基本面量化系列：中國(guó)VIX指數(shù)估計(jì)方法及擇時(shí)策略

目錄一）言 3、VIX數(shù)紹 3、文路 3二）國(guó)VIX指編法 4、VIX數(shù)式導(dǎo) 4、VIX數(shù)制法 7、交加權(quán)VIX指編制法 8、義VIX數(shù)制法 9三）VIX數(shù)質(zhì)析 10、VIX數(shù)廣義VIX10、制案驗(yàn) 11、VIX數(shù)整性 13、VIX數(shù)與ETF率的關(guān)性 15四）VIX數(shù)期隱動(dòng)率 16、含動(dòng)計(jì)算 16、VIX數(shù)隱波率的關(guān)和異分析 19五）于VIX指的ETF擇時(shí)略 20、證50ETF略測(cè) 21、深300ETF策測(cè) 22六）結(jié) 25七）型險(xiǎn)析 25圖表目錄圖表1：文要究路 450VIXiVIX左）&50VIXiVIX對(duì)比（） 圖表3：上證50義VIX指數(shù)中波對(duì)圖左）&上證50廣義VIX指數(shù)上證50VIX估計(jì)之差右） 12圖表4：深300VIX估（左）&深300交加權(quán)VIX數(shù)右） 12圖表5：深300義VIX（左）&深300義VIX與VIX計(jì)差） 12圖表6：證500VIX估（左）&證500交加權(quán)VIX數(shù)右） 13圖表7：證500義VIX（左）&證500義VIX與VIX計(jì)差） 13圖表8：VIX指與義VIX數(shù)協(xié)檢結(jié)果 14圖表9：證50三種VIX數(shù)上證50ETF（上）滬深300ETF（中證500ETF（下未收益率的關(guān)檢結(jié)果 15圖表證50種VIX數(shù)證上滬深中中證500ETF（下未收益率的整檢結(jié)果 1650ETF左中右）.................................................................................................................................................................1750ETFKS左中右）.................................................................................................................................................................181350ETF左）&300ETF（中）&500ETF（右）.................................................................................................................................................................14：VIX指數(shù)與隱含波動(dòng)率研究思路................................................................................................1915：VIXIV對(duì)比–50(左)300(中)500(右201650VIX50ETF（左）&50VIX50ETF（右）.................................................................................................................................................................21圖表17：上證50ETF業(yè)績(jī)統(tǒng)計(jì)標(biāo) 2118：thres150VIX50ETF（左）&50VIX50ETF（右） 2119：thres250VIX50ETF（左）&50VIX50ETF（右） 2250VIX50VIX50ETF（右） 22300VIX左300VIX右）.................................................................................................................................................................232250VIX300ETF（左）&50VIX300ETF（右）.................................................................................................................................................................23圖表23：滬深300ETF擇時(shí)業(yè)統(tǒng)指標(biāo) 2450VIX50VIX300ETF（右） 2450VIX50VIX300ETF（右） 2450VIX左50VIX300ETF（右） 25一）前言CBOE30VIXVIX這一指標(biāo)凸顯了期權(quán)市場(chǎng)的出現(xiàn)如何顛覆了傳統(tǒng)的投資認(rèn)知，使投資者不再僅僅限于對(duì)市場(chǎng)漲跌進(jìn)行判斷，而能夠通過(guò)期權(quán)合約的買入或賣出來(lái)實(shí)現(xiàn)潛在VIX的研究，這一研究可用于辨識(shí)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，或者指導(dǎo)期權(quán)合約或現(xiàn)貨資產(chǎn)的投資決策。、VIX指數(shù)介紹（CBOE）（VIX）301993100指數(shù)等價(jià)期權(quán)價(jià)格的隱含波對(duì)波動(dòng)率的估算方法2003VIX（標(biāo)500指數(shù)DemeterfiDermanKamal年Britten-Jones年）JiangCBOE50ETF50ETFiVIX指數(shù)。VIX指數(shù)是對(duì)未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)期，通常也被稱為恐慌指數(shù)。、本文思路VIXVIXVIXVIXVIXVIX50ETFVIXVIX指數(shù)的編制方案；VIXVIXVIX指數(shù)；VIX指數(shù)的相關(guān)性質(zhì),VIX指數(shù)和期權(quán)隱含波動(dòng)率的差異性和相關(guān)性；VIX50ETF300ETF擇時(shí)策略。策略深度報(bào)告圖表1：本文主要研究思路資料來(lái)源：wind、二）中國(guó)VIX指數(shù)編制方法、VIX指數(shù)公式推導(dǎo)本文推導(dǎo)了期權(quán)價(jià)格與對(duì)數(shù)收益率的分布矩組合之間的一般關(guān)系。我們先用大寫的RT表示簡(jiǎn)單的持有期收益率，用小寫的????表示連續(xù)復(fù)合收益率（或?qū)?shù)收益率）。它們的寫法是：TR=ST?S0TS0

(1)??=[????(????)?????(??0)]=????(????) (2)??0其中，S0和ST分別為0和T時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格。考慮以ln(ST)的余數(shù)為中心對(duì)S0進(jìn)行泰勒展開，我們可以得到：ST?S0

∞

+ S0?1 +ln(ST)=ln(S0)+

+∫ 2(ST?K)S0KsS0K

dK+∫0

K2(K?ST)dK

(3)等價(jià)地，帶入方程（1）和（2），方程（3）可以重寫為：11∞ 11+ +?????????=[∫??0

??2(???????)

????+∫0

??2(???????)

????]≥0 (4)即，一份合約多頭頭寸的回報(bào)是持有期回報(bào)（????）的多頭頭寸和支付T時(shí)總回報(bào)對(duì)數(shù)（????）的空頭頭寸的策略深度報(bào)告KKT非負(fù)的期權(quán)報(bào)酬確保了????≥。考慮到在無(wú)套利條件下，可以從歐式期權(quán)的看跌-看漲平價(jià)中提取出資產(chǎn)的當(dāng)前公允價(jià)格，即：S0=CT(KA)?PT(KA)+KAe?rT其中，CT(KA)和PT(KA)TE(ST)=erT[CT(KA)?PT(KA)]+KA=S0erTE(R

)=E(ST)?S0=erT?1T S0這就意味著，(4)中預(yù)期收益差的公允價(jià)值也可以從風(fēng)險(xiǎn)中性的復(fù)制期權(quán)組合的遠(yuǎn)期價(jià)值中得出：??(????)???(????)=??

∞r(nóng)T{∫

1??(??)????+∫2??2

1??(??)????} (5)2??20為了將方程(5)與矩組合表達(dá)式連接起來(lái)，我們對(duì)????的指數(shù)函數(shù)應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù),如下所示:(1+??

)=

????

??1 ??????

????

?? (6)?? 0=??[????(0]=1+∑??![????(0]??=1

+??[????(??0)]然后，對(duì)等式(6)兩邊的期望值進(jìn)行一些重新排列，????和????之間的收益差的期望值等于以下兩個(gè)矩的線性組合：1 2 1 3 1 4

(7)??(????)???(????)=2??(????)+6??(????)+24??(????)+??[??(????)]（5）（7）結(jié)合起來(lái)時(shí)，OTM1可以證明這一點(diǎn)：定理1：假設(shè)????(K??)和????(K??)分別是行使價(jià)為K且到期日為T的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。在不對(duì)標(biāo)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程施加任何結(jié)構(gòu)的情況下，可以從OTM期權(quán)組合的市場(chǎng)價(jià)格中提取對(duì)數(shù)收益的事前時(shí)刻組合的公允價(jià)值，其權(quán)重與該期權(quán)組合中執(zhí)行價(jià)格的平方成反比：1 2 1 3 1 4

∞4 rT 1

??012??(????)+6??(????)+24??(????)+??[??(????)]=??

{∫??0

??2????(??)????+∫0

??2????(??)????} (8)1看跌/看漲期權(quán)組合策略深度報(bào)告的市場(chǎng)價(jià)格提取了事前矩（如方差、偏度、峰度等）線性組合的公允價(jià)值。其次，我們注意到VIX指數(shù)是基于未來(lái)方差的公允價(jià)值概念得出的，并使用標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格而不是當(dāng)前價(jià)格作為參考點(diǎn)來(lái)確定看漲和看跌期權(quán)的未來(lái)OTM期權(quán)報(bào)酬。此外，由于在實(shí)踐中幾乎可以肯定沒(méi)有任何期權(quán)合約的執(zhí)行價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)格完全相等，因此可以選擇低于遠(yuǎn)期價(jià)格的第一個(gè)執(zhí)行價(jià)格作為參考價(jià)格。在推論1中，我們將考慮遠(yuǎn)期價(jià)格來(lái)調(diào)整期權(quán)組合的公允價(jià)值。推論1：假設(shè)S0是根據(jù)ATMPutCall平價(jià)確定的相關(guān)資產(chǎn)的當(dāng)前公允價(jià)格，則T時(shí)間的遠(yuǎn)期價(jià)格F0等于S0erT，其中r是年化無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。此外，假設(shè)K0是低于遠(yuǎn)期價(jià)格的第一個(gè)執(zhí)行價(jià)格（K0≤F0）。定理1中期權(quán)組合的遠(yuǎn)期價(jià)值具有如下等式：??????

∞1[∫??2????(??)????+∫

1??(??)????]2??2??0

0????

??0

??0

∞1????1

??01

(9)=[(??

?1)?(??0?1)?????(??0)]+??

[∫

??2????(??)????+∫

??2????(??)????]0推論1的證明非常簡(jiǎn)單。利用關(guān)于點(diǎn)??0的ln(????)余數(shù)的泰勒展開，我們得到:0???????0

∞

+ ?1 +????(????)=????(??0)+

+∫??

??2(???????)

????+∫0

??2(???????)

????

(10)將（3）代入（10），利用風(fēng)險(xiǎn)中性期望值，E(RT)=erT?1，就得到了方程（9）?？傊ㄟ^(guò)對(duì)持有期收益率和對(duì)數(shù)收益率之間關(guān)系的數(shù)學(xué)應(yīng)用，我們說(shuō)明了在沒(méi)有任何擴(kuò)散假設(shè)和模型指定的情況下，與行使價(jià)平方值成反比加權(quán)的OTM期權(quán)組合可以提取事前收益矩線性組合的公允價(jià)值。由于波動(dòng)率指數(shù)是根據(jù)與(9)相同的期權(quán)組合的價(jià)格計(jì)算出來(lái)的，VIX的表述實(shí)際上是一個(gè)矩組合，而不是一般的波動(dòng)率度量。和伊藤定理（IL）：??????=??????+??????

(11)??12

(12)??[????(????)]=(???2??)????+????????其中，Zt是維納過(guò)程或布朗運(yùn)動(dòng)，μ是固定漂移，σ是恒定波動(dòng)率。GBM和IL假設(shè)資產(chǎn)收益是連續(xù)對(duì)T其方差可以表示為rT=∫Td[ln(St和∫Tσ2dt，根據(jù)方程(11)和(12)可以直接計(jì)算出瞬時(shí)波動(dòng)率（方差）如0 0下：1 ??2

2 ????????00??=??∫??00

????=??[∫

????

?????] (13)策略深度報(bào)告（13）(1)價(jià)值一元的相關(guān)資產(chǎn)1TdSt

股的連續(xù)再平衡多頭rT頭寸，(2)支付T時(shí)總回報(bào)對(duì)數(shù)的合約空頭頭寸。在風(fēng)險(xiǎn)中性下，E(∫0

St)=rT,E(RT)=e

?1，由此可以計(jì)算出期望波動(dòng)率：??(??)=??2

2=??

∞????[∫

1??(??)????+∫2??2

21??(??)????]?2??

????

?1)?????]} (14)0（14）的第三項(xiàng)用(???????1)?????表示，它捕捉了T期間連續(xù)復(fù)利收益和單一復(fù)利收益之間的差額。將推論1的結(jié)果應(yīng)用于方程(14)，我們就得到了VIX公式：2 2

??0

∞1????1

??010??????0

=??(??)=??{?????(??0?1)?????(??0)+??

[∫

??2????(??)????+∫

??2????(??)????]} (15)因此，與任何期權(quán)定價(jià)模型無(wú)關(guān)，隱含波動(dòng)率是通過(guò)一組價(jià)外期權(quán)價(jià)格、當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率明確計(jì)算出來(lái)的。此外，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的泰勒展開并忽略二階以上的項(xiàng)，(15)中積分前的項(xiàng)可以重述為：[?????

??0

??0

??0

12??0?1)?????(??0)]=[????(??0)?(??0?1)]≈?2(??0?1)因此，與上證所發(fā)布的波動(dòng)率編制書中所示相同，波動(dòng)率指數(shù)可以在離散框架下計(jì)算如下：

(16)^??????=

2????????

1??(??)???????2 ?? ??2 ??

1??

?1)2

(17)其中Q(i)是期權(quán)買賣差價(jià)的中點(diǎn)（如果i>Q，則為看漲期權(quán)；如果i<Q，則為看跌期權(quán)；如果i=Q，2則為看漲和看跌期權(quán)），ΔKi=i+1?Ki?1。遠(yuǎn)期價(jià)格是通過(guò)看跌-看漲平價(jià)從價(jià)內(nèi)期權(quán)計(jì)算得出的，因此F0KA+erT[CT(KAPT(KA)]（的兩個(gè)波動(dòng)2^VIXVIX（用????????表示），如下所示：^ √???(30) ^2 ??(30)?^2 ??(365)

(18)????????= [[??????X1)+[??(??2)??????X2)]](??(30))N(T1)N(T2)（N(30)N(365)30天和一年365天的時(shí)間間隔數(shù)。、VIX指數(shù)編制方法上證50ETF波動(dòng)率指數(shù)展期時(shí)間為7天。滿足剩余到期天數(shù)超過(guò)7天的最近到期合約為近月合約，次近到期合約為次近月合約，兩者隱含波動(dòng)率分別為近月與次近月波動(dòng)率。近月波動(dòng)率的計(jì)算公式如下，次近月算法與之一致:K2 2 RTΔKi 1F 2K=T∑ei

2P(Ki)?i

[TK0

?1]1σ2:近月波動(dòng)率的平方1NT:近月合約剩余到期時(shí)間（以分鐘/天計(jì))T：NTN365R:上交所采用的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率S:認(rèn)購(gòu)期權(quán)價(jià)格與認(rèn)沽期權(quán)價(jià)格相差最小的執(zhí)行價(jià)F:S+eRT×[認(rèn)購(gòu)期權(quán)價(jià)格(S)一認(rèn)沽期權(quán)價(jià)格(S)]K0:小于F且最接近于F的執(zhí)行價(jià)，若無(wú)則用最小執(zhí)行價(jià)填充Ki:由小到大的所有執(zhí)行價(jià)(i=1,2,3, )iΔK:第i個(gè)執(zhí)行價(jià)所對(duì)應(yīng)的執(zhí)行價(jià)間隔，一般為Ki+1?Ki?1i2P(Ki):若Ki小于K0為Ki對(duì)應(yīng)的認(rèn)沽期權(quán)價(jià)格;若Ki大于K0，為Ki對(duì)應(yīng)的認(rèn)購(gòu)期權(quán)價(jià)格;若Ki等于K0，為Ki對(duì)應(yīng)的認(rèn)沽期權(quán)價(jià)格與認(rèn)購(gòu)期權(quán)價(jià)格均值完成近月波動(dòng)率σ2與次近月波動(dòng)率σ2的計(jì)算之后，采用以下公式計(jì)算上證50ETF波動(dòng)率指數(shù):1 2^ √N(yùn)(T2)?N(30) ^2 N(30)?^2 N(365)VIXa= [[N(T2)??VIX1)+[N(T2)??VIX2)]](N(30))若近月與次近月相隔超過(guò)30天，則用近月波動(dòng)率填充次近月波動(dòng)率。、成交量加權(quán)VIX指數(shù)編制方法VIX有著更高的貢獻(xiàn)，因此對(duì)交易較為頻繁的期權(quán)賦予更高的權(quán)重，可以更好捕捉標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率，其近月VIX指數(shù)一致：σ2=2?N

∑V?eRTΔKi

1F?1]22 1 T?∑ii2

P(K)?[Ki TK0其中，Vi為期權(quán)i的成交量，N為帶入計(jì)算的期權(quán)總數(shù)。、廣義VIX指數(shù)編制方法VIX波動(dòng)率指數(shù)是根據(jù)（14）所示的無(wú)模型波動(dòng)率期望值推導(dǎo)出來(lái)的。推導(dǎo)VIX所需的關(guān)鍵假設(shè)是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程是連續(xù)的，并且遵循GBM和IL。當(dāng)股價(jià)過(guò)程中存在相對(duì)較小的跳躍時(shí)，這種無(wú)模型方法可以很好地近似資產(chǎn)價(jià)格對(duì)數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)中性預(yù)期四次方變化。但是，如果存在大幅跳躍的明顯風(fēng)險(xiǎn)，那么近似2VIX表達(dá)式實(shí)際上是其基礎(chǔ)投資組合對(duì)數(shù)收益的矩組合。定理2：設(shè)VT=E(r2)、WT=E(r3)和XT=E(r4)分別為資產(chǎn)的第二、第三和第四個(gè)事前收益率矩。在不對(duì)收益的隨T T T機(jī)過(guò)程進(jìn)行任何建模的情況下，VIX指數(shù)等于收益矩的線性組合，即：??????=1

√[??++????+

)]?2[(???????1)?????] (19)√??

?? 3 12 ????????[(???????1)?????]=0??→0公式(19)可以直接從定理1、推論1以及公式(14)和(15)中得出。定理2指出了VIX作為波動(dòng)率指數(shù)的無(wú)效性，除非收益率分布的高矩?cái)?shù)既不存在也不影響收益率的產(chǎn)生過(guò)程。因此，VIX與真實(shí)波動(dòng)率的任何近似誤差直觀上都是由于高收益矩的影響造成的?；谏鲜霭l(fā)現(xiàn)，本文在下面的定理中提出了對(duì)事前收益波動(dòng)率的直接估計(jì)。定理3：假設(shè)????(??)和????(??)分別是行使價(jià)為K、到期日為T的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。S0是根據(jù)ATM看跌期權(quán)平價(jià)確定的無(wú)套利條件下的當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)值，S0=CT(KA)?PT(KA)+KAe?rT，遠(yuǎn)期價(jià)格為F0=E(ST)=erT[CT(KA)?PT(KA)]+KA=S0erT，此外，讓??0成為低于遠(yuǎn)期價(jià)格y的第一個(gè)執(zhí)行價(jià)格。假設(shè)存在對(duì)數(shù)收益分布的有限第一矩和第二矩（分別用????和????表示）。在不對(duì)收益率的分布形式和/或隨機(jī)過(guò)程做任何說(shuō)明的情況下，廣義波動(dòng)率指數(shù)（GVIX）可以直接用對(duì)數(shù)收益率標(biāo)準(zhǔn)差的定義表示如下：其中：

????????=1√??

?(????

)2 (20)??0

??0

∞1????1

??010????=????(??0)+(??0?1)???0

[∫

??2????(??)????+∫

??2????(??)????] (21)?? ?? ??

∞[1?ln(??)]

??01+ln(??0)]????=ln2(0)+2ln(0)(0?1)+2??????[∫

????(??)????+∫

??????(??)????

(22)??0

??0

??0

??0

??2

0 ??2T對(duì)數(shù)收益率的事前平均值μT=E(rT)，可直接由(5)和(9)計(jì)算得出，而第二矩量VT=E(r2)，可根據(jù)泰勒展開求得。注意，對(duì)于任何連續(xù)二次微分函數(shù)，帶余數(shù)的泰勒展開式可表示為：f(ST)=f(a)+f′(a)(ST?a)+T∫∞f′′(K)(ST?K)+dK+∫af′′(K)(K?ST)+dK，其中f(a)和f′′(K)分別是在a和K處求得的與S有關(guān)的報(bào)酬的一a 0S階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。為了得出VT，定義f(ST)=ln2(ST)，并讓a=K0，那么：S0∞[1?ln(??)]

?? ??02??T

2??0

??0

???????0

+

0[1+ln(??)] +

(23)ln(??0)=ln(??0)+2ln(??0)(

)+2∫??

??2 (???????)

????+2∫0

??2 (???????)

??????(23)(22)3OTM期權(quán)組合中提取事前波動(dòng)率公允價(jià)值的通用機(jī)制。實(shí)際上，我們的廣義波動(dòng)率指數(shù)的計(jì)算與VIX的計(jì)算一樣簡(jiǎn)單(公(17))GVIX標(biāo)的資產(chǎn)的無(wú)套利遠(yuǎn)期F0=S0erT和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（r），使得:??^

??0?1)]???????∑1??(??)Δ??????=[ln(??0)+(??0

i

?? ??

(24)^ 2

??0

???? 1 S0????=[ln(??0)+2ln(??0)(??0?1)]+2??

∑??2[1+)]??(????)Δ????

(25)^ 1√^

i ??^2 (26)????????=√??

?????(????)此外，為了與CBOE的VIX估計(jì)一致，我們以30天為基礎(chǔ)調(diào)整GVIX指數(shù)。按照與VIX估計(jì)相同的插值程序(見公式(18))，我們首先確定近期和下期的期權(quán)合約，分別用??1和??2表示。然后，分別根據(jù)??1和GVIX30GVIX^ √??(??2)???(30)

?2 ??30)???1

?2 ??365)

(27)??????????=

[[??(??2)???(??1)](??1?????IX1)+[??(??2)???(??1)](??2?????IX2)]](??(30))三）VIX指數(shù)性質(zhì)分析、VIX指數(shù)與廣義VIX指數(shù)VIXVIX(11)(12)所示,基于布朗運(yùn)動(dòng)和伊藤引理的假設(shè)，2??T 2

12 2E(ln(??0))=????+[(???2??)??]

(28)12E(ln(??0))=(???2??)?? (29)1

1??????????2=??{E(ln2(??))?{E(ln(??))}}=??2=??∫??2????=E(V)=VIX2 (30)0 0 0因此，如果公式(11)(12)所示的分布條件滿足，廣義VIX指數(shù)與VIX指數(shù)恒等。、編制方案檢驗(yàn)VIX（Pearsoncorrelation（Pearson（Pearsonproduct-momentcorrelation是一種用于衡量?jī)蓚€(gè)連續(xù)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。它通常用來(lái)評(píng)估兩個(gè)變量之間的相關(guān)性，其值介于-11之間。皮爾遜相關(guān)系數(shù)公式如下：∑(X??X)(Y??Y)r= √∑(X??X)2(Y??Y)21或-10之間的線性相關(guān)性越弱。這使得皮爾遜相關(guān)系數(shù)成為一種常用的統(tǒng)計(jì)工具，用于探索變量之間的關(guān)系和依賴。KS（Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)是一種用于檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)樣本是否來(lái)自同一總體分布的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法,它的原理是通過(guò)比較兩個(gè)累積分布函數(shù)之間的最大差距來(lái)判斷兩個(gè)樣本是否來(lái)自相同的總體分布。KS（D）表示兩個(gè)分布函數(shù)之間的最大差距。KS檢驗(yàn)不對(duì)數(shù)據(jù)的分布做出特定的假設(shè)，因此是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，適用于不滿足正態(tài)分布等特定分布假設(shè)的數(shù)據(jù)。50ETFVIXKSpVIX50ETFVIX指數(shù)通過(guò)成交量加權(quán)賦予交易行為更活潑的期權(quán)更高權(quán)重，在波動(dòng)率上漲的趨勢(shì)中波峰相比中國(guó)波指更高，對(duì)于交易者的恐慌心理捕捉更為敏感。圖表2：上證50VIX估計(jì)與中國(guó)波指iVIX對(duì)比圖（左）&上證50成交量加權(quán)VIX與中國(guó)波指iVIX對(duì)比圖（右）資料來(lái)源：、VIX指數(shù)在計(jì)算時(shí)考慮到了投資者對(duì)于市場(chǎng)行情預(yù)期的偏度和峰VIXVIXVIX指數(shù)的一種修正。值得注意的是，2015VIXVIX指數(shù)出現(xiàn)了顯著偏離，VIXVIX2015年的股災(zāi)導(dǎo)致投資者對(duì)于市場(chǎng)的預(yù)期過(guò)度悲觀。圖表3：上證50廣義VIX指數(shù)與中國(guó)波指對(duì)比圖（左）&上證50廣義VIX指數(shù)與上證50VIX估計(jì)之差（右）資料來(lái)源：、基于滬深300ETF期權(quán)標(biāo)的的三種VIX指數(shù)走勢(shì)如下。圖表4：滬深300VIX估計(jì)（左）&滬深300成交量加權(quán)VIX指數(shù)（右）資料來(lái)源：、50ETF300VIXVIX300ETFVIXVIX5：滬深300廣義VIX（左）&滬深300廣義VIX與VIX估計(jì)之差（右）資料來(lái)源：、策略深度報(bào)告本文接著繪制基于中證500ETF期權(quán)標(biāo)的的三種VIX指數(shù)。圖表6：中證500VIX估計(jì)（左）&中證500成交量加權(quán)VIX指數(shù)（右）資料來(lái)源：、500ETFVIX50ETF300ETF圖表7：中證500廣義VIX（左）&中證500廣義VIX與VIX估計(jì)之差（右）資料來(lái)源：、500VIXVIXVIX指數(shù)，這可以歸因于成交VIXVIXVIX指數(shù)出現(xiàn)的偏離均為投資者低500ETF期權(quán)市場(chǎng)的積極情緒。、VIX指數(shù)協(xié)整性VIXVIX波動(dòng)，但它們?cè)陂L(zhǎng)期內(nèi)具有某種穩(wěn)定的關(guān)系，可以通過(guò)線性組合使它們之間的差異保持在一個(gè)有限范圍內(nèi)。協(xié)整性通常與協(xié)整關(guān)系、協(xié)整向量等相關(guān)概念一起使用，用于建立多個(gè)時(shí)間序列之間的均衡關(guān)系。協(xié)整性的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是，即使兩個(gè)或多個(gè)時(shí)間序列在短期內(nèi)可能出現(xiàn)不穩(wěn)定的波動(dòng)，它們?cè)陂L(zhǎng)期內(nèi)會(huì)趨于回歸到一個(gè)均衡狀態(tài)。這種均衡狀態(tài)可能反映了經(jīng)濟(jì)中的長(zhǎng)期關(guān)系或者市場(chǎng)中的均衡條件。協(xié)整性的存在使得研究人員能夠分析和建立多個(gè)相關(guān)時(shí)間序列之間的長(zhǎng)期關(guān)系，以便更好地理解它們的相互影響和預(yù)測(cè)未來(lái)走勢(shì)。協(xié)整性的檢驗(yàn)通常涉及使用統(tǒng)計(jì)方法，如協(xié)整檢驗(yàn)。其中，最常用的是Engle-Granger協(xié)整檢驗(yàn)和Johansen協(xié)整檢驗(yàn)。協(xié)整性的數(shù)學(xué)表示可以通過(guò)以下協(xié)整關(guān)系的一般公式來(lái)表示：Yt=α+βXt+εt在這個(gè)公式中,Yt表示第一個(gè)時(shí)間序列,Xt表示第二個(gè)時(shí)間序列,α和β是常數(shù)，分別表示截距和協(xié)整關(guān)系的系數(shù),εt和Xt的線性組合將是平穩(wěn)的，而不是隨時(shí)間變化而發(fā)散的。這就意味著兩個(gè)時(shí)間序列雖然可能在短期內(nèi)有波動(dòng)，但它們?cè)陂L(zhǎng)期內(nèi)會(huì)維持某種均衡狀態(tài)。協(xié)整性的概念在金融、經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，特別是在套利交易和風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域。PythonstatsmodelsCointVIX指數(shù)與其他指標(biāo)的協(xié)整性。Coint函數(shù)的輸出包括：協(xié)整性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：這個(gè)統(tǒng)計(jì)量用于衡量?jī)蓚€(gè)時(shí)間序列之間的協(xié)整關(guān)系的強(qiáng)度。p-值：表示統(tǒng)計(jì)量在零假設(shè)下的顯著性，即兩個(gè)時(shí)間序列之間沒(méi)有協(xié)整關(guān)系的概率。若p值小于通常的顯著性水平(例如0.05),表明存在協(xié)整關(guān)系。臨界值數(shù)組：這個(gè)數(shù)組包含了在不同顯著性水平下的統(tǒng)計(jì)量的臨界值，通常將統(tǒng)計(jì)量的值與這些臨界值進(jìn)行比較，以確定協(xié)整性的存在。如果統(tǒng)計(jì)量小于這些臨界值，那么可以拒絕零假設(shè)，表示存在協(xié)整關(guān)系。圖表8：VIX指數(shù)與廣義VIX指數(shù)的協(xié)整檢驗(yàn)結(jié)果資料來(lái)源：、VIXVIXVIXVIXVIXETFpVIXVIX(p0.01)。、VIX指數(shù)與ETF收益率的相關(guān)性VIXETFVIX避險(xiǎn)需求：VIX指數(shù)通常被稱為"恐慌指數(shù)"，它測(cè)量了市場(chǎng)投資者對(duì)未來(lái)市場(chǎng)波動(dòng)性的預(yù)期。當(dāng)市場(chǎng)不穩(wěn)定，投資者會(huì)更加謹(jǐn)慎，尋求避險(xiǎn)資產(chǎn)，例如債券和黃金，而減少對(duì)股票等風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求。這會(huì)導(dǎo)致股票市場(chǎng)下跌，從而降低ETF的收益率。VIXVIX值則反映市場(chǎng)ETFETF現(xiàn)產(chǎn)生負(fù)面影響。VIXETF的表現(xiàn)。反轉(zhuǎn)效應(yīng)：市場(chǎng)通常呈現(xiàn)出一種反轉(zhuǎn)效應(yīng)，即在市場(chǎng)底部或悲觀情緒達(dá)到高點(diǎn)時(shí)，股票市場(chǎng)有可能出現(xiàn)反彈。這是因?yàn)橐坏┦袌?chǎng)情緒極度悲觀，投資者可能會(huì)認(rèn)為市場(chǎng)已經(jīng)被充分反映，從而尋找投資機(jī)會(huì)。這可能導(dǎo)致VIX指數(shù)下降，同時(shí)ETF的收益率上升。圖表9：上證50三種VIX指數(shù)與上證50ETF（上）滬深300ETF（中）中證500ETF（下）未來(lái)收益率的相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果資料來(lái)源：、50ETFVIX50ETF300ETF500ETF135天、10天、15天、20天、25天、30天后的收益率進(jìn)行相關(guān)性分析和協(xié)整性分析。圖表10：上證50三種VIX指數(shù)與上證50ETF（上）滬深300ETF（中）中證500ETF（下）未來(lái)收益率的協(xié)整性檢驗(yàn)結(jié)果資料來(lái)源：、50ETFVIX50ETF300ETF收益率存在負(fù)相關(guān)和協(xié)整性(p值50ETFVIX500ETF的未來(lái)收益率存在協(xié)整性但沒(méi)有明顯的相關(guān)性。四）VIX指數(shù)與期權(quán)隱含波動(dòng)率、隱含波動(dòng)率計(jì)算隱含波動(dòng)率是金融領(lǐng)域中的一個(gè)重要概念，它在期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理中起著關(guān)鍵作用。隱含波動(dòng)率的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義在于它代表了市場(chǎng)參與者對(duì)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性的預(yù)期，而不是歷史波動(dòng)性。它反映了市場(chǎng)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格未來(lái)波動(dòng)性的看法，通常用于期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理中。隱含波動(dòng)率的高低可以表明市場(chǎng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)性的不同預(yù)期，這對(duì)投資者和交易者非常重要。隱含波動(dòng)率的公式通?；诓既R克-舒爾斯(Black-Scholes-Merton，BSM)期權(quán)定價(jià)模型，該模型描述了歐式BSM模型的期權(quán)定價(jià)公式如下(以看漲期權(quán)為例)：C=S0N(d1)?Ke?rTN(d2)S0 σ2ln()+(r+ )T= K 2 σ√Td2=d1?σ√T策略深度報(bào)告其中，C表示歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,S0是標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格，K是期權(quán)的行權(quán)價(jià)格，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T是期權(quán)的剩余時(shí)間，N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。隱含波動(dòng)率是上述公式中的一個(gè)參數(shù)，因?yàn)樵谡龖B(tài)分布的累積分布函數(shù)中，通常通過(guò)逆推的數(shù)值模擬方式從市場(chǎng)觀察到的期權(quán)價(jià)格中計(jì)算得出。這就引入了數(shù)值模擬方法，其中牛頓法是常用的一種。本文使用牛頓法對(duì)期權(quán)的隱含波動(dòng)率進(jìn)行數(shù)值模擬。當(dāng)使用牛頓法計(jì)算隱含波動(dòng)率時(shí)，需要迭代地更新隱含波動(dòng)率的估計(jì)值，以使計(jì)算得到的期權(quán)價(jià)格逼近市場(chǎng)觀察到的期權(quán)價(jià)格。牛頓法的公式和步驟如下:選擇一個(gè)初始的隱含波動(dòng)率估計(jì)值σ0(通常可以使用歷史波動(dòng)率或其他合理的估計(jì),本文初始值設(shè)為0.2)使用所選的估計(jì)值σ0C(σ0)C進(jìn)行比較計(jì)算期權(quán)價(jià)格誤差：f(σ0)=C(σ0C計(jì)算隱含波動(dòng)率估計(jì)值的導(dǎo)數(shù)，通常用于計(jì)算更新步驟：f′(σ0)使用牛頓法迭代公式來(lái)更新隱含波動(dòng)率的估計(jì)值：σ1=σ0

?f(σ0)f′(σ0)重復(fù)步驟2至步驟5，將新的隱含波動(dòng)率估計(jì)值σ1代入計(jì)算期權(quán)價(jià)格，直到收斂到一個(gè)滿足預(yù)定精度要求的隱含波動(dòng)率估計(jì)值。本文迭代次數(shù)設(shè)為100,誤差容忍閾值設(shè)置為1e-6。牛頓法的核心思想是通過(guò)不斷更新隱含波動(dòng)率的估計(jì)值，使得期權(quán)價(jià)格誤差逼近零，從而找到符合市場(chǎng)觀察到的期權(quán)價(jià)格的隱含波動(dòng)率。需要注意的是，牛頓法可能會(huì)收斂到不止一個(gè)根，因此在實(shí)際應(yīng)用中，需要謹(jǐn)慎選擇初始估計(jì)值以確保收斂到正確的根。此外，牛頓法要求計(jì)算隱含波動(dòng)率的一階導(dǎo)數(shù)（即價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的差分法來(lái)估計(jì)。圖表11：上證50ETF期權(quán)每日平均隱含波動(dòng)率走勢(shì)圖（左）&滬深300ETF（中）&中證500ETF（右）資料來(lái)源：wind、50ETF201529VIX指數(shù)對(duì)應(yīng)，滬深策略深度報(bào)告300ETF500ETF2023928IV(隱含波動(dòng)率)IV走勢(shì)。波動(dòng)率微笑指同一標(biāo)的及到期月的期權(quán)隱含波動(dòng)率與行權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系。所謂波動(dòng)率微笑是指虛值期權(quán)和實(shí)值期權(quán)的波動(dòng)率高于平值期權(quán)的波動(dòng)率，使得波動(dòng)率曲線呈現(xiàn)出中間低兩邊高的向上的半月形，形似一個(gè)微笑的嘴形，故稱為波動(dòng)率微笑。0.7到1.50.70.70.70.740.74這一組，以此類推。計(jì)算IVKS比值的走勢(shì)圖。圖表12：上證50ETF期權(quán)KS比值分組波動(dòng)率微笑（左）&滬深300ETF（中）&中證500ETF（右）資料來(lái)源：wind、50ETF300ETF500ETF期權(quán)上都出現(xiàn)了”波動(dòng)率微笑”500KS1.3圖表13：上證50ETF全體期權(quán)多項(xiàng)式擬合曲線（左）&滬深300ETF（中）&中證500ETF（右）資料來(lái)源：wind、策略深度報(bào)告50ETF300ETF500ETF”波動(dòng)率微笑”50ETF300500ETF、VIX指數(shù)和隱含波動(dòng)率的相關(guān)性和差異性分析圖表14：VIX指數(shù)與隱含波動(dòng)率研究思路資料來(lái)源：、50ETF300ETF500ETFVIX14所示。同為衡量波動(dòng)率的指標(biāo)，VIX指數(shù)和期權(quán)隱含波動(dòng)率之間存在差異性和相關(guān)性。差異性主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：30500指數(shù)的預(yù)期波動(dòng)性。VIX的計(jì)算方法基于期權(quán)市場(chǎng)上的買賣行為，反映了市場(chǎng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)性的期望。而隱含波動(dòng)（Black-Scholes模型）中的期權(quán)價(jià)格反推出的波動(dòng)率水平。它是一個(gè)具體期權(quán)合約的波動(dòng)率估計(jì)，表示市場(chǎng)對(duì)該特定標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)性的期望。計(jì)算方法差異：VIX指數(shù)的計(jì)算涉及多個(gè)期權(quán)合約，包括不同的到期日和執(zhí)行價(jià)格，以反映整個(gè)市場(chǎng)的波動(dòng)性預(yù)期，而隱含波動(dòng)率是通過(guò)解決期權(quán)定價(jià)模型中的方程，使用特定期權(quán)合約的市場(chǎng)價(jià)格來(lái)計(jì)算的，通常與特定的到期日和執(zhí)行價(jià)格有關(guān)。30蓋不同的時(shí)間跨度，具體取決于選擇的期權(quán)合約，它可以代表近期波動(dòng)性或遠(yuǎn)期波動(dòng)性。市場(chǎng)參與度差異：VIXETF波動(dòng)率通常與特定期權(quán)合約相關(guān)，因此它主要反映了與該期權(quán)相關(guān)的資產(chǎn)的波動(dòng)性預(yù)期。同為衡量資產(chǎn)波動(dòng)率和市場(chǎng)情緒的指標(biāo)，VIX指數(shù)和期權(quán)隱含波動(dòng)率也有相關(guān)性，具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：市場(chǎng)情緒反映：VIX指數(shù)是一個(gè)衡量市場(chǎng)情緒的指標(biāo)，通常與市場(chǎng)恐慌程度相關(guān)。當(dāng)投資者對(duì)未來(lái)的市場(chǎng)波動(dòng)性感到擔(dān)憂時(shí)，VIX上升，反映了市場(chǎng)的悲觀情緒。這種情緒通常與隱含波動(dòng)率上升相關(guān)，因?yàn)槠跈?quán)價(jià)格也受到投資者情緒的影響。相互反饋效應(yīng)：VIXVIX升高，因?yàn)槭袌?chǎng)情緒變得更加悲觀。ETFVIX和隱含波動(dòng)率之間的相關(guān)性增加。綜合而言，VIX指數(shù)和期權(quán)隱含波動(dòng)率都提供了有關(guān)市場(chǎng)波動(dòng)性和情緒的信息，但它們有不同的定義和應(yīng)用。投資者通常同時(shí)考慮這兩個(gè)指標(biāo)，以更全面地了解市場(chǎng)狀況。VIXETFVIXIV走勢(shì)對(duì)比圖并計(jì)算相關(guān)性系數(shù)。50300VIXIV500VIXIV走勢(shì)有一些偏離，500ETF50VIXIV的相關(guān)性系數(shù)為0.933300VIX指數(shù)與IV的相關(guān)性系數(shù)為0.873500VIX指數(shù)與IV的相關(guān)性系數(shù)為0.78。圖表15：VIX指數(shù)與IV對(duì)比–上證50(左)滬深300(中)中證500(右)資料來(lái)源：wind、五）基于VIX指數(shù)的ETF擇時(shí)策略根據(jù)上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)VIX快速下降時(shí)，市場(chǎng)樂(lè)觀情緒得以建立，ETF有較大概率迎來(lái)一波上漲走勢(shì)，當(dāng)VIX快速拉升時(shí)，ETF的價(jià)格容易出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，市場(chǎng)情緒非?？只?，此時(shí)是良好的出場(chǎng)時(shí)機(jī)。據(jù)此，本文設(shè)計(jì)了基于VIX指數(shù)的ETF擇時(shí)策略。50ETF策略回測(cè)我們?cè)谏献C50ETF上對(duì)上證50VIX擇時(shí)與上證50廣義VIX擇時(shí)策略進(jìn)行回測(cè)，凈值曲線如下：圖表16：凈值曲線-上證50VIX擇時(shí)上證50ETF（左）&上證50廣義VIX擇時(shí)上證50ETF（右）資料來(lái)源：、VIXVIX20212023年的單邊下跌階段保持空倉(cāng)。本文接著對(duì)策略業(yè)績(jī)指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。圖表17：上證50ETF業(yè)績(jī)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)資料來(lái)源：wind、VIXVIX9.49%的夏普比率，策略風(fēng)險(xiǎn)性較小。圖表18：thres1敏感性分析-上證50VIX擇時(shí)上證50ETF（左）&上證50廣義VIX擇時(shí)上證50ETF（右）資料來(lái)源：、對(duì)thres1,thres2這2個(gè)參數(shù)進(jìn)行敏感性測(cè)試和分析。thres1閾值設(shè)定為0.08到0.115，步長(zhǎng)為0.05，thres2閾值設(shè)定為0.735到0.77，步長(zhǎng)為0.005。圖表19：thres2敏感性分析-上證50VIX擇時(shí)上證50ETF（左）&上證50廣義VIX擇時(shí)上證50ETF（右）資料來(lái)源：、tres10.050.1tres2，0.0050.75附近策略表現(xiàn)也沒(méi)有出現(xiàn)明顯波動(dòng)，可以認(rèn)為參數(shù)設(shè)置沒(méi)有過(guò)擬合問(wèn)題。接下0tick5tick。圖表20：滑點(diǎn)分析，上證50VIX指數(shù)擇時(shí)上證50ETF（左）&上證50廣義VIX指數(shù)擇時(shí)上證50ETF（右）資料來(lái)源：wind、根據(jù)滑點(diǎn)分析結(jié)果，0-5tick的滑點(diǎn)對(duì)兩個(gè)策略的收益有小幅影響，綜合實(shí)際交易情況，本文設(shè)置交易磨損為雙邊2tick滑點(diǎn)。綜合各方面測(cè)試結(jié)果，最優(yōu)策略設(shè)置thres1=0.1，thres2=0.75，回測(cè)在2tick滑點(diǎn)下進(jìn)行。300ETF策略回測(cè)本文接著在滬深