專題14 比例線段、黃金分割、平行線分線段成比例之六大考點(diǎn)(解析版)

專題14比例線段、黃金分割、平行線分線段成比例【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一成比例線段】 1【考點(diǎn)二比例的性質(zhì)】 2【考點(diǎn)三利用黃金分割求線段的長】 3【考點(diǎn)四與黃金分割有關(guān)的證明】 5【考點(diǎn)五由平行判斷成比例的線段】 9【考點(diǎn)六由平行截線求相關(guān)線段的?；虮戎怠?11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點(diǎn)一成比例線段】例題：（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A．∵，∴4，1，3，8不是成比例線段，不符合題意；B．∵，∴3，4，5，6不是成比例線段，不符合題意；C．∵，∴4，8，3，5不是成比例線段，不符合題意；D．∵，∴15，5，6，2是成比例線段，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了成比例線段，如果四條線段a、b、c、d滿足，則線段a、b、c、d成比例，熟練掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義，分別計(jì)算各選項(xiàng)中最小的數(shù)與最大的數(shù)的積是否等于另外兩個(gè)數(shù)的積可判斷四條線段成比例．【詳解】、，此選項(xiàng)不符合題意，排除；、，此選項(xiàng)不符合題意，排除；、，此選項(xiàng)符合題意；、，此選項(xiàng)不符合題意，排除；故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是如何判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．2．（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義計(jì)算即可．【詳解】解∶因?yàn)閍，b，c，d是成比例線段，可得：，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了成比例線段的定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例線段的定義．【考點(diǎn)二比例的性質(zhì)】例題：（2023春·江西九江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則．【答案】3【分析】設(shè)，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，設(shè)，∴；故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查分式求值．熟練掌握設(shè)參法，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧遼陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，進(jìn)而得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：設(shè)，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，且，若，則．【答案】5【分析】根據(jù)已知條件求出，根據(jù)得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，等式兩邊都除以2，得，故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）點(diǎn)P是長度為10的線段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)P是長度為10的線段上的黃金分割點(diǎn)，∴較長的線段的長度為，則較短的線段的長度為：；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線段原線段的，較長的線段原線段的是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在長度為1的線段上有一點(diǎn)P．滿足，則長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知是較長線段，代入數(shù)據(jù)即可得出的長，進(jìn)而求出的長度．【詳解】解：是線段上的一點(diǎn)，且滿足，為線段的黃金分割點(diǎn)，且是較長線段，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：如果一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)．2．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中黃金分割點(diǎn)定義，在圖（1）中令，設(shè)，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，可知，，，則，，，根據(jù)，代入求解即可得到，，．【詳解】解：如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，令，設(shè)，則，則由，代值得，解得，，，點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題查處黃金分割點(diǎn)定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長，讀懂題意，理解黃金分割點(diǎn)定義得到比例是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得，，又因?yàn)?，等量代換得出，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明D是的黃金分割點(diǎn)；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點(diǎn)；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長線上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？【答案】(1)的長為，的長為；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）要求AM的長，只需求得AF的長，又，，則；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的長為，的長為；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．∵，∴點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段的長，然后求得線段和之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長為．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設(shè)則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結(jié)論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進(jìn)而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設(shè)則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．【考點(diǎn)五由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；C．由，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】解：，，，，；∴選項(xiàng)A、C、D正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六由平行截線求相關(guān)線段的?；虮戎怠坷}：（2023春·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線，如果，，那么線段的長是．

【答案】6【分析】由平行線所截線段對應(yīng)成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．【答案】//【分析】設(shè)、交于點(diǎn)，結(jié)合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進(jìn)一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)、交于點(diǎn)，∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用平行線分線段定理是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各組種的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個(gè)數(shù)之積是否相等進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.，所以四條線段不成比例，故A選項(xiàng)不符合題意；B.，所以四條線段不成比例，故B選項(xiàng)不符合題意；C.，所以四條線段成比例，故C選項(xiàng)符合題意；D.，所以四條線段不成比例，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的概念，關(guān)鍵是理解比例線段的定義，兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．2．（2023春·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可設(shè)，則，代入所求的式子即可求解．【詳解】解：，設(shè)，則，則原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)，正確設(shè)出未知數(shù)是本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，若，則的值是(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接運(yùn)用平行線分線段成比例定理得出比例式求解即可．【詳解】解：∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，是葉脈的黃金分割點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割數(shù)的性質(zhì)（如果把一條線段分為兩部分，使其中較長一段與整個(gè)線段的比是黃金分割數(shù)，那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數(shù)）求解即可．【詳解】根據(jù)黃金分割數(shù)的性質(zhì)可知．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割數(shù)，牢記黃金分割數(shù)的性質(zhì)（如果把一條線段分為兩部分，使其中較長一段與整個(gè)線段的比是黃金分割數(shù)，那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數(shù)）是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是平行四邊形對角線上的點(diǎn)，若，，則的長為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可證，從而可求，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）已知：，則．【答案】7【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)交叉相乘得到即可求解．【詳解】解：∵，∴，則即，則．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考察了比例的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程細(xì)心即可．7．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）已知三條線段a、b、c，其中，c是a、b的比例中項(xiàng)，則cm．【答案】2【分析】由c是a、b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出線段c的長，注意線段不能為負(fù)．【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．所以，解得：（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．則cm．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段；理解比例中項(xiàng)的概念是關(guān)鍵，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．8．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，.若，，.則的值為．

【答案】【分析】由平行線分線段成比例可得，，，得出，，從而.【詳解】，

，，，，，，；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.9．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn),由平行線分線段成比例定理得，求得，再結(jié)合中點(diǎn)進(jìn)一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)；則；而，，；為邊的中點(diǎn)，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為8cm，則的長為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)（），線段的長為，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，，，求、的長．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，代入數(shù)值后解決問題．【詳解】解：，∴，，，∴，解得：，則．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，其中掌握平行線分線段成比例定理（三條平行線截兩條直線，所得對應(yīng)線段成比例）是關(guān)鍵．12．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：，且，，的值為2；（2）解：，，，，，的值為10．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·九年級(jí)單元測試）與在網(wǎng)格中的位置如圖所示，且每個(gè)小正方形的邊長都是．

(1)求，，的值(2)在，，，，，這六條線段中，指出其中三組成比例的線段．【答案】(1)，，(2)見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格和勾股定理求出、、、、、的長度即可解答；（2）根據(jù)兩條線段的比與另兩條線段的比相等找出成比例的線段．【詳解】（1）解：由圖可知：，，，，，，，，；（2），、、、是成比例的線段；，、、、是成比例的線段；，、、、是成比例的線段．【點(diǎn)睛】本題考查的是成比例線段、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)格點(diǎn)求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學(xué)習(xí)角平分線知識(shí)的過程中，做了進(jìn)一步探究：如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．

證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)，，求的值．(2)如圖3，當(dāng)，與的邊垂直時(shí)，求的值．

【答案】證明：見解析；結(jié)論應(yīng)用：(1)；(2)1或或【分析】延長至，使得，連接，證明，可得，而，則；（1）由，，可得，依題意：：，由結(jié)論可得，則（2）①，則，②，則，點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，③，，分別根據(jù)結(jié)論列出比例式，進(jìn)而即可求解．【詳解】延長至，使得，連接，

，，又平分，．，，，，