專題19圓錐曲線的綜合問題（學(xué)生版）

專題19圓錐曲線的綜合問題圓錐曲線綜合問題內(nèi)容主要包括：圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系、時(shí)常與三角、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、向量、不等式等知識(shí)相結(jié)合，求解弦長(zhǎng)、面積、中點(diǎn)弦圓錐曲線綜合問題內(nèi)容主要包括：圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系、時(shí)常與三角、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、向量、不等式等知識(shí)相結(jié)合，求解弦長(zhǎng)、面積、中點(diǎn)弦問題、焦點(diǎn)弦問題、最值或變量范圍等等。考查方法常有：消元法、換元法、主元法、等價(jià)轉(zhuǎn)換、先猜后證、點(diǎn)差法、投影法等?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)主要有：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模。考查的數(shù)學(xué)思想主要有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)化歸。弦弦問題；3.圓錐曲線中的面積問題?！K省清江中學(xué)高級(jí)教師崔緒春探究1：中點(diǎn)弦問題【典例剖析】例1.(2022·新高考2卷)已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|，|MN|=23選題意圖:選題意圖:高考真題,本題雖然以橢圓為載體,但并沒有涉及橢圓的幾何性質(zhì),主要考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)常用點(diǎn)差法求解.思維引導(dǎo)：首先取AB的中點(diǎn)E，從而得到E為MN的中點(diǎn).利用點(diǎn)差法可得kOE．kAB=-12,結(jié)合【變式訓(xùn)練】練11(2022·浙江省聯(lián)考)阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，A.362π B.182π練12(2022·江蘇省徐州市模擬·多選)已知雙曲線C：x2a2-y2=1(a>0)，若圓(x-2)A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6

B.雙曲線C的離心率e=233

C.點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則d1d2=34

D.直線y=k1x+m與C交于A【規(guī)律方法】1.橢圓中點(diǎn)弦結(jié)論（以焦點(diǎn)在x軸的橢圓方程x2如圖，在橢圓C中，E為弦AB的中點(diǎn)，則kOE注：若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓x2b22.雙曲線中點(diǎn)弦結(jié)論（以焦點(diǎn)在x軸的雙曲線x2a2如圖所示，E為弦AB的中點(diǎn)，則kOE注：若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線y2a2-3.拋物線中點(diǎn)弦結(jié)論如圖，在拋物線y2=2pxp≠0中，若直線l點(diǎn)Px0,y0是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為k注：在拋物線x2=2pyp≠0中，若直線l點(diǎn)Px0,y0是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為kMN答題模板：點(diǎn)差法解題思路（以給定橢圓和直線斜率為例，雙曲線拋物線同理）第一步:設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx第二步:兩式相減得x1第三步:利用kAB=y2-化簡(jiǎn)可得y2探究2：拋物線的焦點(diǎn)弦問題【典例剖析】例2.(2022·全國(guó)甲卷理科)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．選題意圖選題意圖：高考真題,考查直線、拋物線、三角函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)以及解析幾何的基本思想方法要求學(xué)生在復(fù)雜的直線與拋物線的位置關(guān)系中,能抓住問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵.思維引導(dǎo)：(1)利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；

(2)解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系,借助三角恒等變換和基本不等式求解.【變式訓(xùn)練】練21(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)過拋物線y2=8x焦點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，當(dāng)MA⊥NA時(shí)，|MN|=

．練22(2022·江蘇省南京市模擬)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【規(guī)律方法】1.過拋物線y2=2pxx>0焦點(diǎn)F的弦AB，若點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，過A、B的直線傾斜角為α2.解決拋物線的焦點(diǎn)弦問題時(shí)，要注意一下幾點(diǎn)：(1)設(shè)拋物線上有兩點(diǎn)Ax1,y1(2)利用y12?y2(3)利用拋物線的定義把過焦點(diǎn)的弦分成兩個(gè)焦半徑的和，轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再求解.(4)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用AB=x1+x探究3：圓錐曲線中的面積問題【典例剖析】例3.(2022·新高考1卷)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．

(1)選題意圖選題意圖：高考真題,以雙曲線為載體進(jìn)行命題,第一問考查直線與雙曲線的聯(lián)立、斜率化韋達(dá)代入問題，直接計(jì)算非常麻煩，有兩個(gè)行之有效的方法，一是齊次化的方法，二是利用圓錐曲線的硬解定理.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：(1)將點(diǎn)A代入雙曲線方程得4a2-1a2-1=1，求得a2=2，則雙曲線方程為x22-y2=1;

由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，代入雙曲線方程，得出關(guān)于x【變式訓(xùn)練】練31(2021·全國(guó)甲卷理科)已知F1,F2為橢圓C:x216+y24=1兩個(gè)焦點(diǎn)，P練32(2021·全國(guó)乙卷理科)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB為C的兩條切線，A【規(guī)律方法】1.面積問題的解決策略：

(1)求三角形的面積需要尋底找高,需要兩條線段的長(zhǎng)度,為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接表示的底(或高)(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，其中對(duì)角線用弦長(zhǎng)公式求解(3)不規(guī)則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則可以考拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形.2.多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些