專題1.27 全等三角形作輔助線方法（截長(zhǎng)補(bǔ)短）（分層練習(xí)）（綜合練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題1.27全等三角形作輔助線方法（截長(zhǎng)補(bǔ)短）（綜合練）【知識(shí)與方法】截長(zhǎng)補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個(gè)幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長(zhǎng)補(bǔ)短法呢?所謂截長(zhǎng)補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思,即截長(zhǎng)和補(bǔ)短.截長(zhǎng)就是在較長(zhǎng)的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時(shí)，用截長(zhǎng)補(bǔ)短．1、截長(zhǎng)法：通過添加輔助線先在求證中長(zhǎng)線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。2、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；3、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法：具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.一、填空題1．如圖，已知在中，平分，，則.（用含的代數(shù)式表示）.2．已知：如圖，中，E在上，D在上，過E作于F，，，，則的長(zhǎng)為．3．如圖，為等邊三角形，若，則（用含的式子表示）．二、解答題4．如圖，四邊形ABCD中，,,,對(duì)角線BD平分交AC于點(diǎn)P.CE是的角平分線,交BD于點(diǎn)O.（1）請(qǐng)求出的度數(shù);（2）試用等式表示線段BE、BC、CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;5．如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

6．如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

7．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．8．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P．(1)求∠APC的度數(shù)；(2)若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長(zhǎng)．9．如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．10．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．12．如圖在中，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)．（1）請(qǐng)你判斷并寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．13．如圖所示，AD平分∠BAC，P是射線AD上一點(diǎn)，P與A不重合，．求證：．14．在四邊形中，，點(diǎn)E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定△AEB的形狀，并說明理由.（2）求證：15．閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會(huì)用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．(1)請(qǐng)完成下題的證明過程：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求證：AB+BD=AC．證明：在AC上截取AE=AB，連接DE．(2)如圖，，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過點(diǎn)E，求證：AB＝AD+BC．16．如圖，四邊形是正方形，E是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，則的值為__________；(3)連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，連接，探究之間的關(guān)系．17．在中，，如圖①，當(dāng)，為的平分線時(shí)，在上截取，連接DE，易證．(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說明理由，請(qǐng)直接寫出你的猜想.(2)如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時(shí)，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想進(jìn)行說明.18．如圖，已知?ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的長(zhǎng)；(2)求證：AB＝DG+FC．19．在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長(zhǎng)．21．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．參考答案1．a(chǎn)-b【分析】在CB上截取CA′=CA，連接DA′，根據(jù)SAS證明△ADC≌△A′DC，根據(jù)△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再證明DA′=A′B即可解決問題.解：在CB上截取CA′=CA，連接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中，，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案為：a-b.【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.2．/【分析】在上取一點(diǎn)T，使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接．想辦法證明，推出，推出即可解決問題．解：在上取一點(diǎn)T，使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．/【分析】在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，可證得，從而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，從而得到是等邊三角形，進(jìn)而得到∠BDC=60°，則有，即可求解．解：如圖，在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，∵為等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵，BE=AD，∴，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴是等邊三角形，∴∠BDC=60°，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）BE+CP=BC，理由見分析．【分析】（1）先證得為等邊三角形，再利用平行線的性質(zhì)可求得結(jié)論；（2）由BP、CE是△ABC的兩條角平分線，結(jié)合BE=BM，依據(jù)“SAS”即可證得△BEO≌△BMO；利用三角形內(nèi)角和求出∠BOC=120°，利用角平分線得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判斷出∠COM=∠COP，即可判斷出△OCM≌△OCP，即可得出結(jié)論；解：（1）∵，，∴為等邊三角形，∴∠ACD=，∵，∴∠BAC=∠ACD=；（2）BE+CP=BC，理由如下：在BC上取一點(diǎn)M，使BM=BE，連接OM，如圖所示：∵BP、CE是△ABC的兩條角平分線，∴∠OBE=∠OBM=∠ABC，在△BEO和△BMO中，，∴△BEO△BMO(SAS)，∴∠BOE=∠BOM=60，∵BP、CE是△ABC的兩條角平分線，∴∠OBC+∠OCB=在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180，∵∠BAC=60，∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120，∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120，∴∠BOE=60，∴∠COP=∠BOE=60∵△BEO≌△BMO，∴∠BOE=∠BOM=60，∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60，∴∠COM=∠COP=60，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠OCM=∠OCP，在△OCM和△OCP中，∴△OCM≌△OCP（ASA），∴CM=CP，∴BC=CM+BM=CP+BE，∴BE+CP=BC．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，證明∠CFM=∠CFD是解題的關(guān)鍵．5．證明見分析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結(jié)論．解：證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．6．見分析【分析】運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．解：在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵．7．(1)；(2)10【分析】（1）由題意，根據(jù)，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問題．解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．8．(1)120°；(2)8【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；（2）由題中條件可得△APE≌△APF，進(jìn)而得出∠APE＝∠APF，通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出△CPF≌△CPD，進(jìn)而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．解：∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°，∵AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°；（2）解：在AC上截取AF＝AE，連接PF，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，AF=AE，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA）∴CF＝CD，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8．【點(diǎn)撥】本題主要考查了利用角平分線求角度和全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解題關(guān)鍵．9．（1）120°；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=60°，從而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，證明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再證明∠C+∠D=180°，從而推出∠BEO=∠D，證明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可證明AC+BD=AB．解：（1）∵AD，BC分別平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是截取AE=AC，利用全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．10．證明見分析．【分析】延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG．先說明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得△AEG≌△AEF，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答．解：延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．11．見分析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質(zhì)可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．解：證明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解題的關(guān)鍵．12．（1）；（2），見分析【分析】（1）在上截取，利用SAS證出，從而得出，，然后利用ASA證出，從而得出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中兩個(gè)全等三角形可得，，從而證出結(jié)論．解：（1）與的關(guān)系是，在上截取，

、分別是、的平分線，，在△AEF和△AHF中，，∵∠B=60°∴∠BAC＋∠BCA=180°－∠B=120°∵、分別是、的平分線，∴∠FAC＋∠FCA=＋==60°∴180°－（∠FAC＋∠FCA）=120°，=∠FAC＋∠FCA=60°，，，在△CFH和△CFD中，，（2）理由：由（1）知：，，，即【點(diǎn)撥】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．13．詳見分析【分析】在AC上截取AE=AB，連接PE，利用SAS可證明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三邊關(guān)系即可得答案．解：在AC上截取AE=AB，連接PE，∵AD平分，∴．在和中，∴．在中，，∵，AE=AB，∴．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)建全等三角形并熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．14．（1）△AEB為直角三角形，理由見分析；（2）見分析.【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分線得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；（2）在AB上截取線段AF=AD，連接EF，構(gòu)建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代換即可得證解：△AEB為直角三角形，理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC，∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，∴∠AEB=180°?90°=90°,∴△AEB為直角三角形；(2)證明：如圖，在邊AB上截取線段AF=AD，連接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠DAE，在△ADE和△AFE中,，∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠AED=∠AEF，∵AE⊥BE，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF，又∵在△BFE與△BCE中,∴△BFE≌△BCE(AAS)，∴BF=BC，∵AB=AF+BF，∴AB=AD+BC.【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的綜合問題，是“截長(zhǎng)補(bǔ)短”模型的典型題目，熟練掌握此模型輔助線的作法，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.15．(1)證明見分析；(2)證明見分析；【分析】（1）在AC上截取AE=AB，連接DE，證明，得到，再證明ED=EC即可；（2）先過E作，交于，則，，因?yàn)镋A、EB分別平分和，所以AF=EF=FB，再根據(jù)梯形中位線定理得出AB=AD+BC．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD在△AED和△ABD中，∴△AED△ABD（SAS），∴ED=BD，∠AED=∠B，∵∠B=2∠C∴∠AED=2∠C，又∵∠AED為△CED的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED∴EC=BD，∴AC=AE+EC=AB+BD．（2）在AB上截取AF=AD，連接EF∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠FAE又∵AE=AE，AF=AD∴△DAE△FAE（SAS）∴∠D=∠AFE∵∴∠C+∠D=180o∵∠AFE+∠BFE=180o∴∠BFE=∠C又∵∠FBE=∠CBE，BE=BE∴（AAS）∴BF=BC∴AB=AF+BF=AD+BC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，此題利用了全等三角形常見的輔助線中的截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題的最常見解法，注意熟悉掌握．16．(1)見分析；(2)；(3)，理由見分析【分析】（1）取的中點(diǎn)，并連接，通過正方形和等腰直角三角形的基本性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；（2）連接后，由點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，推出為的中位線，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)換邊長(zhǎng)，根據(jù)中位線定理求解即可；（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得到，從而考慮運(yùn)用“半角”模型，因此延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，運(yùn)用兩次基礎(chǔ)全等證明即可得出結(jié)論．解：（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，并連接，∴，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∵正方形外角的平分線為，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，由（1）得，∴，∴，∴，故答案為：；（3）解：，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，由正方形基本性質(zhì)得：，，∴，∴，，由（1）知，，且，∴，∴，∴，即：，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，在證明第一小問時(shí)要合理作出輔助線，才能為后面的問題做良好的鋪墊，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基本定理是解題關(guān)鍵．17．(1)；(2)，證明見分析【分析】（1）首先在上截取，連接，易證，則可得，，又由，，所以，即，易證進(jìn)而求解；（2）首先在的延長(zhǎng)線上截取，連接，易證，可得，，又由，易證，則可求解．解：．理由為：在上截取，連接，如圖②所示，∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，則；（2）解：．理由為：在上截取，連接，如圖③所示，∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，則．【點(diǎn)撥】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．18．(1)；(2)見分析【分析】（1）先由，在中，求得，由平分，則，由，則，從而有，得出，再根據(jù)即可求得；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，，結(jié)合（1）中結(jié)論及利用外角的性質(zhì)得出，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，由此即可證明．（1）解：在中，，，，∴，∴，在中，，．，∵，平分，，，，；（2）證明：如圖所示：延長(zhǎng)至，連接，使，在和中，，，，由（1）可得：，，即，，即．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，由補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．19．(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，證明見分析．【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連接CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，從而可證得結(jié)論．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案為：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等邊三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）3【分析】（1）證明△ACD≌△AED（AAS），即可得出結(jié)論；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，證△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再證Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出M