專題3.3 平面直角坐標(biāo)系（知識講解）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（北師大版）

專題3.3平面直角坐標(biāo)系（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平面直角坐標(biāo)系概念，能正確畫出平面直角坐標(biāo)系；2.能在平面直角坐標(biāo)系中,根據(jù)坐標(biāo)確定點,以及由點的位置求出坐標(biāo)；3.掌握點位置與其坐標(biāo)的符號特征；3.由數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系,滲透類比的數(shù)學(xué)思想.【要點梳理】要點一、有序數(shù)對定義：把有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．特別說明：：有序，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同，如電影院的座位是8排9號，可以寫成(8，9)的形式，而(9，8)則表示9排8號．要點二、平面直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)的概念1.平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向，兩坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點(如圖1).特別說明：：平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成的.2.點的坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點P，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對（a,b）叫做點P的坐標(biāo)，記作:P(a,b)，如圖2.特別說明：：（1）表示點的坐標(biāo)時，約定橫坐標(biāo)寫在前，縱坐標(biāo)寫在后，中間用“，”隔開．（2）點P(a，b)中，|a|表示點到y(tǒng)軸的距離；|b|表示點到x軸的距離.(3)對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點都有唯一的一對有序數(shù)對(x，y)和它對應(yīng),反過來對于任意一對有序數(shù)對，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點與它對應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序數(shù)對是一一對應(yīng)的．要點三、坐標(biāo)平面1.象限建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖．特別說明：：（1）坐標(biāo)軸x軸與y軸上的點(包括原點)不屬于任何象限．（2）按方位來說：第一象限在坐標(biāo)平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐標(biāo)平面的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)平面內(nèi)的點可以劃分為六個區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區(qū)域之間均沒有公共點.要點四、點坐標(biāo)的特征1.各個象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)符號規(guī)律特別說明：：（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一個點，不在這四個象限內(nèi)，就在坐標(biāo)軸上.（2）坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征：x軸上的點的縱坐標(biāo)為0；y軸上的點的橫坐標(biāo)為0．（3）根據(jù)點的坐標(biāo)的符號情況可以判斷點在坐標(biāo)平面上的大概位置；反之，根據(jù)點在坐標(biāo)平面上的位置也可以判斷點的坐標(biāo)的符號情況．2.象限的角平分線上點坐標(biāo)的特征第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示為(a，a)；第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示為(a，-a)．3.平行于坐標(biāo)軸的直線上的點平行于x軸的直線上的點的縱坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上的點的橫坐標(biāo)相同.要點五、兩點之間距離公式及中點坐標(biāo)公式兩點之間距離公式2.中點坐標(biāo)公式【典型例題】類型一、建立平面直角坐標(biāo)系并求點的坐標(biāo)（建系）1．如圖，正三角形ABC的邊長為4，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫出各個頂點的坐標(biāo)．

【答案】A（0，2），B（－2，0），C（2，0）解：如圖，以邊BC所在的直線為x軸，以邊BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系．由正三角形的性質(zhì)可知AO＝2，正三角形ABC各個頂點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（－2，0），C（2，0）．舉一反三：【變式1】如圖，點A、B、C都在方格紙的格點上，若點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，試建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，寫出點C的坐標(biāo)．【答案】圖見分析，【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，再確定坐標(biāo)．解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系：∴點C的坐標(biāo)為（2，1）．【點撥】本題考查了坐標(biāo)系及其點的坐標(biāo)，正確建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，正方形和正方形中，使點B、C的坐標(biāo)分別為和(1)請直接寫出A，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求正方形的面積．【答案】(1)A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F(xiàn)（﹣1，2）(2)5【分析】（1）先利用點B和點C的坐標(biāo)畫出平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)點的坐標(biāo)的意義即可得到點A、D、E、F的坐標(biāo)；（2）利用正方形的面積公式和勾股定理解答即可．（1）解：如圖所示：∴A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F(xiàn)（﹣1，2）．（2）解：∵，∴正方形CDEF的面積＝5．【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)求線段長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系；記住坐標(biāo)系中坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．類型二、點到坐標(biāo)軸的距離2．已知點在第一象限，且點到軸和軸的距離相等，求點的坐標(biāo)．【答案】（11，11）【分析】直接利用第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點，橫縱坐標(biāo)的符號關(guān)系，結(jié)合點到軸和軸的距離相等，得出橫縱坐標(biāo)相等，進而得出答案．解：點在第一象限，點到軸和軸的距離相等，，解得：，故，，則點的坐標(biāo)為：．【點撥】本題主要考查了第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點，解題的關(guān)鍵是結(jié)合點到軸和軸的距離相等，得出橫縱坐標(biāo)相等，進而得出答案．舉一反三：【變式1】已知平面直角坐標(biāo)系中有一點.（1）當(dāng)點M到y(tǒng)軸的距離為1時，求點M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點M到x軸的距離為2時，求點M的坐標(biāo).【答案】（1）點M的坐標(biāo)是或；（2）點M的坐標(biāo)是或【分析】根據(jù)點到坐標(biāo)軸的距離為其橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對值求解即可．解：（1），或，解得或，點M的坐標(biāo)是或.（2），或，解得或，點M的坐標(biāo)是或.【點撥】本題考查的知識點是根據(jù)點到坐標(biāo)軸的距離求點的坐標(biāo)，需注意多解問題，不要漏解．【變式2】已知平面直角坐標(biāo)系中有一點M(m－1，2m＋3)．當(dāng)m為何值時，點M到x軸的距離為1?當(dāng)m為何值時，點M到y(tǒng)軸的距離為2?【答案】（1）m＝－1或m＝－2.（2）m＝3或m＝－1.試題分析：（1）讓縱坐標(biāo)的絕對值為1列式求值即可；（2）讓橫坐標(biāo)的絕對值為2列式求值即可．解：（1）∵|2m+3|=12m+3=1或2m+3=-1∴m=-1或m=-2；（2）∵|m-1|=2m-1=2或m-1=-2∴m=3或m=-1．考點：點的坐標(biāo)．類型三、判斷點所在的象限3.已知點，以點A為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系．求a，b的值；判斷點、點所在的位置．【答案】(1)a＝3，b＝?1(2)B（2，?4）在第四象限；C（0，?1）在y軸的負(fù)半軸上且到x軸的距離為1．【分析】（1）根據(jù)點A為原點，則點A的橫縱坐標(biāo)都為0，解答即可；（2）把a＝3，b＝?1分別代入B，C即可求解．(1)解：∵點A為原點，∴a?3＝0，2b＋2＝0，解得：a＝3，b＝?1；(2)解：把a＝3，b＝?1代入點B得：2a?4＝2×3?4＝2，3b?1＝3×（?1）?1＝?4，∴B（2，?4）在第四象限；把a＝3，b＝?1代入點C得：?a＋3＝?3＋3＝0，b＝?1，∴C（0，?1）在y軸的負(fù)半軸上且到x軸的距離為1．【點撥】本題考查了點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握x軸，y軸上點的坐標(biāo)特征．舉一反三：【變式1】已知a，b都是實數(shù)，設(shè)點P（a，b），若滿足3a＝2b＋5，則稱點P為“新奇點”．判斷點A（3，2）是否為“新奇點”，并說明理由；若點M（m－1，3m＋2）是“新奇點”，請判斷點M在第幾象限，并說明理由．【答案】(1)點A（3，2）是“新奇點”，理由見分析，(2)點M在第三象限，理由見分析．【分析】（1）根據(jù)題目中“新奇點”的判斷方法，將，，代入判斷，即可證明；（2）根據(jù)點是“新奇點”，可得，求解代入得出，即可確定點的坐標(biāo)，然后判斷在哪個象限即可．(1)解：點是“新奇點”，理由如下：當(dāng)A(3，2)時，，，∴，，∴．∴點是“新奇點”；點M在第三象限，理由如下：∵點是“新奇點”，∴，，∴，解得：，∴，，∴點在第三象限．【點撥】題目主要考查求代數(shù)式的值及解一元一次方程，判定點所在象限，理解題中新的定義是解題關(guān)鍵．【變式2】在圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-4，1)和(-1，4)，寫出點C、D的坐標(biāo)，并指出它們所在的象限．【分析】首先根據(jù)點A、B的坐標(biāo)確定坐標(biāo)原點和x、y軸的正方向，進而建立平面直角坐標(biāo)系，再結(jié)合圖形得出C、D兩點的坐標(biāo)，進而判斷這兩個點所在的象限.解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖：得C(-1，-2)、D(2，1)．由圖可知，點C在第三象限，點D在第一象限.【點撥】本題考查了已知兩點確定直角坐標(biāo)系的知識，根據(jù)兩點的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.類型四、已知點的象限求參數(shù)4．在平面直角坐標(biāo)系中，有一點M(a－2，2a+6)，試求滿足下列條件的a值或取值范圍．點M在y軸上；點M在第二象限；M到x軸的距離為2．【答案】(1)a=2(2)－3<a<2(3)a=–2或–4【分析】（1）點在y軸上，該點的橫坐標(biāo)為0即可求解；（2）根據(jù)第二象限的點的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0即可求解；（3）根據(jù)點到x軸的距離為2，則該點的縱坐標(biāo)的絕對值為2，據(jù)此計算即可．(1)解：由題意得，a﹣2＝0，解得a＝2；(2)解：由，解得，﹣3＜a＜2；(3)解：由|2a+6|＝2，解得a＝–2或–4．【點撥】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．舉一反三：【變式1】已知點，分別根據(jù)下列條件解決問題：點A在x軸上，求m的值；點A在第四象限，且m為整數(shù)，求點A的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)x軸上的點的縱坐標(biāo)等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根據(jù)第四象限點的符號特征，列出不等式組求出的值，求出點A坐標(biāo)；(1)解：由，得；(2)∵點在第四象限，∴，解不等式①得，解不等式②得，所以，m的取值范圍是，∵m為整數(shù)，∴，∴．【點撥】本題考查平面直角坐標(biāo)中點的坐標(biāo)，x軸上的點的縱坐標(biāo)等于零，各象限點的特征，解題關(guān)鍵是熟記點的特征．【變式2】已知平面直角坐標(biāo)系中一點，分別求出滿足下列條件的點A的坐標(biāo)．點A在過點且平行于x軸的直線上；點A在第一、三象限的角平分線上；點A在第二象限，且到兩坐標(biāo)軸的距離之和為10．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行于x軸的直線上點的縱坐標(biāo)相同，即可求解；（2）根據(jù)在第一、三象限的角平分線上的點橫縱坐標(biāo)相同，即可求解；（3）根據(jù)點A在第二象限，可得，再由點A到兩坐標(biāo)軸的距離之和為10，可得，即可求解．(1)解：∵點A在過點且平行于x軸的直線上，∴，解得：，∴，∴點A的坐標(biāo)為；(2)解：∵點A在第一、三象限的角平分線上，∴，解得：，∴，∴點A的坐標(biāo)為；(3)解：∵點A在第二象限，∴，解得：，∵點A到兩坐標(biāo)軸的距離之和為10，，∴，解得：，∴，∴點A的坐標(biāo)為．【點撥】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征及點到坐標(biāo)軸的距離的應(yīng)用，點在第一、三象限的角平分線上的坐標(biāo)特征，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．類型五、坐標(biāo)系中描點5．在平面直角坐標(biāo)系中，把以下各組點描出來，并順次連接各點．(0，－4)，(3，－5)，(6，0)，(0，－1)，(－6，0)，(－3，－5)，(0，－4)．解：如圖：舉一反三：【變式1】如圖，點A、B在單位長度為1的正方形網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系，使點A、B的坐標(biāo)分別為(1)請在圖中建立平面直角坐標(biāo)系．(2)若C、D兩點的坐標(biāo)分別為、，請描出C、D兩點．C、D兩點的坐標(biāo)有什么異同？直線與x軸有什么關(guān)系？(3)若點為直線上的一點，則___________，點E的坐標(biāo)為___________．【答案】(1)答案見分析(2)答案見分析(3)；【分析】（1）根據(jù)、兩點的坐標(biāo)即可建立坐標(biāo)系；（2）直接描出、兩點坐標(biāo)即可，根據(jù)橫、縱坐標(biāo)即可找到規(guī)律；（3）根據(jù)直線上點的坐標(biāo)規(guī)律即可求出．(1)解：如圖所示，(2)解：、兩點如圖所示，由圖可知、兩點橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)相同；直線與軸平行；(3)解：由（2）可知軸，點為直線上的一點，，，，．【點撥】本題主要考查坐標(biāo)與圖形，平面直角坐標(biāo)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出平面直角坐標(biāo)系．【變式2】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有4個點：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)．(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出這4個點；(2)順次連接A、B、C、D組成四邊形ABCD，請用兩種方法求出四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見分析(2)8【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系描出點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，求面積即可求解．(1)解：如圖所示：點A、B、C、D為所描的點．(2)方法一：如圖所示，作長方形EFGH：則有方法二：如圖所示，將四邊形ABCD分割為△ABP、△BCQ、△CMD、△AND和正方形PQMN，則有．【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．類型六、坐標(biāo)與圖形6．如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點，點A的坐標(biāo)為(a,0),點C的坐標(biāo)為(0,b)，且a、b滿足+|b-12|=0,點B在第一象限內(nèi)，點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的路線移動．點B的坐標(biāo)為________;當(dāng)點P移動5秒時，點P的坐標(biāo)為在移動過程中，當(dāng)點P移動11秒時，求△OPB的面積．在（2）的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點Q，使△OPQ與△OPB的面積相等．若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)（8，12），（8，2）；(2)當(dāng)點P移動11秒時，△OPB的面積為12；(3)（0，4）、（0，-4）、（2，0）、（-2，0）．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，可得B點坐標(biāo)，再求出點P移動5秒的路程，可得P點坐標(biāo)；（2）求出點P的坐標(biāo)，可得PB＝2，然后根據(jù)三角形面積公式計算即可；（3）分情況討論：①當(dāng)點Q在y軸上時，②當(dāng)點Q在x軸上時，分別根據(jù)S△OPQ＝S△OPB列式求出OQ，即可得到對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．（1）解：∵，∴，，∴，，∴A（8，0），B（0，12），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝12，∴B（8，12），∵點P移動5秒時，移動的路程為5×2＝10，∴P（8，2），故答案為：（8，12），（8，2）；（2）當(dāng)點P移動11秒時，移動的路程為：11×2＝22，∴P（6，12），∴PB＝8－6＝2，∴S△OPB＝；（3）分情況討論：①當(dāng)點Q在y軸上時，∵點P移動11秒時，P點坐標(biāo)為（6，12），S△OPB＝，∴由S△OPQ＝S△OPB得：，∴，∴點Q的坐標(biāo)為：（0，4）或（0，－4）；②當(dāng)點Q在x軸上時，∵點P移動11秒時，P點坐標(biāo)為（6，12），S△OPB＝，∴由S△OPQ＝S△OPB得：，∴，∴點Q的坐標(biāo)為：（2，0）或（－2，0），綜上，點Q坐標(biāo)為：（0，4）或（0，－4）或（2，0）或（－2，0）．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性，坐標(biāo)與圖形，三角形面積計算等知識，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，長方形的頂點為平面直角坐標(biāo)系的原點，點和點分別在軸和軸的正半軸上，點的坐標(biāo)為，且．求點的坐標(biāo)；點是線段的中點，求的面積；【答案】(1)(2)【分析】（1）由絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得到，，再求出的長，即可解決問題．（1）解：∵，∴

解得，∴；解：，四邊形是矩形，，，，∵點是線段的中點，∴，∴．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，二元一次方程組的解法，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】有一張圖紙被損壞，但上面有如圖的兩個標(biāo)志點A（-3,1），B（-3，-3）可認(rèn)，而主要建筑C（3,2）破損．建立直角坐標(biāo)系；標(biāo)出圖中C點的位置；求出線段AC的長．【答案】(1)作圖見分析；(2)作圖見分析；(3)．【分析】（1）以點A向右3個單位，向下1個單位為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系；（2）根據(jù)C（3，2）確定出點C的位置即可；（3）利用勾股定理即可求得線段AC的長．（1）解：建立直角坐標(biāo)系如下圖所示，（2）解：圖中C點的位置如下圖所示，（3）解：如下圖，∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，CF=1，F(xiàn)A=6，∴，【點撥】考查了確定坐標(biāo)系中點的位置及勾股定理，根據(jù)已知點的坐標(biāo)準(zhǔn)確確定出坐標(biāo)原點的位置是解題的關(guān)鍵．類型七、點坐標(biāo)的規(guī)律7．如圖，每個小方格邊長為1，已知點，，，，，，，，…(1)將圖中的平面直角坐標(biāo)系補畫完整；(2)按此規(guī)律，請直接寫出點的坐標(biāo)：，；(3)按此規(guī)律，則點的坐標(biāo)為．【答案】(1)見分析(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)確定坐標(biāo)軸即可；（2）根據(jù)圖示及坐標(biāo)系各象限橫縱坐標(biāo)符號特點即可得出結(jié)果；（3）觀察圖象及各點的坐標(biāo)特點得出A4n+2（n+1，n+1），再由2022=4×505+2，即可確定點的坐標(biāo)．（1）解：根據(jù)題意補畫得平面直角坐標(biāo)系如圖所示：（2）根據(jù)圖示坐標(biāo)系各象限橫縱坐標(biāo)符號特點可得：A9（3，-2），A10（3，3）；（3）觀察圖形發(fā)現(xiàn)，下標(biāo)為4n+2的點落在第一象限的對角線上，∵A2(1,1)，A6(2,2)，∴A4n+2（n+1，n+1），∵2022=4×505+2，∴A2022（506，506），故答案為：（506，506）．【點撥】題目主要考查坐標(biāo)系中點的特點，確定坐標(biāo)系等，理解題意，確定坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位．其行走路線如下圖所示．(1)填寫下列各點的坐標(biāo)：（______，______），（______，______）；(2)寫出點的坐標(biāo)（是正整數(shù)）（______，______）；(3)求出的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）觀察圖形，即可求解；（2）觀察圖形，由（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解；（