四川省綿陽市高中2024屆高三突擊班第一次診斷性考試模擬測試數(shù)學試題理（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省綿陽市高中2024屆高三突擊班第一次診斷性考試模擬測試數(shù)學試題（理）一、選擇題1.已知集合，，且，則實數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，且，所以，.故選：D.2.已知，命題，命題表示焦點在x軸上的橢圓.則下列命題中為假命題的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于命題，由，，解得，則命題為真命題；對于命題，由方程表示焦點在x軸上的橢圓，則，解得，故命題為真命題；綜上，可知命題，，為真命題，命題為假命題.故選：B.3.展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C.4.涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為（）A.6 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示：設(shè)鴿子所在位置為點，因為它到拋物線焦點的距離為10米，所以，解得，則，所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為，故選：B5.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米．A. B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗由題知：當，時，，代入得：，當，時，，即，而，解得：或（舍）故選：D.6.若，則（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因為，可得，可得，解得，因為，所以，所以，所以.故選：C.7.若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（）A. B.存在實數(shù)，使得C.存在實數(shù)，使得 D.〖答案〗C〖解析〗，兩邊同平方得，，對A，時，為任一向量，故A錯誤，對B，若，時，此時不存在實數(shù)，使得，故B錯誤，對于C，因為，當與至少一個為零向量時，此時一定存在實數(shù),,使得，具體分析如下：當，時，此時為任意實數(shù)，，當，時，此時為任意實數(shù)，，當，時，為任意實數(shù)，當，時，因為，則有，根據(jù)，則，此時共線，且同向，則存在實數(shù)使得（），令，其中同號，即，即，則存在實數(shù),,使得，故C正確，對于D，當，時，，故D錯誤，故選：C.8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當時，，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，，當時，，故，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，顯然，綜上：只有D選項滿足要求.故選：D9.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，令恒成立，即在定義域單調(diào)遞增，且因此在區(qū)間上必然存在唯一使得，所以當時單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增，故A，B均錯誤；令，，當時，，∴在區(qū)間上為減函數(shù)，∵，∴，即，∴選項C正確，D不正確.故選:C.10.某停車場行兩排空車位，每排4個，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（）A.288種 B.336種 C.384種 D.672種〖答案〗D〖解析〗甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，種方案，丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨一排，種方案，所以共有種方案.故選：D.11.已知雙曲線C的右頂點為A，左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為M，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線的方程為，有，如圖即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有，而，則，又，于是，所以雙曲線的離心率.故選：C.12.函數(shù)滿足：①關(guān)于原點對稱：②，都有；③當時，；若，直線與無交點，則k的取值范圍是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由①可知，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，由②可知，函數(shù)關(guān)于點對稱，并且，則由①②可知，，函數(shù)是周期為4的函數(shù)，當，，，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由可知，，得，則，，所以周期為2的函數(shù)，根據(jù)以上函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，如圖，當直線與無交點，有兩個臨界值，一個是直線過點，即，得，另一個臨界點是直線與，相切，根據(jù)周期可知，當時，，設(shè)切點為，則，得，即，解得：，所以切線的斜率，且直線過點時，如圖，直線與無交點，則k的取值范圍是.故選：C.二、填空題13.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為______.〖答案〗3〖解析〗由題意：，，所以輸出值為；故〖答案〗為：3.14.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，又，，，.故〖答案〗為：.15.在中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則________．〖答案〗1〖解析〗∵，由正弦定理可得：，則，整理得①，又∵，則，即，將①式兩邊同除于，可得，即故〖答案〗為：1.16.已知函數(shù)，若從集合中隨機選取一個元素，則函數(shù)恰有7個零點的概率是________．〖答案〗〖解析〗由，得，當時，的最小值為．由，得，即，因為，所以．而，當時，方程的實數(shù)解的個數(shù)分別為3，3，2；當時，方程的實數(shù)解的個數(shù)分別為3，2，2；當時，方程，的實數(shù)解的個數(shù)均為2．所以當時，函數(shù)恰有7個零點，故所求概率為．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題（共60分）17.已知函數(shù)，其圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值.解：（1），因為相鄰對稱軸間距離為，所以函數(shù)的最小正周期，即，解得：，所以.由，可得，當時，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，又因為，所以，.18.高新體育中心體育館（圖1）是成都大運會乒乓球項目比賽場館，該體育館屋頂近似為正六邊形，屋底近似為正六邊形．（1）如圖2，已知該體育館屋頂上有三點用電纜圍成了三角形形狀，測得，米，求該電纜的長度；（2）如圖3，若在建造該體育館時在館底處的垂直方向上分別有號塔吊，若1號塔吊（點處）駕駛員觀察2號塔吊（點處）駕駛員的仰角為號塔吊駕駛員觀察3號塔吊（點處）駕駛員的仰角為，且1號塔吊高米，2號塔吊比1號塔吊高米，則3號塔吊高多少米?（塔吊高度以駕駛員所在高度為準）．解：（1）因為，，所以，.由正弦定理得，得米，，米，所以該電纜的長度為米.（2）在直角梯形中，過作，垂足為，則米，，米，所以米，所以米，所以正六邊形的邊長為米，在直角梯形中，過作，垂足為，則米，，所以米，所以3號塔吊高為米.19.已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上恰有兩個零點，求函數(shù)在上的最小值．解：（1）由題意得．當時，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當時，令,令或故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．當時，令，令或函數(shù)在(k，4)上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）當或時，函數(shù)在(0，3)上為單調(diào)函數(shù)，最多只有一個零點．當時，函數(shù)在(0，k)上單調(diào)遞增，在(k，3)上單調(diào)遞減．要使函數(shù)在(0，3)上有兩個零點，則需滿足：且解得．∴．又，∴當時，；當時，．又，∴20.某通訊商場推出一款新手機，分為甲、乙、丙、丁4種不同的配置型號．該店對近期售出的100部該款手機的情況進行了統(tǒng)計，繪制如下表格：配置甲乙丙丁頻數(shù)25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型號的手機可分別獲得利潤600元、400元、500元、450元．（1）根據(jù)以上100名消費者的購機情況，計算該商場銷售一部手機的平均利潤；（2）某位消費者隨機購買了2部不同配置型號的該款手機，且購買的該款手機的四種型號是等可能的，求商場通過這兩部手機獲得的利潤不低于1000元的概率．解：（1）依題意，，所以該商場銷售一部手機的平均利潤為475元.（2）消費者隨機購買了2部不同配置型號的該款手機，且購買的該款手機的四種型號是等可能的，所有不同結(jié)果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6個結(jié)果，從這兩部手機獲得的利潤不低于1000元的事件有：甲乙，甲丙，甲丁，共3個結(jié)果，所以商場通過這兩部手機獲得的利潤不低于1000元的概率.21.已知函數(shù)在處的切線與軸垂直．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）設(shè)，，當時，求證：函數(shù)在上的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方；（2），不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（1）證明：因為函數(shù)在處的切線與軸垂直，所以，因為，所以，解得．當時，，令，又令，則，再令，則，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，易知，所以，即；故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以，所以，故函數(shù)在上的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方．（2）解：因為，可得；又因為，不等式恒成立，所以，即．令，則，令，解得．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即．由（1）可知，．當時，，所以，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．（二）選考題（考生從22、23題中任選一題作答．如有多做，按所做的第一題計分）[選修4-4：極坐標與參數(shù)方程]22.如圖，在極坐標系中，已知點，曲線是以極點為圓心，以為半徑的半圓，曲線是過極點且與曲線相切于點的圓.（1）分別寫出曲線、的極坐標方程；（2）直線與曲線、分別相交于點、（異于極點），求面積的最大值.（1）解：由題意可知，曲線是以極點為圓心，以為半徑的半圓，結(jié)合圖形可知，曲線的極坐標方程為.設(shè)為曲線上的任意一點，可得．