專題41：第8章幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之單一線段的最值-備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）【有答案】

41第8章幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之單一線段的最值一、單選題1．如圖，，和分別平分和，過點(diǎn)，且與互相垂直，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，連接．若，則的最小值為()A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根據(jù)平行線定理判定，再有垂線段最短性質(zhì)，作出輔助線，最后由角平分線性質(zhì)解題即可．【解答】，根據(jù)垂線段最短的原則，得，當(dāng)時,取最小值，如圖，

和分別平分和故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平行線定理、垂線段最短性質(zhì)、角平分線性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．如圖，正方體的棱長為2，B為一條棱的中點(diǎn)．已知螞蟻沿正方體的表面從A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B點(diǎn)，則它運(yùn)動路程最短時，CD的長是（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得CD∥EB，AC=EC，即C為AE中點(diǎn)，推出CD是△ABE的中位線，根據(jù)正方體的邊長為2，B為一條棱的中點(diǎn)，得出EB=1，即可得出CD．【解答】解：畫出展開圖如下，由正方體的性質(zhì)可得CD∥EB，AC=EC，即C為AE中點(diǎn)，∴CD是△ABE的中位線，∴CD=EB，∵正方體的邊長為2，B為一條棱的中點(diǎn)，∴EB=1，∴CD=，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了中位線的性質(zhì)，正方體的性質(zhì)，得出CD是△ABE的中位線是解題關(guān)鍵．3．如圖，∠MON＝90°，動點(diǎn)A、B分別位于射線OM、ON上，矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝4，則線段OC長的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．5【答案】B【分析】取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三邊關(guān)系分析出當(dāng)O、E、C三點(diǎn)共線時，OC最大為OE＋CE．【解答】解：取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，如圖所示：則BE＝AB＝3，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝3．在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝＝5．在△OCE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知CE+OE＞OC，∴當(dāng)O、E、C三點(diǎn)共線時，OC最大為OE+CE＝3+5＝8．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形三邊關(guān)系，解決動態(tài)問題的最值問題一般轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短或三角形三邊關(guān)系問題．4．點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(4，0)，B(0，4)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC﹦2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A．2＋1 B．2＋2 C．4＋1 D．4-2【答案】A【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)在半徑為2的上，通過畫圖可知，在與圓的交點(diǎn)時，最小，在的延長線上時，最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，在上，且半徑為2，取，連接，，，是的中位線，，當(dāng)最大時，即最大，而，，三點(diǎn)共線時，當(dāng)在的延長線上時，最大，，，，，，即的最大值為；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定為最大值時點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到正方形CEFG，在旋轉(zhuǎn)過程中，則線段AE的最小值為（）A． B．-1 C．0．5 D．【答案】B【分析】分析題易可知點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以DC為半徑以C為圓心的圓，當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線且E在正方形ABCD內(nèi)部的時候AE值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D所示，連接AC∵正方形邊長為1∴AC=當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線且E在正方形ABCD內(nèi)部的時候AE值最小∴AE=AC-CE=-1故選：B二、填空題6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)拈L最小時，的值為________．【答案】3【分析】由勾股定理建立關(guān)于的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：如圖，過作于則由勾股定理得：當(dāng)有最小值的最小值是故答案為3．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握以上的知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖，AC是⊙O的弦，AC＝6，點(diǎn)B是⊙O上的一個動點(diǎn)，且∠ABC＝60°，若點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是_____．【答案】2．【分析】作直徑AD，如圖，先判斷NM為△CAB的中位線得到MN＝AB，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝4，由于AB＝AD時，AB的值最大，從而得到MN的最大值．【解答】解：作直徑AD，如圖，∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴NM為△CAB的中位線，∴MN＝AB，∵AD為直徑，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD＝AC＝2，AD＝2CD＝4，當(dāng)AB＝AD時，AB的值最大，∴AB最大值為4，MN的最大值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形中位線性質(zhì)．8．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點(diǎn)，則PB+PE的最小值_____．【答案】10【分析】根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)：AC上的點(diǎn)到點(diǎn)B、D的距離相等，連接DE交AC于點(diǎn)P即可．【解答】解：如圖：連接DE交AC于點(diǎn)P，此時PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值為10．故答案為10．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及了線段和的最小值問題，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定動點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.9．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是_________．【答案】5【解答】解：如圖，連接MC；過點(diǎn)M作ME⊥CD，

交CD的延長線于點(diǎn)E；

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=4，

∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，∠BCD=30°，

∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，

∴ME=DM=1，DE=，

∴CE=CD+DE=4，由勾股定理得：

CM2=ME2+CE2，

∴CM=7；由翻折變換的性質(zhì)得：MA′=MA=2，

顯然，當(dāng)折線MA′C與線段MC重合時，

線段A′C的長度最短，此時A′C=7-2=5，

故答案為5．10．已知⊙O的半徑為2，A為圓上一定點(diǎn)，P為圓上一動點(diǎn)，以AP為邊作等腰Rt△APG，P點(diǎn)在圓上運(yùn)動一周的過程中，OG的最大值為____．【答案】【分析】連接OA，作OH⊥OA交⊙O于點(diǎn)H，連接AH，HC，OP．首先證明∠OAP∽△HAG，推出，由OP=2，可得HG=2，由OG≤OH+HG，推出OG≤2+2，由此即可解決問題；【解答】解：連接OA，作OH⊥OA交⊙O于點(diǎn)H，連接AH，HG，OP．∵OA=OH，∠AOH=90°，∴AH=OA，∴AP=PG，∠APG=90°，∴AG=AP，∴，∵∠OAH=∠PAG=45°，∴∠OAP∽△HAG，∴．∵OP=2，∴HG=2．∵OG≤OH+HG，∴OG≤2+2，∴OG的最大值為2+2．故答案為：2+2．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．三、解答題11．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊，上一點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，連接，求線段的最小值．【答案】（1）見解析；（2）線段的最小值為【分析】（1）在中用勾股定理的逆定理證明；（2）當(dāng)時，最短，先用勾股定理求出AB長，再用面積法求出DE的長．【解答】（1）證明：∵，，∴，∵，，∴，∴，即；（2）解：當(dāng)時，最短，，∴，∴在中，，∵，∴，∴線段的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握這兩個性質(zhì)定理進(jìn)行求解．12．已知△ABC的三邊BC＝a，AC＝b，AB＝c，且滿足|a﹣|++（c﹣3）2＝0．如圖，P為BC邊上一動點(diǎn)，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：四邊形AMPN是矩形；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，MN的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）存在，．【分析】(1)根據(jù)“矩形的定義”證明結(jié)論；(2)連結(jié)AP．當(dāng)AP⊥BC時，AP最短，結(jié)合矩形的兩對角線相等和面積法來求MN的值．【解答】解：(1)證明：∵|a﹣|++（c﹣3）2＝0，∴a＝，b＝2，c＝3，∵b2+c2＝22+32＝13＝a2，∴∠BAC＝90°，∵PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，∴∴∠AMP＝∠ANP＝90°，∴∠BAC＝∠AMP＝∠ANP＝90°，∴四邊形AMPN是矩形；(2)存在．理由如下：連結(jié)AP．∵四邊形AMPN是矩形，∴MN＝AP．∵當(dāng)AP⊥BC時，AP最短．∴2×3＝?AP．∴AP＝，∴MN的長度的最小值．【點(diǎn)評】本題主要考查的是矩形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的對角線相等和面積法是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的邊長為2，將正方形BDEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接AE、BE、CD．（1）請判斷線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在同一直線上時，求CD的長；（3）設(shè)AE的中點(diǎn)為M，連接FM，試求線段FM長的最大值．【答案】（1）AE＝CD；理由見解析；（2）CD的長為﹣或+；（3）FM的最大值為3．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB＝BC＝4，根據(jù)勾股定理得到AF＝＝＝2，接下來分兩種情形：如圖1，當(dāng)AE在AB左上方時，如圖2，當(dāng)AE在AB右下方時，即可得到結(jié)論；（3）如圖3，延長EF到G使FG＝EF，連接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG＝BF＝2，設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接MF，根據(jù)三角形中位線的定理得到AG＝2FM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：AE＝CD．理由：∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∵四邊形BDEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴＝，＝，∴，∴△ABE∽△CBD，∴＝，∴AE＝CD；（2∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝BC＝4，∵當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時，∵∠AFB＝90°，∴AF＝＝＝2，如圖1，當(dāng)AE在AB左上方時，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，∵AE＝CD，∴CD＝AE＝﹣，如圖2，當(dāng)AE在AB右下方時，同理，AE＝AF+EF＝2+2，∴CD＝+，綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時，CD的長為﹣或+；（3）如圖3，延長EF到G使FG＝EF，連接AG，BG，則△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝BF＝2，設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接MF，∴MF是△AGE的中位線，∴AG＝2FM，在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，∴2≤AG≤6，∴≤FM≤3，∴FM的最大值為3．【點(diǎn)評】本題主要考查了四邊形綜合，結(jié)合三角形相似求解是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，連接，求線段的最小值．【答案】【分析】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，此時的值最小，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，先證明，得出，求出，即得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，此時的值最小．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，∵，，∴直線解析式為，∴點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，，∴，，∴，∵軸，∴，∴，即，∴，∴線段的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．15．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動，以EM為折痕將△CEM折疊得到△PEM，連接PA，若AB=4，∠BAD=60°，則PA的最小值是_____．【答案】2﹣2【分析】當(dāng)A，P，E在同一直線上時，AP最短，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，依據(jù)BE＝BC＝2，∠EBF＝60°，即可得到AE的長度，進(jìn)而得出PA的最小值．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得，EP=CE=BC=2，故點(diǎn)P在以E為圓心，EP為半徑的半圓上，∵AP+EP≥AE，∴當(dāng)A，P，E在同一直線上時，AP最短，如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為BC的中點(diǎn)，∴BE=BC=2，∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∴BF=BE=1，∴，AF=5，∴∴PA的最小值=AE﹣PE=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解決問題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)P在以E為圓心，EP為半徑的半圓上．16．如圖1，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，在邊AB上取一點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），在邊AC上取一點(diǎn)E，使AE=AD，連接DE.把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），如圖2．（1）請你在圖2中，連接CE和BD，判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你在圖3中，畫出當(dāng)α=45°時的圖形，連接CE和BE，求出此時△CBE的面積；（3）若AD=1，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，在△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，線段AM的最小值是．【答案】（1）CE＝BD，理由見解析；（2）圖形見解析，；（3）1．【分析】（1）連接CE和BD，求出∠EAC＝∠DAB，即可利用SAS證明△AEC≌△ADB，進(jìn)而得到CE＝BD；（2）連接CE和BE，延長AD交BC于F，首先求出∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，然后可得AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，進(jìn)而證明AE∥BC，再根據(jù)進(jìn)行計算；（3）判斷出在△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M在以G為圓心，長為半徑的圓上，即可得到點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時AM取最小值．【解答】解：（1）CE＝BD；理由：連接CE和BD，如圖2所示，由題意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，又∵AE＝AD，AC＝AB，∴△AEC≌△ADB(SAS)，∴CE＝BD；（2）當(dāng)α=45°時，連接CE和BE，如圖所示，延長AD交BC于F，∵α=45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，∴AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，∴∠EAB＋∠ABC＝135°+45°＝180°，∴AE∥BC，∵BC＝，∴AF＝，∴；（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)M不在AC上時，取AC中點(diǎn)G，連接GM，∵M(jìn)是CD′的中點(diǎn)，∴GM＝，當(dāng)點(diǎn)M在AC上時，由M是CD′的中點(diǎn)可得GM＝，∴在△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M在以G為圓心，長為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時AM取最小值，此時AM＝AE＝1．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積計算以及三角形中位線定理等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．17．已知：△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是△ABC（包含邊界）平面內(nèi)一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，DE，AD，并延長AD交BE于點(diǎn)P．（1）觀察填空：當(dāng)點(diǎn)D在圖1所示的位置時，填空：①與△ACD全等的三角形是______．②∠APB的度數(shù)為______．（2）猜想證明：在圖1中，猜想線段PD，PE，PC之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．（3）拓展應(yīng)用：如圖2，當(dāng)△ABC邊長為4，AD=2時，請直接寫出線段CE的最大值．【答案】（1）①△BCE；②60°；（2）PD+PE=PC，證明見解析；（3）CE的最大值為6．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定證明即可；②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）由（1）可得CE=CD，根據(jù)D點(diǎn)在線段AC上，CD長度最??；D點(diǎn)在CA的延長線上，CD的長度最大，求出CD的最大值即可求得線段CE的最大值．【解答】（1）①如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∵將線段CD繞C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴△DCE是等邊三角形，∴∠DCE═60°，∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．故答案為：△BCE．②∵△ACD≌△BCE，∴∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，∴∠PBC+∠BAD=60°，∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°；故答案為：60°．（2）結(jié)論：PD+PE=PC．理由：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠CAD，∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠DBC=60°，∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°，∵∠APB=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴DP=BP，∴PD+PE=BE，∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∵在△ABD與△CBP中，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴AD=PC，∴PD+PE=PC；（3）如圖2中，∵AC=4，AD=2，∴D點(diǎn)在線段AC上，CD長度最小；D點(diǎn)在CA的延長線上，CD的長度最大，∴4-2≤CD≤4+2，∴2≤CD≤6．∴CD的最大值為6，由（1）可知△ACD≌△BCE，EC=CD，∴EC的最大值為6．【點(diǎn)評】本題屬于了幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換．全等三角形的判定與性質(zhì)．等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．18．已知是等邊三角形，．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的延長線以的速度運(yùn)動，連接、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．①求證：是等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時，求證：．（2）如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，作直線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動的過程中，的最小值是多少？請說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）的最小值為4，理由見解析．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證明兩個角是，可得結(jié)論；②根據(jù)條件得，由證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接，證得，證明，可得，即點(diǎn)在直線上，的最小值為4．【解答】解：（1）①是等邊三角形，．，．．是等邊三角形．②如圖1，是等邊三角形，，．是等邊三角形，，．，．．，．．．（2）解：連接，如圖2所示．為等邊三角形，且為的對稱軸，，，．在和中，，，．點(diǎn)在直線上，的最小值為4．【點(diǎn)評】本題是運(yùn)動型幾何綜合題，考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題關(guān)鍵是深刻理解圖形的運(yùn)動過程，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．19．如圖，直線y＝x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，∠ABO的平分線BD與y軸相交于點(diǎn)D，A、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．（1）一動點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到直線BC上的點(diǎn)F，再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到點(diǎn)D處．當(dāng)P的運(yùn)動路徑最短時，求此時點(diǎn)F的坐標(biāo)及點(diǎn)P所走最短路徑的長；（2）點(diǎn)E沿直線y＝3水平向右運(yùn)動得點(diǎn)E'，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M使得以D、B、M、E'為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），2；（2）（，3）或（，3）【分析】（1）首先根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)直角三角形和角平分線以及對稱的性質(zhì)得出點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線BC解析式，再根據(jù)對稱性質(zhì)確定最短路徑，求出直線E′D解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分類討論：BD為邊和BD為對角線，求解即可.【解答】（1）∵直線y=x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（2，0），∵點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E（，3）∵tan∠ABO=，∴∠ABO=60°，∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=∠DBO=30°，且OB=2，∴DO=2，BD=2DO=4∴點(diǎn)D（0，2）∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣6）∵設(shè)直線BC解析式為：y=kx+b，∴∴解得：k=，b=﹣6∴直線BC解析式為：y=x﹣6如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)D'（4，﹣2），連接ED'交BC于點(diǎn)F，∴點(diǎn)P所走最短路徑為D'E的長，∴D'E==2設(shè)直線ED'解析式為：y=mx+n，∴解得：m=﹣，n=∴直線ED'解析式為：y=﹣x+，∴∴∴點(diǎn)F坐標(biāo)（，）（2）若BD為邊，設(shè)點(diǎn)E'（x，3）∵四邊形BDE'M是菱形，∴BD=DE'=4∴4=∴x=，∴點(diǎn)E'（，3）若BD為對角線，∵四邊形BE'DM是菱形∴DE'=BE'，∴（x﹣0）2+（3﹣2）2=（x﹣2）2+32，∴x=∴點(diǎn)E'坐標(biāo)（，3）綜上，點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（，3）或（，3）.【點(diǎn)評】此題主要考查一次函數(shù)的動點(diǎn)問題求解坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是理解題意，利用好相關(guān)性質(zhì)，求解即可.20．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)．將線段CD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，得出∠ACD=∠BCE，證明△ACD≌△BCE，即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)A作AF⊥EB交EB延長線于點(diǎn)F．由△ACD≌△BCE，推出∠CBE=∠A=60°，推出點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是直線BE，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與F重合時，AE的值最小，此時CD=CE=CF，利用勾股定理求出CF即可．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE．

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥EB交EB延長線于點(diǎn)F．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠A=60°，

∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是直線BE，

根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與F重合時，AE的值最小，

此時CD=CE=CF，

∵∠ACB=∠CBE=60°，

∴AC∥EF，

∵AF⊥BE，

∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，

∴CF===，∴CD=CF=.【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．21．拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A．B，與y軸交于點(diǎn)C，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上，求△ACM周長的最小值；（3）以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩