽的最大和最小距離．12．解析：，，．∴地球到太陽的最大距離為；地球到太陽的最小距離為．13．已知橢圓，直線．橢圓上是否存在一點，使得：（1）它到直線的距離最小？最小距離是多少?（2）它到直線的距離最大?最大距離是多少?13．【答案】（1）存在點到直線距離最小，最小值為；（2）存在點到直線距離最小，最小值為．【解析】解法一：設橢圓上點，則點到直線距離，其中，（1）當時，，此時，即，所以，，所以存在點到直線距離最小，最小值為；（2）當時，，此時，即，所以，，所以存在點到直線距離最大，最大值為．解法二：（1）由直線的方程與橢圓的方程可知，直線與橢圓不相交．設直線平行于直線，則直線的方程可設為．由方程組，消去，得①令方程①的根的判別式，得②解方程②得，．由圖可知，當時，直線與橢圓的交點到直線的距離最近，此時直線的方程為．直線與直線間的距離．所以最小距離是．（2）由（1）可知，當時，直線與橢圓的交點到直線的距