蘇教版數(shù)學(xué)必修二講義第1章1.21.2.3第2課時直線與平面垂直Word版含答案

第2課時直線與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．能正確判斷直線與平面垂直的位置關(guān)系．(重點)2．了解點到平面的距離和直線與平面間的距離．(難點)3．理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．(重點、難點)4．了解直線與平面垂直的概念及直線與平面所成角的概念．(重點)通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容來提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).1．直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線a與平面α互相垂直，符號表示：a⊥α．直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足．圖形表示：2．直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥m,a⊥n,m∩n＝A,mα,nα))a⊥α3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b4.距離及直線與平面所成的角(1)距離①點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離．②直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離．(2)直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．特別地：如果直線和平面垂直，那么就說這條直線與平面所成的角是直角；如果直線與平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角．1.思考辨析(1)若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l⊥α. ()(2)若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行． ()(3)若a∥b，aα，l⊥α，則l⊥b. ()(4)若l⊥平面ABCD，則l⊥BC. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是()A．l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B．l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C．l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D．l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直D[由直線與平面垂直的定義及判定定理知D正確．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，則點C到平面B1BDD1的距離為________，AB到平面A1B1CDeq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)[連結(jié)AC，BD，則AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以點C到平面B1BDD1的距離為eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，AB到平面A1B1CD距離等于A到該平面的距離，等于eq\f(\r(2),2).]4．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角等于________．45°[∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.]線面垂直的定義及判定定理的應(yīng)用【例1】如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過點A作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC.思路探究：只要證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩相交直線即可，已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，即轉(zhuǎn)為證BC垂直于平面PAC即可．[證明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1.用線面垂直的判定定理判斷一條直線與此平面垂直時，需在平面內(nèi)找兩條相交直線，證明一條直線同時垂直于這兩條相交直線，這是證明線面垂直的一個常用方法．2.線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線垂直線面垂直1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，O是底面ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O[證明]∵E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC.∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.思路探究：利用線面垂直的性質(zhì)定理證明EF，BD1垂直于平面AB1C[證明]如圖所示，連結(jié)AB1，B1C，BD，B1D1∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1空間中證明兩條直線平行的方法(1)利用線線平行定義證兩線無公共點；(2)若a∥b，b∥c，則a∥c(公理4)；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)若a⊥α，b⊥α，則a∥b(線面垂直的性質(zhì)定理)．2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC求證：MN∥AD1.[證明]∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ADD1A1∴A1D⊥AD1.又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，A1D平面A1DC，CD平面A1DC，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.距離問題及直線與平面所成角的求法[探究問題]1．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1.點B與D1到平面A1C1CA的距離分別是多少？BC1到平面ADD1[提示]由題意知BD＝B1D1＝2eq\r(2)，B，D1到平面AC1的距離分別為eq\f(BD,2)和eq\f(B1D1,2)，都為eq\r(2)；BC1到平面AD1的距離等于AB的長，為2.2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中(1)直線BD1與平面AC及平面A1C1(2)A1B與平面A1B1CD所成的角是多少度？[提示](1)因為平面AC與平面A1C1平行，所以BD1(2)A1B與平面A1C所成的角為30°，連結(jié)BC1交B1C于點O，連結(jié)A1O設(shè)正方體的棱長為a，因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又因為BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝eq\r(2)a，BO＝eq\f(\r(2),2)a，所以BO＝eq\f(1,2)A1B，∠BA1O＝30°.因此，直線A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.【例3】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B，B1C(1)求證：MN⊥平面A1BC；(2)求直線BC1與平面A1BC所成的角的大小．思路探究：(1)證明MN∥AC1.(2)C1點在平面A1BC上的射影為A1C中點．[解](1)證明：如圖所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1連結(jié)AC1，則BC⊥AC1.由已知，可知側(cè)面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC又BC∩A1C＝C所以AC1⊥平面A1BC.因為側(cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點，連結(jié)AB1，則點M是AB1又點N是B1C1的中點，則MN是△AB1C1所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)因為AC1⊥平面A1BC，設(shè)AC1與A1C相交于點D，連結(jié)BD則∠C1BD為直線BC1與平面A1BC所成的角．設(shè)AC＝BC＝CC1＝a，則C1D＝eq\f(\r(2),2)a，BC1＝eq\r(2)a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝eq\f(C1D,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠C1BD＝30°，故直線BC1與平面A1BC所成的角為30°.求直線與平面所成角的步驟：(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；(2)連結(jié)垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．3．如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，E，F(xiàn)分別為CC1，DD1(1)求證：A1F⊥平面BEF(2)求直線A1B與平面BEF所成的角的正弦值．[解](1)證明：連結(jié)AF.∵E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形．又在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB⊥平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1由已知，得AF＝eq\r(2)，A1F＝eq\r(2)，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AAeq\o\al(2,1)，∴AF⊥A1F又AF∩EF＝F，∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面(2)∵A1F⊥平面BEF∴A1B在平面BEF上的射影為BF，∴∠A1BF為直線A1B與平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝eq\r(2)，A1B＝eq\r(5)，∴sin∠A1BF＝eq\f(\r(10),5)，即A1B與平面BEF所成角的正弦值為eq\f(\r(10),5).1．本節(jié)課的重點是理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性；掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問題．難點是了解直線和平面所成的角的含義，并知道其求法．2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)證明線面垂直的方法．(2)求斜線與平面所成角的方法步驟．3．本節(jié)課的易錯點是用線面垂直的判定定理時漏掉兩條直線相交這一條件．求線面角時不注意出現(xiàn)的線面垂直條件．1．直線l⊥平面α，直線mα，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直[答案]A2．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是________．垂直[∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l(xiāng)⊥平面ABC，又∵AB平面ABC，∴l(xiāng)⊥AB.]3．已知平面α外兩點A，B到平面α的距離分別是2和4，則A，B的中點P到平面α的距離是______．1或3[A，B在α同一側(cè)時，P到α的距離為3；A，B在α異側(cè)時，P到α的距離為1.]4.(2019·全國卷Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離．[解](1)連結(jié)B1C，ME，因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C，又因為N為A1D的中點，所以ND＝eq\f(1,2)