mashhouras和granimmh在f閉包空間中的定義

mashhouras和granimmh在f閉包空間中的定義

1型--包域族1985年，美國哲學(xué)家mashhoua.s和ghanimm.h在文章中定義了f嵌入式空間。當(dāng)f嵌入式空間推廣到l時，這是一種完全分配布的情況，即lf嵌入式空間。在lf嵌入式空間中，好空間的分離性可以增強(qiáng)空間的分離性。此外，如何在嵌入式空間中定義空間的分離性，以便給定義的空間的邊界性也可以改善嗎？本文回答了這個問題。本文沿用文獻(xiàn)的術(shù)語和記號.例如,LX指全體LF集之集;β*(α)指α的標(biāo)準(zhǔn)極小集;M(LX)指LX中的所有分子之集;suppA指集A的承載集等.定義1設(shè)L是完全分配格,若映射～:LX→LX滿足(1)0～=0;(2)A≤A～(?A∈LX);(3)(A∨B)～=A～∨B～(?A、B∈LX),則稱～是LX上的一個∨cechc∨ech閉包算子且稱(LX,～)為一個LF閉包空間.定義2設(shè)(LX,～)是LF閉包空間,xα∈M(LX),P～∈Λ.若xα?P～,則P～稱為xα的包域.分子xα的一切包域之集,記作C(xα).這里Λ={P～|P∈LX},其中～:LX→LX.定義3設(shè)(LX,～)是LF閉包空間,A∈LX,Φ?Λ,則(1)Φ稱為A的α-包域族,若對A中每個高為α的分子,?P～∈Φ使xα?P～,記作∧Φ?A(α);(2)Φ稱為A的α--包域族,若?r∈β*(α)使∧Φ?A(r),記作∧Φ??A(α);(3)A稱為緊集,若A中任一α-包域族Φ,Φ有有限子集Ψ使Ψ構(gòu)成A的α--包域族;(4)(LX,～)稱為緊空間,若最大LF集1是緊集時.定義4設(shè)A∈LX＼{0},若?ε>0使得A(x)>0當(dāng)且僅當(dāng)A(x)≥ε(?x∈X),則稱A為準(zhǔn)分明集.2itii定義5設(shè)(LX,～)是LF閉包空間,A∈LX,P～∈Λ.若?x∈X,當(dāng)A(x)>0時,A(x)?P～(x),則稱P～為A的包域,A的一切包域之集,記作C(A).定義6設(shè)(LX,～)是LF閉包空間,xλ和yμ是LX中任二承點(diǎn)不同的分子,則(1)(LX,～)稱為～Τ1～T1空間,若當(dāng)xλ?yμ時,?P～∈C(xλ)使得yμ≤P～;(2)(LX,～)稱為～Τ2～T2空間,若?P～∈C(xλ)和Q～∈C(yμ)使得P∨Q=1;(3)(LX,～)稱為正則空間,若對任一非零準(zhǔn)分明集A和xλ∈M(LX),當(dāng)x?suppA時,有P～∈C(xλ)和Q～∈C(A)使得P∨Q=1.稱～Τ1～T1的正則空間為～Τ3～T3空間;(4)(LX,～)稱為正規(guī)空間,若對任二非零準(zhǔn)分明集A與B,當(dāng)suppA∩suppB=?時,有P～∈C(A),Q～∈C(B)使得P∨Q=1.稱～Τ1～T1的正規(guī)空間為～Τ4～T4空間.下面定理說明上述定義的～Τi～Ti(i=1,2,3,4)空間的分離性是協(xié)調(diào)的.定理1～Τ4～T4?～Τ3～T3?～Τ2～T2?～Τ1～T1;反之不然.證明～Τ4～T4?～Τ3～T3?～Τ2～T2是顯然成立的.下面只須說明～Τ2～T2?～Τ1～T1成立.事實(shí)上,設(shè)(LX,～)是～Τ2～T2空間,xλ和yμ是LX中任二承點(diǎn)不同的分子.由～Τ2～T2空間的定義知,有P～∈C(xλ)和Q～∈C(yμ)使得P∨Q=1.現(xiàn)設(shè)xλ?yμ,這時由yμ≤P～∨Q～=1及yμ?Q～得yμ≤P～.i.e,(LX,～)是～Τ1～T1空間.易證下面引理引理1設(shè)(LX,～)是LF閉包空間,?i≤n,Pi∈LX,則(n∧i=1Ρi)～≤n∧i=1Ρi～.(∧i=1nPi)～≤∧i=1nPi～.定理2設(shè)(LX,～)是緊～Τ2～T2空間,則(LX,～)是～Τ3～T3空間.證明(LX,～)是～Τ1～T1空間是顯然成立的,下證(LX,～)是正則空間.設(shè)A是任一準(zhǔn)分明集,xλ∈M(LX)且x∈suppA,這時有α∈M(L)使得A(y)>0??A(y)≥α.?yα≤A,yα∈M(LX),由x≠y以及(LX,～)是～Τ2～T2空間知?Py～∈C(xλ)和Q～y∈C(yα)使得Py∨Qy=1.令Φ={Q～y|yα≤A},則∧Φ?A(α).又因?yàn)?LX,～)是緊空間,所以Φ有有限子族Ψ={Q～y1,Q～y2,…,Qyn～}使得∧Ψ??A(α),這時有r∈β*(α)使得對A中任一高度等于r的分子zr,都相應(yīng)地有i≤n使得zr?Q～yi自然有zr?n∧i=1Q～yi.令Q=n∧i=1Qyi,則由引理1知,Q～≤n∧i=1Q～yi,所以對A中任一分子zr有zr?Q～.因?yàn)锳(z)>0蘊(yùn)含A(z)≥α≥r,所以?z∈suppA恒有A(z)?Q～(z),這表明Q～∈C(A).再令Ρ=n∨i=1Ρi,則Ρ～=n∨i=1Ρi～.i.e?Ρ～∈C(xλ)且Ρ∨Q=(n∨i=1Ρyi)∨(n∧i=1Qyi)≥n∧i=1(Ρyi∨Qyi)=1.所以(LX,～)是～Τ3空間.定理3設(shè)(LX,～)是緊～Τ2空間,則(LX,～)是～Τ4空間.證明顯然(LX,～)是～Τ1空間,下面只須證明(LX,～)是正規(guī)空間.設(shè)A、B是(LX,～)中二準(zhǔn)分明集且(suppA)∩(suppB)=?,這時有λ,μ∈M(L)使得A(x)>0??A(x)≥λ;B(x)>0??B(x)≥μ.由定理2的證明知對B中任一高度等于μ的分子yμ,?Py～∈C(A)滿足條件?z∈suppA,λ?Py～(z)及Qy～∈C(yμ)使得Py∨Qy=1.這時Φ={Qy～|yμ≤B}