關(guān)于與方劑可交換矩陣可交換矩陣空間的討論

關(guān)于與方劑可交換矩陣可交換矩陣空間的討論

在線性代數(shù)和矩陣?yán)碚撝?，矩陣法通常不符合交換律，即ab=ba。若AB=BA,則稱A與B可交換;求與矩陣A可交換的B的矩陣相當(dāng)于求解矩陣方程AX=XA。文獻(xiàn)從方陣可同時(shí)對(duì)角化方面給出了方陣乘積可交換的若干充分必要條件,文獻(xiàn)討論了可交換愛爾米特矩陣乘積的特征值。本文證明了與某一方陣A乘積可交換的矩陣全體構(gòu)成線性空間,給出方陣A的可交換矩陣空間概念,討論了該矩陣空間的維數(shù)、基等概念,以及與方陣A的關(guān)系;進(jìn)而給出求與方陣A乘積可交換的全體矩陣的方法。由文獻(xiàn)可得AX=XA是一般Lyapunov矩陣方程AX+XB=C當(dāng)B=-A,C=0時(shí)的特殊情況。1sa與nain-in-at定義1若AB=BA,則稱A、B為可交換矩陣,或稱A與B可交換。定義2n×n階復(fù)矩陣的全體{(aij)|aij∈C}按照矩陣的加法與數(shù)乘,構(gòu)成一個(gè)復(fù)線性空間,稱為n×n階矩陣空間。記為Cn×n。定義3由所有與矩陣A可交換的矩陣構(gòu)成的集合,稱為矩陣A的可交換矩陣集合。記為SA?{B|AB=BA,A∈Cn×n}。定理1矩陣A的可交換矩陣集合SA是矩陣空間Cn×n的子空間。證明:SA為Cn×n的非空子集,且對(duì)矩陣的加法及數(shù)量乘法是封閉的,所以SA是Cn×n的子空間。定義4矩陣空間SA={B|AB=BA,A∈Cn×n},稱為A的可交換矩陣空間。推論1設(shè)A為n階方陣,則SA?Cn×n。當(dāng)A為零陣、單位陣、純量陣時(shí),有SA=Cn×n。定義5Ν(A)={?X∈Rn|A?X=?0}5N(A)={X?∈Rn|AX?=0?}稱為A的零空間(或核)。亦即齊次線性方程組A?X=?0的解(向量)空間。定理2設(shè)SA為A的可交換矩陣空間,則SA與N(A?In-In?AT)同構(gòu)。證明:?B∈SA,有AB=BA,即AB-BA=0,將等號(hào)兩端(按行)拉直,有(A?Ιn-Ιn?AΤ)?B=?0?因此求所有與A可交換的矩陣B相當(dāng)于求解齊次線性方程組(A?Ιn-Ιn?AΤ)?x=?0?所以SA與N(A?In-In?AT)同構(gòu)。定義6設(shè)SA為A在復(fù)數(shù)域C上的可交換矩陣空間。如果SA中的矩陣B1,B2,…,Bd滿足:(1)B1,B2,…,Bd線性無(wú)關(guān);(2)?B∈SA,B可由B1,B2,…,Bd線性表示。則稱B1,B2,…,Bd為SA的一個(gè)基,數(shù)d稱為SA的維數(shù),記為dimSA=d。定理3設(shè)n階方陣A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J=diag(J1,J2,…,Js),其中約當(dāng)塊互不相同,則dimSA=s∑i=1mi=n。證明:已知A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J,即存在可逆陣P,使A=PJP-1;由AX=XA,有PJP-1X=XPJP-1,即JP-1XP=P-1XPJ。記Y?P-1XP,得JY=YJ。已知J=diag(J1?J2???Js)?Ji=[λi10?000λi1?00??????000?λi1000?0λi]mi?i=1?2???S。易得(J?Ιn-Ιn?JΤ)?Y=?0??(1)的解?Y使得Y=[Y1Y2?Ys]??(2)是一個(gè)與J分法相同的分塊對(duì)角陣。其中Yi=[y(i)1y(i)2y(i)3?y(i)mi-1y(i)mi0y(i)1y(i)2?y(i)mi-2y(i)mi-1??????000?y(i)1y(i)2000?0y(i)1]mi?i=1?2???S;y(i)1,y(i)2,…,y(i)mi∈R。由(2)可得(1)的解空間的維數(shù)為d=s∑i=1mi=n,即dimSA=d=s∑i=1mi=n,證畢。推論2若定理中λk=λl(k≠l),則dimSA=∑i≠k?lmi+m2k+m2l。推論3設(shè)A的相似對(duì)角形為∧=diag(λ1Im1,λ2Im2,…,λsIms),其中λi為A的mi重特征值,i=1,2,…,S;λ1,λ2,…,λs互不相同,s∑i=1mi=n,則dimSA=s∑i=1m2i。定理4若B1,B2,…,Bd為SA的一個(gè)基,則矩陣方程AX=XA的通解為X=k1B1+k2B2+…+kdBd,(k1,k2,…,kd∈R)。即SA={X|X=k1B1+k2B2+…+kdBd,k1,k2,…,kd∈R}推論4設(shè)SA為A在復(fù)數(shù)域C上的可交換矩陣空間,則rank(A?In-In?AT)=n2-d,其中d=dimSA。2計(jì)算約當(dāng)相關(guān)性公式方法一由定理4可知,只要求得SA的一個(gè)基,既可求得所有與A可交換的矩陣。求與矩陣A可交換的矩陣X,即解矩陣方程AX-XA=0,相當(dāng)于求解齊次線性方程組(A?Ιn-Ιn?A)?X=?0?其中?X為X的按行拉直,將n×n維向量?X還原為n階矩陣X,即得與A可交換的矩陣。例1設(shè)A=(1234),求矩陣B使AB=BA。解:A?Ιn-Ιn?AΤ=[0-320-2-302303-303-20]→[101-101-2/3000000000],得?X=k1[-3230]Τ+k2Τ?(k1?k2∈R)所以B=k1(-3230)+k2(1001)?(k1?k2∈R)方法二先化簡(jiǎn)后求解。(1)若n階方陣A不與對(duì)角陣相似,設(shè)J為A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,相似變換矩陣為P,解齊次線性方程組(J?Ιn-Ιn?JΤ)?Y=?0?則X=PYP-1。其中?Y為Y的按行拉直。(2)若n階方陣與對(duì)角陣∧相似,相似變換矩陣為P,解齊次線性方程組(∧?Ιn-Ιn?∧)?Y=?0?則X=PYP-1,其中?Y為Y的按行拉直。例2設(shè)A=[22-1-1-11-1-22],且AB=BA,求矩陣B。解:可得A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及相似變換矩陣分別為J=?Ρ=[111-100-101]?Ρ-1=[0-1012-10-11]由推論2可得dimSA=22+1=5,解齊次線性方程組(J?Ιn-Ιn?JΤ)?Y=?0(ki∈R,i=1,2,3,4,5)B=ΡYΡ-1=k1[12-1-1-21-1-21]+k2[0-1101-101-1]+k3[11-1010010]+k4[12-100012-1]+k5[0-110000-11](ki∈R,i=1,2,3,4,5)3碳高上分配空間本文論述了矩陣乘法雖然