2023-2024學年山東幸福柳分高一上學期期中考試數(shù)學質量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年山東幸福柳分高一上學期期中考試數(shù)學質量檢測模擬試題一?單選題（共40分）1.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在礪智石一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐步被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠已知為非零實數(shù)，且，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質，結合作差法即可求解.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤，對于B，，由于，所以，故B正確，對于C，若則，此時，故C錯誤，對于D，取，則，不滿足，故D錯誤，故選：B2.下列函數(shù)中與函數(shù)相等的函數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)相等函數(shù)的要求一一判定即可.【詳解】兩函數(shù)若相等，則需其定義域與對應關系均相等，易知函數(shù)的定義域為R，對于函數(shù)，其定義域為，對于函數(shù)，其定義域為，顯然定義域不同，故A、D錯誤；對于函數(shù)，定義域為R，符合相等函數(shù)的要求，即B正確；對于函數(shù)，對應關系不同，即C錯誤.故選：B3.已知集合，那么集合為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)集合描述，聯(lián)立二元一次方程求解，即可得.【詳解】由，故.故選：D4.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得答案.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A.5.下列命題中錯誤的是（）A.當時， B.當時，的最小值為2C.當時， D.當時，【正確答案】B【分析】利用基本不等式可判斷選項A；利用對勾函數(shù)的性質可判斷選項B；利用基本不等式可判斷選項C；利用基本不等式可判斷選項D．【詳解】對于A，當時，，當且僅當時取等號，正確；對于B，當時，，錯誤；對于C，當時，，當且僅當，即時取等號，正確；對于D，當時，，，當且僅當時取等號，正確；故選：B6.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，解得.且有，解得.綜上所述，實數(shù)取值范圍是.故選：A.本題考查利用分段函數(shù)的單調性求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.7.定義區(qū)間長度均為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如，的長度．用表示不超過x的最大整數(shù)，記，其中．設，當時，不等式解集的區(qū)間長度為，則實數(shù)k的最小值為（）．A. B. C.6 D.7【正確答案】B【分析】根據(jù)的定義將化為，對，，…，依次討論，求解不等式直到滿足解集的區(qū)間長度為，從而可求得最小值.【詳解】，，即，當時,，上式可化為，∴，其區(qū)間長度為；當時,，上式可化為，∴；當時,，上式可化為，∴；當時,，上式可化為，∴；當時,，上式可化為，∴；當時,，上式可化為，∴，其區(qū)間長度為；當時,，上式可化為，∴，其區(qū)間長度為；當時,，上式可化為，∴，其區(qū)間長度為；所以當時,不等式的解集為；∴當時，不等式解集的區(qū)間長度為，所以實數(shù)k的最小值為.故選：B函數(shù)新定義的題目，解題關鍵點是圍繞著新定義的概念和運算進行分析.8.已知，，，則（）A. B. C. D..【正確答案】A【分析】利用的單調性比較的大小關系，利用的單調性證明即可比較出的大小關系.【詳解】令，則，由得，，由得，，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).因為，所以，即，故.因為，所以，所以，所以，所以，而，所以．故選：A二?多選題（共25分）9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若，則“”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的充要條件D.若，，則【正確答案】BD【分析】對于A，由特稱命題否定為全稱命題分析判斷，對于B，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷，對于C，舉例判斷，對于D，作差法分析判斷【詳解】對于A，命題“，”的否定是“，”，所以A錯誤，對于B，當時，，，而當時，，所以“”是“”的充分不必要條件，所以B正確，對于C，若，則，所以“”不是“”的充要條件，所以C錯誤，對于D，因為，，所以，所以，所以，所以D正確，故選：BD10.下列命題正確的是（）A.的圖像是由的圖像向左平移一個單位長度得到的B.的圖像是由的圖像向上平移一個單位長度得到的C.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于軸對稱D.的圖像是由的圖像向左平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度得到的【正確答案】BCD【分析】由函數(shù)的平移法則和對稱性可直接判斷A，B，C選項，采用分離常數(shù)法化簡函數(shù)，再結合函數(shù)平移法則可判斷D選項.【詳解】的圖像是由的圖像向右平移一個單位長度得到的，故A項錯誤；的圖像是由的圖像向上平移一個單位長度得到的，故B項正確；函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于軸對稱，故C項正確；，故的圖像是由的圖像向左平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度得到的，故D項正確.故選：BCD11.已知定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，，當時，．則下列選項成立的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【正確答案】AB【分析】對A：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，賦值即可求得結果；對B：利用函數(shù)奇偶性和單調性即可判斷；對C：利用函數(shù)性質，分類討論，即可求得不等式解集；對D：由，結合函數(shù)單調性，即可求得不等式解集.【詳解】由，得：函數(shù)是R上的奇函數(shù)；由，，，得：在上單調遞減；又是連續(xù)函數(shù)，故可得在上單調遞減；對A：，令，故可得，A正確；對B：，即，由在上單調遞減，可得，故B正確；對C：對，當時，；當時，；由在上單調遞減，且可知，的解集為，故C錯誤；對D：，即，則，解得，故D錯誤；故選：AB．12.設，且，那么（）A.有最小值B.有最大值C.ab有最大值.D.ab有最小值.【正確答案】AD【分析】直接利用基本不等式分別求出和ab的范圍，對照四個選項進行判斷.【詳解】，，，當時取等號，，解得，，有最小值；，當時取等號，，，，解得，即，有最小值．故選：AD13.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為七界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費，以下關于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A.，B.，C.，，若，則有D.方程的解集為【正確答案】BCD【分析】對于A：取，不成立；對于B：設，,討論與求解；對于C：，，由得證；對于D：先確定，將代入不等式得到的范圍，再求得值.【詳解】對于A：取，，故A錯誤；對于B：設,，當時，，，則，則，,故當時成立.當時，，則，則，故當時成立.綜上B正確.對于C：設，則，，則，因此，故C正確;對于D：由知，一定為整數(shù)且，所以，所以，所以，由得，由解得，只能取，由解得或(舍)，故，所以或，當時，當時，所以方程的解集為，故選：BCD.高斯函數(shù)常見處理策略:(1)高斯函數(shù)本質是分段函數(shù),分段討論是處理此函數(shù)的常用方法.(2)由求時直接按高斯函數(shù)的定義求即可.由求時因為不是一個確定的實數(shù),可設，處理.(3)求由構成的方程時先求出的范圍,再求的取值范圍.(4)求由與混合構成的方程時,可用放縮為只有構成的不等式求解.（注意：考生需將填空題的答案及解體步驟寫到答題卡的標準區(qū)域，只寫答案沒有步驟則視為無效答案，請考生須知）三?填空題（共20分）14.函數(shù)的定義域是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)解析式建立不等式求解即可.【詳解】由，即，解得，即函數(shù)的定義域是.故15.已知，，，，則的最小值為________．【正確答案】【分析】由已知可得，結合基本不等式求的最小值，再求的最小值.【詳解】因為，，所以，又，，所以，當且僅當時取等號．所以，當且僅當時取等號．所以的最小值為.故答案為.16.已知函數(shù)，函數(shù)的最小值記為，給出下面四個結論：①的最小值為0；②的最大值為3；③若在上單調遞減，則的取值范圍為；④若存在，對于任意的，，則的可能值共有4個；則全部正確命題的序號為__________.【正確答案】①②④【分析】把給定函數(shù)按a的取值情況化成分段函數(shù)，再逐段分析求出的表達式并判斷AB；由在上單調性確定a值判斷C；由函數(shù)圖象具有對稱性求出a值判斷D作答.【詳解】當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，；當時，，若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，，若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，；當時，，若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，，若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，；當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，；當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，因此，于是，即的最小值為0，最大值為3，①②正確；顯然當時，函數(shù)在上也遞減，③錯誤；當或時，函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，當且僅當，即時，函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，當且僅當，即時，函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，不存在直線，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱，則當時，對于任意的，成立，此時，④正確，所以正確命題的序號為①②④.故答案：①②④思路點睛：分段函數(shù)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮17.在上非嚴格遞增，滿足，若存在符合上述要求的函數(shù)及實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意整理可得：對，則，分類討論的取值范圍，分析運算.詳解】∵，即對，則，故對，則，∵，則有：1.當時，則，可得，不成立；2.當時，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則，解得；例如，取，則，解得；故；3.當時，則，可得，不成立；4.當時，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則；例如，取，則；故；5.當時，則，可得，不成立；綜上所述：的取值范圍是.故答案為.關鍵點點睛：（1）對，結合累加法求得；（2）對于分段函數(shù)，一般根據(jù)題意分類討論，本題重點討論與的大小關系；（3）對特殊函數(shù)的處理，本題可取和.四?解答題（共65分）18.已知全集.（1）求集合；

（2）若集合，求實數(shù)的值.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）解一元二次方程及整數(shù)的概念化簡即可求解；（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程組求解即可.【小問1詳解】，所以，；【小問2詳解】由（1）得，又，所以，所以，得.19.已知函數(shù)且．（1）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，且最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）；（2）答案見解析【分析】（1）由題意可得恒成立，再根據(jù)，且，求得的范圍．（2）分類討論的范圍，利用二次函數(shù)的性質，求得的值．【小問1詳解】函數(shù)且的定義域為R，故恒成立，，且，；【小問2詳解】令，當時，是二次函數(shù)，其對稱軸為，當時，，有，不符合題意，當時，，不合題意，下面只討論的情況；①當時，要使函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，則函數(shù)在，上恒正，且為增函數(shù)，，則必有，即，并且有，，，滿足題意；②當時，討論與①相同，但，不成立；③當時，要使函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，則函數(shù)在，上恒正，且為減函數(shù)．，則必有，即，并且，，滿足題意；綜上，（1），（2）當和時，存在使得在上為增函數(shù)，并且最大值為2.20.若存在常數(shù)，使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實數(shù)都有，，則稱是與的分隔直線函數(shù)．當時，被稱為雙飛燕函數(shù)，被稱為海鷗函數(shù)．（1）當時，取．求的解集；（2）判斷：當時，與是否存在著分隔直線函數(shù)．若存在，請求出分隔直線函數(shù)解析式；若沒有，請說明理由．【正確答案】（1）答案見解析（2）存在分隔直線函數(shù)，解析式為，理由見解析【分析】（1）將不等式轉化為，對n分類討論解不等式；（2）對m，n分類討論找出介于兩個函數(shù)值之間的函數(shù)解析式.【小問1詳解】，時，，可化為，即，當，即時，不等式的解集為；當，即時，不等式的解集為或；當，即時，不等式的解集為或.【小問2詳解】若，，當時，恒成立，恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；若，，當時，恒成立，恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；綜上所述，與分隔直線函數(shù)解析式為.21.若函數(shù)為定義域上單調函數(shù)，且存在區(qū)間（其中），使得當時，的取值范圍恰為，則稱函數(shù)是D上的正函數(shù)，區(qū)間叫做等域區(qū)間.（1）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.（2）若，且不等式的解集恰為，求函數(shù)的解析式.并判斷是否為函數(shù)的等域區(qū)間.【正確答案】（1）存在，（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)“正函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調性將問題轉化為“方程在區(qū)間內有實數(shù)解”，利用構造函數(shù)法來求得的取值范圍.（2）根據(jù)“不等式的解集”求得的可能取值，再結合“等域區(qū)間”的定義求得正確答案.【小問1詳解】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以當時，，即兩式相減得，即，代入得，由，且得，故關于a的方程在區(qū)間內有實數(shù)解，記，則，解得.【小問2詳解】由不等式的解集恰為，且為二次函數(shù)，得，且.所以，①，②將代入①，，整理得.又，a，，從而或.所以或當時，，當時，，所以不是的等域區(qū)間.當時，，.當時，，所以不是的等域區(qū)間.函數(shù)中的新定義問題，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、