專題14 四邊形綜合題（針對20、22、23題） （原卷版）

專題14四邊形綜合題（針對20、22、23題）一．解答題（共4小題）1．（2022?安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD，連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．（1）如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形BCDE是菱形；（2）如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大?。唬áⅲ┤鬉F＝AE，求證：BE＝CF．2．（2021?安徽）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如圖2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．3．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．4．（2019?安徽）如圖，點E在?ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求證：△BCE≌△ADF；（2）設?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值．一．解答題（共60小題）1．（2023?鳳陽縣二模）如圖，點A是菱形BDEF對角線的交點，BC∥FD，CD∥BE，連接AC，交BD于O．（1）求證：AC＝BD；（2）若BE＝10，DF＝24，求AC的長．2．（2023?烈山區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，∠AND＝90°，連接CM交DN于點O．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）求證：四邊形CDMN為菱形；（3）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的長．3．（2023?長豐縣模擬）已知E是四邊形ABCD的邊CD上一點，AE的垂直平分線分別交AD，BC于點M，N，交對角線BD于點F，AE與MN交于點O，連接EM，EF．（1）如圖1，若AE平分∠DAF，求證：四邊形AFEM是菱形．（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，且AD＝10，AB＝6，若EF∥AD，求EM的長．4．（2023?舒城縣模擬）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上一點，連接CE并延長交AD于點F，過點E作EG⊥CE交AB于點G，連接CG交BD于點H，連接GF．?（1）求證：CE＝EG；（2）求證：；（3）若AF＝2DF，求的值．5．（2023?泗縣校級模擬）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，E為直線BC上一點，連接AE，將AE繞點A逆時針旋轉120°得到AF，連接BF交對角線AC于點G，H為邊AB的中點，連接GH．（1）如圖1，當點E與點B重合時，請直接寫出GH與AF的關系；（2）如圖2，當點E在邊BC上時，其他條件不變，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）當BE＝2時，請直接寫出GH的長．6．（2023?雨山區(qū)校級模擬）已知在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，D是邊AB的中點，E是邊BC所在直線上任意一點，連接DE，以DE為邊在DE的左側作正方形DEFG，連接CD，CF．（1）當點E運動到如圖1所示的位置且時，線段CD，CF與CE之間的數(shù)量關系為；（2）如圖2，當點E在線段CB的延長線上時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結論，并證明．（3）當∠EDC＝15°時，請直接寫出CG的長．7．（2023?合肥三模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E為斜邊AB的中點，將線段AC平移至ED交BC于點M，連接CD、CE、BD．（1）求證：CD＝BE；（2）求證：四邊形BECD為菱形；（3）連接AD，交CE于點N，若AC＝10，，求MN的長．8．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，△ECF是等邊三角形．（1）如圖1，對角線AC交EF于點M，求證：∠BCE＝∠FCM；（2）如圖2，點N在AC上，且AN＝BE，若BC＝3，BE＝1，求MN的值．9．（2023?蕪湖模擬）如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，過點E作EG⊥AD于G，交BD于F，連接DE．過點D作DM⊥BD，交BC的延長線于點M．（1）若∠A＝4∠DEG，求證：∠M＝2∠DEG；（2）在（1）的條件下，若AB＝5，BE＝4，求EF的長．10．（2023?定遠縣二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點E在AD邊上，連接BE、BD，若EB＝BC，BD平分∠EBC．（1）如圖1，求證：四邊形EBCD是菱形；（2）如圖2，連接CE交BD于點O，連接AO，若EC＝BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中長度等于的線段．11．（2023?蚌埠三模）如圖，矩形ABCD是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路MN（寬度不計）經(jīng)過該矩形區(qū)域，其中M，N都在矩形ABCD的邊界上．已知AB＝8，BC＝6（單位：百米），小路MN將矩形ABCD分成面積為S1，S2（單位：平方百米）的兩部分，其中S1≤S2，且點A在面積為S1的區(qū)域內(nèi)，記小路MN的長為l百米．（1）如圖1，已知l＝3，設AN＝x百米．①若x＝1，求S1的大??；②求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，點M在CD邊上，點N在AB邊上，求l的取值范圍．12．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD、AC于點E、F，交AD的延長線于點G，點M為EG的中點，連接AM，DM，CM．（1）求證：△ADM≌△CEM；（2）若，AD＝2．①求MF的值；②請直接寫出tan∠AMF的值為．13．（2023?安徽模擬）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°．（1）若EA是∠BEF的角平分線，求證：FA是∠DFE的角平分線；（2）若BE＝DF，求證：EF＝BE+DF．14．（2023?碭山縣一模）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，將線段BC繞點B逆時針旋轉得線段BF，∠FBC的平分線與邊CD的交點為E．（1）如圖1，若點F在AD的延長線上，求證：∠A＝∠BFE；（2）如圖2，若點F在對角線BD上，且，求的值；（3）如圖3，若BE＝BC，EF與AD交于點G，延長EF、BA交點為M，延長BE、AD交點為H，且＝，求的值．15．（2023?肥西縣二模）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．求證：AE＝FG；（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）拓展應用：在（2）的條件下，連接CP，當時k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．16．（2023?銅官區(qū)校級一模）已知四邊形ABCD，AB∥CD，AC，BD相交于點P，且∠APB＝90°，，設AB＝c，BC＝a，AD＝b．（1）①如圖1，當∠ABD＝45°時，c＝2時，a＝；b＝；②如圖2，當∠ABD＝30°時，c＝4時，a＝；b＝；（2）觀察（1）中的計算結果，利用圖3證明a2，b2，c2三者關系．（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD＝2，AB＝，求AF的長．17．（2023?定遠縣校級模擬）如圖所示，BA⊥x軸于點A，點B的坐標為（﹣1，2），將△OAB沿x軸負方向平移3個單位，平移后的圖形為△EDC．（1）直接寫出點C和點E的坐標；（2）在四邊形ABCD中，點P從點A出發(fā)，沿“AB→BC→CD”移動，移動到點D停止．若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，回答下列問題：①當t為何值時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；②用含t的式子表示點P在運動過程中的坐標（寫出過程）；③當5秒＜t＜7秒時，四邊形ABCP的面積為4，求點P的坐標．18．（2023?貴池區(qū)二模）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，若DE⊥CF，求證：CF＝DE．（2）如圖2，在矩形ABCD中，過點C作CE⊥BD交AD于點E，若tan∠DCE＝，求的值．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，且AB＝5，AD＝3，CF＝7．求DE的長．19．（2023?鳳臺縣校級二模）感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應用：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．（2）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點C到AB邊的距離．（3）如圖4，在?ABCD中，E為邊BC上的一點，F(xiàn)為邊AB上的一點．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．20．（2023?安徽模擬）如圖，AH是△ABC的高，CD是△ABC的中線，AH＝CD，DE∥AC，BE∥CD，直線AH交CD于點M，交CE于點N．（1）求證：四邊形BDCE是平行四邊形；（2）求∠BCD的度數(shù)；（3）當BC＝，CN＝4EN時，求線段MH的長．21．（2023?歙縣校級模擬）如圖①，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）連接MN，△BMN是等邊三角形嗎？為什么？（2）求證：△AMB≌△ENB；（3）①當M點在何處時，AM+CM的值最??；②如圖②，當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，請你畫出圖形，并說明理由．22．（2023?蕪湖三模）如圖1，正方形ABCD與正方形CEGF有公共頂點C，連接AC、AG、BE，其中0°＜∠BCE＜45°．（1）試判斷線段AG與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若B、E、F三點共線，如圖2，連接CG并延長交AD于點H．若AG＝6，GH＝2，求BC的長．?23．（2023?金安區(qū)校級三模）如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，∠EOB＜90°．將矩形ABCD沿EF折疊，點A的對應點為點H，點B的對應點為點G，GF交BD于點N，交AD于點P，連接GD．（1）求證：AE＝CF；（2）求證：GD∥EF；（3）如圖2，連接GO交AD于點M，連接MN．判斷GD，MN和EF的數(shù)量關系，并說明理由．24．（2023?金安區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上的一動點，作AF⊥DE交DE，DC分別于P，F(xiàn)兩點，連接PC．（1）若＝﹣1，求∠DEC的度數(shù)；（2）當E為BC的中點時．①求證：F為DC的中點；②若正方形的邊長為4，求PC的長．?25．（2023?杜集區(qū)校級模擬）如圖，∠CAB＝30°，D，E分別是射線AB，AC上的動點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉60°得到DF，連接AF．（1）如圖1，當∠ADE＝30°時，求證：DF＝AF；（2）如圖2，當∠ADE＜30°時，（1）中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出新的結論并證明；（3）若AD＝4，DE＝3，請直接寫出以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形的面積．26．（2023?安慶二模）正方形ABCD中，點P是對角線BD上一點，連接AP，過點P作AP的垂線分別交邊AB，CD于E，F(xiàn)，交CB的延長線于點G，作PH⊥BD交AB于點H．（1）求證：△APH≌△GPB；（2）連接HF，AG．①求證：四邊形ADFH是矩形；②如果點E是PG的中點，△AGE和△PDF的面積分別是S1，S2，求的值．27．（2023?利辛縣模擬）綜合與實踐問題解決：（1）已知四邊形ABCD是正方形，以B為頂點作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，連接AE．如圖1，當點E在BC上時，請判斷AE和CF的關系，并說明理由．問題探究：（2）如圖2，點H是AE延長線與直線CF的交點，連接BH，將△BEF繞點B旋轉，當點F在直線BC右側時，求證：；問題拓展：（3）將△BEF繞點B旋轉一周，當∠CFB＝45°時，若AB＝3，BE＝1，請直接寫出線段CH的長．28．（2023?五河縣校級模擬）已知在?ABCD中，對角線交于點O，將△OBA繞點O按順時針方向旋轉α角（90°＜α＜180°）得到△OEF，連接BE，AF，ED．（1）如圖1，當∠ABC＝90°且AB＝BC時，BE與AF的數(shù)量關系是．（2）如圖2，當∠ABC＝90°且AB≠BC時，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程，并直接寫出當AC＝8，AF＝6時，DE的長；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，當AC＝8，AF＝OB＝6時，DE的長為．29．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A，D重合），點A關于直線BE的對稱點為點F，連接CF，設∠ABE＝α．（1）求∠AFC的大小；（2）過點C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG．①求證：DG∥CF；②連接OD，若OD⊥DG，求sinα的值．30．（2023?碭山縣二模）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，M是AD上一動點，連接BM，CM，MB平分∠AMC．（1）求證：∠CMD＝2∠ABM．（2）如圖2，∠MBC＝90°．①若BC＝2AB＝6，求AM的長．②若∠ADC＝90°，求證：CM＝DM+2AM．31．（2023?廬江縣二模）如圖，點M，N分別在矩形ABCD的邊BC和AD（或延長線）上，連接MA，MN，若∠AMN＝∠AMB．（1）求證：△AMN是等腰三角形；（2）當M為BC中點時，MN交CD于點E，若AB＝3，BC＝2，求ME的長；（3）當M為BC上任意一點，探究MA，MB，MN間的數(shù)量關系，并證明．32．（2023?瑤海區(qū)二模）在正方形ABCD中，點E為邊AB上一點．連接CE，將△BCE沿CE折疊得到△FCE，CE，CF分別交BD于點G，H，連接AF．（1）如圖1，點E是AB的中點；（ⅰ）若∠DAF＝α，則∠AFE＝（用含α的式子表示）；（ⅱ）求證：AF∥CE；（2）如圖2，若∠DCF＝∠BCE，，求GH的長．33．（2023?廬陽區(qū)二模）正方形ABCD中，點E是AD延長線上一點，點F是∠CDE平分線上一點，連接BF，交CD于點G．（1）如圖1，若DF＝DG，求證：BF平分∠DBC；（2）如圖2，過點D作DP∥AF，并截取DP＝AF，連接PB，求證：PB＝PD；（3）在（2）的條件下，若∠P＝60°，，則DG的長為．34．（2023?東至縣一模）綜合與實踐在綜合實踐課上，同學們以“正方形的旋轉”為主題開展學習數(shù)學活動．操作判斷（1）操作一：將正方形ABCD與正方形AEFG的頂點A重合，點G在正方形ABCD的邊AD上，如圖1，連接CF，取CF的中點O，連接DO，OG．操作發(fā)現(xiàn)，DO與OG的位置關系是；DO與OG的數(shù)量關系是；（2）操作二：將正方形AEFG繞頂點A順時針旋轉，（1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；拓展應用（3）若AB＝4，AE＝2，當∠BAG＝150°時，請直接寫出DO的長．35．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連接AE．如圖1，當點D與M重合時，四邊形ABDE是平行四邊形．（1）如圖2，當點D不與M重合時，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．（2）如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度數(shù)；②當，DM＝4時，求DH的長．36．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點P是對角線BD上的一點，PQ∥BA交AD于點Q，PS∥BC交DC于點S，四邊形PQRS是平行四邊形．（1）當點P與點B重合時，圖1變?yōu)閳D2，若∠ABD＝90°，求證：BR＝RD；（2）對于圖1，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時，你能推出四邊形ABCD還應滿足什么條件？37．（2023?明光市二模）如圖1，AD是△ABC的角平分線，點O是BC的中點，過點O作AD的平行線交CA的延長線于點E，交AB于點F，在射線EF上取一點G，使BG＝BO．?（1）求證：BF＝CE；（2）如圖2，已知AB＝8，AC＝AD＝4．①求OD的長；②圖中存在四個點，以它們?yōu)轫旤c能構成一個平行四邊形，在圖中畫出這個平行四邊形，并證明它是平行四邊形．38．（2023?郊區(qū)校級模擬）已知在正方形ABCD中，P為對角線BD上任意一點，過點P作PE⊥AP交直線BC于點E，過點E作EF⊥BC交BD于點F．（1）如圖1，當P為BD的中點時，PD與PF的數(shù)量關系為；（2）如圖2，當P不是BD的中點時，PD與PF的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）正方形ABCD的邊長為6，，請直接寫出線段PD的值．39．（2023?合肥模擬）如圖，點E、F分別是矩形ABCD邊DC、DA上的點，連接BE、BF、EF，且△BCE≌△BFE，（1）如圖1，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當DE＝3，DF＝4時，求BC的值；（3）如圖3，∠ABF的角平分線BN交AD于N點，當NF＝AN+FD時，求AN：FD的值．40．（2023?六安三模）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，△AOE與△AOB關于OA成軸對稱圖形，連接DE，CE，且CE與AD交于點F．（1）求證：△CAB≌△CAE；（2）求證：DE∥AC；（3）若∠ABC＝45°，AB＝8，，求EF的長．41．（2023?安慶一模）如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，點D在邊AB上（不與點B重合），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE．（1）如圖2，當BD＝2時，①求正方形CDEF的邊長；②求證：BE＝BC；（2）當點D在AB上運動時，求△BDE面積的最大值．42．（2023?瑤海區(qū)模擬）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如圖1，點E為線段AB的中點，連接DE，CE，若AB＝4，求線段EC的長；（2）如圖2，M為線段AC上一點（M不與A，C重合），以AM為邊，構造如圖所示等邊三角形AMN，線段MN與AD交于點G，連接NC，DM，Q為線段NC的中點，連接DQ，MQ，求證：DM＝2DQ．43．（2023?金安區(qū)校級二模）如圖，P為正方形ABCD邊BC上任一點，BG⊥AP于點G，在AP的延長線上取點E，使AG＝GE，連接BE，CE．（1）如圖1，若正方形的邊長為6，PB＝2，求BG的長度．（2）如圖2，當P點為BC的中點時，求證：CE：BG＝：1；（3）如圖1，當BP：PC＝2：3時，求CE：BG的值．44．（2023?六安三模）如圖1，矩形ABCD的兩條對角線交于點O，點P是BC邊上一個動點，連接AP，作DE⊥AP，BF⊥AP，垂足分別是E，F(xiàn)，連接OE，OF．（1）求證：OE＝OF；（2）如圖2，延長OF交BP于點G，若∠BFG＝∠BAP，猜想OG與AD有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，已知AB＝8，AD＝10，求EF的值．?45．（2023?廬陽區(qū)校級三模）問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C），延長AE交CE′于點F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE′FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE′的數(shù)量關系并加以證明；解決問題：（3）在（2）的條件下，AF、BC交于點G，若AB＝10，則AG＝．?46．（2023?蒙城縣三模）在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝45°．EA交BD于M，AF交BD于N．（1）作△APB≌△AND（如圖①），求證：△APM≌△ANM；（2）求證：MN2＝BM2+DN2；（3）矩形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，∠MAN＝∠CMN＝45°，（如圖②），請你直接寫出線段MN，BM，DN之間的數(shù)量關系．47．（2023?霍邱縣二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，對角線BD平分∠ADC，點E、F是邊AD上的動點（點E在點F的左側）．?（1）若BE⊥BC，求證：△ABE≌△DBC；（2）若∠EBF＝45°，求證：AB2＝AF?DE；（3）在（1）、（2）的條件下，若AF＝6，DF＝4，求EF的值．48．（2023?肥東縣模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DA＝DB，F(xiàn)為AC中點，連接DF．（1）求證：∠ADF＝∠BDF；（2）如圖2，過點D作DH⊥AC，垂足為H，DH交AB于點E．①求證：ED＝EA；②若AB＝24，F(xiàn)H＝5，求BE的長．49．（2023?繁昌縣校級模擬）如圖1，F(xiàn)為正方形ABCD的邊BC上的一點，以CF為斜邊在BC的上方作等腰直角三角形CEF，連接BE，AF．G，H分別是AF，BE的中點，連接GH．（1）線段GH與BE的關系是；（2）如圖2，將圖1中的△CEF繞點C順時針旋轉，則（1）的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若AB＝8，CE＝2，將圖1中的△CEF繞點C順時針旋轉一周，當B，E，F(xiàn)三點共線時，請直接寫出線段FH的長．50．（2023?裕安區(qū)校級二模）如圖1，已知四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠ABC＝2∠ADC．（1）求證：AC⊥BD；（2）求證：AB+BO＝OD；（3）如圖2，若BE平分∠ABD交AD于點E，AB?BD＝6，DE＝2，求AE的長．51．（2023?泗縣二模）如圖，AC，BD是矩形ABCD的對角線，CE平分∠BCD交AD于點E，F(xiàn)為CE上一點，G為AD延長線上一點，連接DF，F(xiàn)G，DF的延長線交AC于點H，F(xiàn)G交CD于點M，且∠ACB＝∠CDH＝∠AGF．（1）求證：DH⊥AC；（2）若，求FD+FG的值；（3）若BC＝2AB＝2，求S△CFM．52．（2023?南陵縣校級一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點P在射線AC上，點E在射線BC上，且PB＝PE，連結PD，點O為線段AC中點．【感知】如圖①，當點P在線段AO上時，①易證：△ABP≌△ADP（不需要證明）．進而得到PE與PD的數(shù)量關系是．②過點P作PM⊥CD于點M，PN⊥BC于點N，易證：Rt△PNE≌Rt△PMD（不需要證明）．進而得到PE與PD的位置關系是．【探究】如圖②，當點P在線段OC上（點P不與點O、C重合）時，試寫出PE與PD的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．【應用】如圖③，當點P在線段AC的延長線上時，直接寫出當AB＝3，CP＝時線段DE的長．53．（2023?定遠縣校級三模）（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），連接CE，AG交于點H，請直接寫出線段AG與CE的關系；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜360°），連接AG，CE交于點H，（1）中線段關系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜360°），直線AG，CE交于點H，當點E與點H重合時，請直接寫出線段AE的長．54．（2023?合肥二模）在正方形ABCD中，點E、F、G分別為AB、AD、BC邊上的一點，F(xiàn)G垂直平分DE，垂足為H．（1）如圖1，求證：DE＝FG；（2）如圖2，連接AC，交FG于點M，連接DM，EM．①求證：△DME是等腰直角