專題05 直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)（6個(gè)考點(diǎn)六大類型）（題型專練）（解析版）

專題05直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)（6個(gè)考點(diǎn)六大類型）【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判定】【題型2利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長(zhǎng)的運(yùn)算】【題型3切線的判定】【題型4切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】【題型5利用切線長(zhǎng)定理的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或周長(zhǎng)】【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判定】1.（2023?淮陰區(qū)一模）已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線l的距離可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【解答】解：∵直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)，∴直線l與⊙O相交，∵⊙O的半徑為5，∴點(diǎn)O到直線l的距離＜5，故選：A．2.（2023春?市南區(qū)校級(jí)月考）如果一個(gè)圓的直徑是8cm，圓心到一條直線的距離也是8cm，那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定【答案】A【解答】解：∵圓的直徑為8cm，∴圓的半徑為4cm，∵圓心到直線的距離8cm，∴圓的半徑＜圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故選：A．3.（2022秋?青山湖區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，3為半徑的圓（）A．與x軸相離，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相交 C．與x軸相切，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離【答案】A【解答】解：點(diǎn)（﹣3，4）到x軸為4，大于半徑3，點(diǎn)（﹣3，4）到y(tǒng)軸的距離為3，等于半徑3，故該圓與x軸相離，與y軸相切，故選：A．4．（2022秋?順平縣期末）如圖，若圓O的半徑為3，點(diǎn)O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【答案】A【解答】解：∵⊙O的半徑是3，圓心O到直線l的距離是3，3＝3，∴直線l與⊙O相切．故選：A．5．（2023春?青山區(qū)校級(jí)月考）已知⊙O的直徑為12，點(diǎn)O到直線l上一點(diǎn)的距離為，則直線l與⊙O的位置關(guān)系（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】D【解答】解：∵⊙O的直徑為12，∴⊙O的半徑為6，∵點(diǎn)O到直線l上一點(diǎn)的距離為，無法確定點(diǎn)O到直線l的距離，∴不能確定直線l與⊙O的位置關(guān)系，故選：D．6．（2022秋?宜興市期末）已知⊙O的半徑為6cm，點(diǎn)O到直線l的距離為7cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為7cm，6＜7，∴直線l與⊙O相離．故選：C．7．（2022秋?高邑縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點(diǎn)C為圓心，以2cm的長(zhǎng)為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相離【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于點(diǎn)D．∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝BC＝2cm，即CD等于圓的半徑．∵CD⊥AB，∴AB與⊙C相切．故答案為：B．8．（2023春?寧遠(yuǎn)縣期中）已知⊙O的半徑是10，圓心O到直線l的距離是13，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵⊙O的半徑為10，圓心O到直線l的距離是13，而10＜13，∴點(diǎn)O到直線l的距離大于半徑，∴直線l與⊙O相離．故選：A．9．（2022秋?萊州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，則以O(shè)為圓心，4cm為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，作OD⊥AB，垂足為D，∵∠OAB＝30°，OA＝10cm，∴OD＝5cm，∵d＝5cm＞r＝4cm，∴直線AB與圓O相離．故選：C．10．（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（﹣3，2）為圓心，3為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系為相切．【答案】相切．【解答】解：∵點(diǎn)（﹣3，2）到y(tǒng)軸的距離為3，且以點(diǎn)（﹣3，2）為圓心的圓的半徑為3，∴點(diǎn)（﹣3，2）到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，∴該圓與y軸的位置關(guān)系是相切，故答案為：相切．11．（2023?前郭縣二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是1＜d＜5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．故平移的距離d的取值范圍是1＜d＜5．故答案為：1＜d＜5．【題型2利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長(zhǎng)的運(yùn)算】12．（2023?松原四模）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO與⊙O相交于點(diǎn)C，若AB＝8，AC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r，由勾股定理得：r2+82＝（4+r）2，解得r＝6故選：C．13．（2023?重慶模擬）如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，連接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，則AC等于（）?A．3 B．2 C． D．【答案】A【解答】解：∵AB為⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵AC⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠OCB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝BC＝3．故選：A．14．（2023?北碚區(qū)自主招生）如圖，線段AC經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、B，CD是⊙O的切線，點(diǎn)D為切點(diǎn)．若∠ACD＝30°，CD＝2，則線段BC的長(zhǎng)度是（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解答】解：連接OD，∵CD切⊙O于D，∴半徑OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，CD＝2，∴tanC＝＝＝，∴OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．故選：B．15．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，連接AC，若BC＝1，，則AC的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【解答】解：∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABC＝90°，OB＝，AB是⊙O的直徑，∴AB＝，∵BC＝1，∴AC＝＝3．故選：A．16.（2023?平房區(qū)三模）如圖，PE、PG為⊙O的兩條切線，E、G為切點(diǎn)，點(diǎn)F為⊙O上一點(diǎn)．連接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，則∠P的度數(shù)為（）?A．52° B．56° C．66° D．76°【答案】D【解答】解：∵PE、PG為⊙O的兩條切線，∴OE⊥PE，OG⊥PG，∴∠OEP＝∠OGP＝90°，∵∠∠EFG＝52°，∴∠O＝2∠EFG＝104°，∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．故選：D．17.（2023?邵陽(yáng)模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為31°，過點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．?24° B．25° C．28° D．31°【答案】C【解答】解：∵PC為⊙O的切線，連接OC，∴∠PCO＝90°，∵OA＝OC，則∠ACO＝∠PAC＝31°，在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．故選：C．18.（2023?原平市模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠E＝40°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】B【解答】解：連接OC、DC，則OC＝OD，∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，∴∠ADC＝∠OCD＝×（180°﹣50°）＝65°，∴ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故選：B．19．（2023?寬城區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為點(diǎn)D．若∠CAD＝37°，則∠CAB的大小為（）A．37° B．53° C．63° D．74°【答案】A【解答】解：如圖，連接OC．由題意可知CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD＝37°．∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO＝37°．故選：A．20．（2023?通榆縣模擬）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，連接OC．若∠BCD＝48°則∠AOC的度數(shù)為（）?A．42° B．48° C．84° D．106°【答案】C【解答】解：在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝48°，∴∠OCB＝42°，∴∠AOC＝84°，故選：C．21．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，以AD為直徑的半圓O恰好切CB于點(diǎn)B．連接BD，若∠CBD＝21°，則∠C的度數(shù)為（）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：連接OB，∵CB與⊙O相切于B，∴半徑OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．故選：D．【題型3切線的判定】22.（2022秋?自貢期末）如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線DE⊥AD于點(diǎn)D，AC平分∠DAB．求證：CE是⊙O的切線．【答案】證明過程見解答．【解答】證明：連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∴∠OCE＝∠ADE＝90°，∴OC⊥DE，∵OC為圓的半徑，則CE是⊙O的切線．23.（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥CD，垂足為D，AC平分∠DAB．求證：DC為⊙O的切線．【答案】見解析．【解答】證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線．24.（2022秋?寬城區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD是⊙O的直徑，A是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，BC交⊙O于點(diǎn)F，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)．求證：AC是⊙O的切線．【答案】證明見解析．【解答】證明：連接OE，∵E是的中點(diǎn)，∴∠OBE＝∠CBE．∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∴∠OEB＝∠CBE．∴OE∥BC．∵BC⊥AC，∴∠C＝90°．∴∠AEO＝∠C＝90°，∴DE⊥AC．又∵OE為半圓O的半徑，∴AC是⊙O的切線．25．（2022秋?長(zhǎng)樂區(qū)期中）如圖，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半徑為3．求證：AB是⊙O的切線．【答案】證明見解析．【解答】證明：如圖，過O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，∵⊙O的半徑為3，∴OC為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．26．（2022秋?云龍區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD＝60°，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠APD＝30°．求證：DP是⊙O的切線．【答案】見解析．【解答】證明：∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵∠APD＝30°，∴∠ODP＝90°，即PD⊥OD，∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線．27．（2022秋?平潭縣校級(jí)期中）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，OD的長(zhǎng)為半徑作⊙O．求證：AC是⊙O的切線．【答案】見解析．【解答】證明：連接OA，作OF⊥AC于F，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切線．【題型4切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】28.（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為4，求EF的長(zhǎng)度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠EDC＝30°．∴∠ODE＝90°．∴DE⊥OD于點(diǎn)D．∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接AD，BF，∵AB為⊙O直徑，∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等邊三角形，∴，．∵∠EDC＝30°，∴．∴FE＝FC﹣EC＝1．29.（2023?龍游縣校級(jí)一模）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切線；（2）解：連接AP，如圖，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．30.（2023?封開縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）當(dāng)AB＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切線；（2）連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD＝BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根據(jù)勾股定理得：，又S△ACD＝AC?ED＝AD?CD，即×5×ED＝×4×3，∴．31．（2023?棗莊二模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解答過程；（2）15．【解答】解：（1）連接OE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）設(shè)⊙O的半徑為x，則有OE＝OB＝x，在Rt△OEF中，OE2+EF2＝OF2，∴x2+202＝（x+10）2，解得x＝15．∴⊙O的半徑為15．32．（2023?官渡區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點(diǎn)，且AD平分∠CAB，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解答；（2）4．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝6，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝2.5，∴DH＝6.5﹣2.5＝4，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝6，CE＝DH＝4．33．（2023?蘭州模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，與邊AC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解答過程；（2）⊙O的半徑是．【解答】（1）證明：連接OD，AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠ODF+∠AFD＝180°．∵∠AFD＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的半徑；（2）解：連接DE，∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝CD，∵DF⊥AC，∴EF＝CF＝1，∴AC＝AE+EF+CF＝5，∴AB＝5，∴⊙O的半徑是．34．（2023?開江縣二模）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D．過點(diǎn)A作⊙O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求線段CF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解答；（2）4．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切線．（2）解：由題意得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝8，∴OC＝4，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC?tan∠COB＝4．35．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑為2，⊙O交BC于點(diǎn)D，且D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若∠C＝30°，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∵OA＝OB，∴OD為△BCA的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD為BC的垂直平分線，∴AC＝AB，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直徑，半徑為2，∴AB＝4．在Rt△ADB中，AD＝AB＝2．∴BD＝，∴BC＝2BD＝4．36.（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點(diǎn)，AD平分∠CAB，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．【答案】（1）見解答；（2）2．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5﹣3＝2，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．【題型5利用切線長(zhǎng)定理的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或周長(zhǎng)】37．（2023?西城區(qū)校級(jí)三模）如圖，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O的半徑為3，則線段PO的長(zhǎng)度為（）A． B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：連接OP，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB＝∠APB，∴∠OAB＝90°，∵∠APB＝60°，⊙O的半徑為3，∴∠OPA＝×60°＝30°，OA＝3，∴OP＝2OA＝2×3＝6，故選：B．38．（2023?平房區(qū)三模）如圖，PE、PG為⊙O的兩條切線，E、G為切點(diǎn)，點(diǎn)F為⊙O上一點(diǎn)．連接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，則∠P的度數(shù)為（）?A．52° B．56° C．66° D．76°【答案】D【解答】解：∵PE、PG為⊙O的兩條切線，∴OE⊥PE，OG⊥PG，∴∠OEP＝∠OGP＝90°，∵∠∠EFG＝52°，∴∠O＝2∠EFG＝104°，∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．故選：D．39．（2023?大同模擬）如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在AB上，若四邊形ACBO為菱形，則∠APB為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：連接CO，∵四邊形ACBO為菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC與△OAC是等邊三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故選：C．40．（2023?陽(yáng)谷縣二模）已知PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為（）A．125° B．120°或60° C．125°或55° D．130°【答案】A【解答】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵AP、BP是⊙O的切線，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故選：A．41．（2023?蒙陰縣二模）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∠P＝80°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：連接OA、OB，AB所在的優(yōu)弧上找一點(diǎn)E，連接EA、EB，∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝100°，∴∠AEB＝50°，∵四邊形ACBE是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝130°，故選：D．42．（2023?新華區(qū)校級(jí)二模）抖空竹在我國(guó)有著悠久的歷史，是國(guó)家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則瞬間與空竹接觸的細(xì)繩的長(zhǎng)為（）A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm【答案】C【解答】解：連接OC，OD，∵AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∵∠P＝120°，∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°，∴的長(zhǎng)＝＝2π（cm），∴瞬間與空竹接觸的細(xì)繩的長(zhǎng)為2πcm，故選：C．43.（2022秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點(diǎn)，C是上任意一點(diǎn)，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．若△PDE的周長(zhǎng)為12，則PA的長(zhǎng)為（）A．12 B．6 C．8 D．4【答案】B【解答】解：∵PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點(diǎn)，∴PA＝PB，∵DE是⊙O的切線，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周長(zhǎng)為12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故選：B．44.（2022秋?東莞市校級(jí)期中）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為P、C、D，若AB＝4，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切線，∴AP＝AC＝3，∵AB＝4，∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，∵BP、BD是⊙O的切線，∴BD＝BP＝1，故選：D．45.（2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長(zhǎng)為16．故選：C．46．（滄州期末）如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．9 B．7 C．11 D．8【答案】C【解答】解：設(shè)AB，AC，BC，DE和圓的切點(diǎn)分別是P，N，M，Q，CM＝x，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．則有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周長(zhǎng)＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故選：C．47．（2022秋?仙居縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)D、E、F，則圓心O到頂點(diǎn)A的距離是（）A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設(shè)⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)D、E、F，，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四邊形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝，故選：C．48．（2022秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，若⊙O的半徑為2，AD?DB＝24，則AB的長(zhǎng)（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解答】解：如圖連接OE、OF．則由題意可知四邊形ECFO是正方形，邊長(zhǎng)為2．∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴可以假設(shè)AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，則AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，∵AC2+BC2＝AB2，∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，∴4a+4b+8＝2ab，∴4（a+b）＝48﹣8，∴a+b＝10，∴AB＝10．故選：B．49．（2022秋?平泉市校級(jí)期末）如圖所示，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點(diǎn)，C是上任意一點(diǎn)，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．（1）若△PDE的周長(zhǎng)為10，則PA的長(zhǎng)為5；（2）連接CA、CB，若∠P＝50°，則∠BCA的度數(shù)為115度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；∴PA＝PB＝5；（2）連接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一點(diǎn)F，連接AF、BF，∵PA、PB分別切⊙O于A、B；∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；∴∠AFB＝∠AOB＝65°，∵∠AFB+∠BCA＝180°∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；故答案是：5，115°．50．（2023?青海一模）如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長(zhǎng)為7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切線，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，