有限群的結(jié)構(gòu)和交換子群的中心化子和正規(guī)化子

有限群的結(jié)構(gòu)和交換子群的中心化子和正規(guī)化子

交換組的中心化子和正規(guī)化子對(duì)有限組的結(jié)構(gòu)有非常重要的影響?，F(xiàn)在有很多研究。例如，zasenhaush證明，g的每個(gè)交換組a都具有g(shù)（a）=ng（a），g是交換的。陳崇穆在《理論》0.3中證明，當(dāng)每個(gè)交換組p-p的正規(guī)化子對(duì)應(yīng)于中心化子時(shí)，g是交換的。當(dāng)存在p-sylp（g）時(shí)，當(dāng)cg（p）=ng（p）時(shí)，g是零。miyamot模型證明，g的每個(gè)交換組a都具有ng（a）、cg（a）ut（a）的完整分類。李世榮在中提供了一組有限的a-c（a）或cg（a）ut（a）的完整分類。杜妮證明，如果每個(gè)極小組x的十個(gè)元素中有一個(gè)g（x）=ng（x），則g是2-封閉的。李世榮在中指定每個(gè)交換組a，包括：。本文給出了若干由交換子群的中心化子或正規(guī)化子滿足某些條件所確定的有限群的結(jié)構(gòu)描述.文中所使用的符號(hào)G=[N]H表示G是N與H的半直積,N?-G.其他符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,同.本文所討論的群都是有限群.2交換子群的關(guān)系定義2.1稱群G為A-群,若G可解且其每個(gè)Sylow子群均交換.定義2.2設(shè)G是有限群,H≤G,稱H為G的反正規(guī)子群,若?g∈G,有g(shù)∈〈H,Hg〉.引理2.1設(shè)有限群G的每個(gè)真子群均p-冪零,但G非p-冪零,則1)G的每個(gè)真子群冪零;2)|G|=paqb,其中p,q為互異素?cái)?shù),a,b均為正整數(shù);3)P?-G,其中P∈Sylp(G),且若p>2,exp(P)=p,若p=2,exp(P)≤4;4)Q循環(huán),其中Q∈Sylq(G).引理2.2設(shè)G為有限群,若對(duì)G的每個(gè)循環(huán)子群A恒有A?-G,則G為交換群或Hamilton群.證明若G非交換,設(shè)H為G的任一子群,由假設(shè)?x∈H,〈x〉?-G,從而H?-G,由H的任意性,G為Hamilton群.引理2.3設(shè)G為有限群,A為G的極大交換子群,則A=CG(A).證明若CG(A)>A,取x∈CG(A)A,令B=〈x,A〉,則B交換且B>A,矛盾于A的選取,故A=CG(A).引理2.4(,第4章,定理2.7)設(shè)G為冪零群,若H<G,則H<NG(H).引理2.5(,第2章,定理5.4)設(shè)G為有限群,P∈Sylp(G),若CG(P)=NG(P),則G為p-冪零.引理2.6設(shè)G為有限群,且對(duì)每個(gè)交換子群H均有CG(H)=NG(H)或H?-G,設(shè)A為F(G)的極大交換子群,則A?-G.證明反證.若A不正規(guī)于G,由假設(shè)CG(A)=NG(A),所以NF(G)(A)=CF(G)(A),又A為F(G)的極大交換子群,由引理2.3,CF(G)(A)=A,從而NF(G)(A)=A,由引理2.4,A=F(G),于是A?-G,矛盾.引理2.7設(shè)G冪零,且對(duì)每個(gè)交換子群A均有CG(A)=NG(A)或A?-G,則對(duì)G的每個(gè)非交換子群H,H?-G.證明若存在H的極大交換子群A不正規(guī)于G,由假設(shè)CG(A)=NG(A),從而NH(A)=CH(A)=A,由引理2.4,H=A交換,矛盾,故H的每個(gè)極大交換子群均正規(guī)于G,從而H?-G.引理2.8(,第2章,定理5.5)設(shè)p為|G|的最小素因子,P∈Sylp(G),若P循環(huán),則G有正規(guī)p-補(bǔ).引理2.9設(shè)G為有限群,H≤G,若H在G中反正規(guī),則NG(H)=H.證明若H在G中反正規(guī),則?g∈G,有g(shù)∈〈H,Hg〉,取g∈NG(H),即推出NG(H)=H.引理2.10設(shè)G為冪零群,若對(duì)每個(gè)非循環(huán)子群的極大交換子群H均有CG(H)=NG(H)或H?-G,則對(duì)G的每個(gè)非交換子群K,K?-G.證明設(shè)H為K的任一極大交換子群,若CG(H)=NG(H),則H=CK(H)=NK(H),由引理2.4,K=H交換,矛盾,故K的每個(gè)極大交換子群均正規(guī)于G,從而Κ?-G.引理2.11(,第5章,定理6.2)設(shè)有限群G的所有Sylow子群皆為循環(huán)群,若G交換,則G為循環(huán)群;若G非交換,則G為由下列定義關(guān)系確定的亞循環(huán)群:G=〈a,b〉,am=bn=1,b-1ab=ar,((r-1)n,m)=1,rn≡1(modm),|G|=nm.引理2.12(,第3章,定理6.7)設(shè)G是有限內(nèi)循環(huán)群,則G只有下列三種互不同構(gòu)的類型:1)G?Zp×Zp;2)G為8階四元數(shù)群;3)G=〈a,b〉,ap=1,bqm=1,b-1ab=ar,其中p,q為互異素?cái)?shù),m,r為正整數(shù),且r?1(modp),rq≡1(modp)引理2.13設(shè)G為有限群,若對(duì)G的每個(gè)非循環(huán)Sylow子群的極大交換子群P均有CG(P)=NG(P),則G有超可解型Sylow塔.證明令|G|=pα11pα22…pαss,p1<p2<…<ps,αi≥1,i=1,2,…,s.對(duì)s進(jìn)行歸納,s=1時(shí),顯然成立.故設(shè)s>1,p1為|G|的最小素因子,設(shè)P1∈Sylp1(G),若P1循環(huán),由引理2.8,G有正規(guī)p1-補(bǔ);若P1非循環(huán),設(shè)P11為P1的極大交換子群,由假設(shè)CG(P11)=NG(P11),所以P11=CP1(P11)=NP1(P11),由引理2.4,P1=P11,所以CG(P1)=NG(P1),由引理2.5,G為p1-冪零,由此,可假設(shè)G1為正規(guī)p1-補(bǔ).G1?-G,|G1|=pα22…pαss,由歸納假設(shè),G1有超可解型Sylow塔,令G1>G2>…>Gs=1為其Sylow塔群,Gi-1=Pi…Ps,|Gi-1/Gi|=pαii,且Gi-1?-G1,其中Pi∈Sylpi(G),i=2,…,s.又因?yàn)?|Gi-1|,|G1/Gi-1|)=1,所以Gi-1charG1,從而Gi-1?-G,i=2,…,s,故G有超可解型Sylow塔.引理2.14設(shè)G為內(nèi)超可解群,則1)G=PM,P∈Sylp(G),P?-G,M超可解,P/Φ(P)為G/Φ(G)的極小正規(guī)子群,且P非循環(huán).2)若p>2,exp(P)=p;若p=2,exp(P)≤4,此時(shí)G為內(nèi)冪零群.3)當(dāng)P為abel群時(shí),P為初等abel群.4)當(dāng)P為非abel群時(shí),Φ(P)=Z(P)=P′.5)存在x∈P\Φ(P),使得〈x〉不正規(guī)于G.3n、n/ai交換及非亞交換群定理3.1令G為有限群,若G的每個(gè)非正規(guī)交換子群A均滿足CG(A)=NG(A),那么G是導(dǎo)長(zhǎng)不超過3的可解群,G′冪零,且G=[N]H,其中H為交換Hall-子群,N為下列群之一:(a)交換群;(b)類2亞交換群;(c)類3亞交換群;(d)類3非亞交換群.證明1)設(shè)P∈Syl2(G).若P?-G,則G為2-閉,G/P可解,從而G可解.若P不正規(guī)于G,則必存在P的極大交換子群P1不正規(guī)于G,由假設(shè)CG(P1)=NG(P1),由引理2.3,P1=CP(P1)=NP(P1),由引理2.4,P=P1,所以CG(P)=NG(P),由引理2.5,G為2-冪零,設(shè)H為正規(guī)2-補(bǔ),H可解,又G/H?P,G/H可解,故G可解.下證G′冪零.由G可解,令G=[N]K,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Pi?-G〉,K=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正規(guī)于G〉.顯然N冪零,下證K交換.若Pj不正規(guī)于G,則存在Pj的極大交換子群Pj1不正規(guī)于G,由假設(shè)CG(Pj1)=NG(Pj1),所以Pj1=CPj(Pj1)=NPj(Pj1),由引理2.4,Pj=Pj1,故CG(Pj)=NG(Pj),從而CK(Pj)=NK(Pj),由引理2.5,K為pj-冪零,由pj的任意性,K為冪零,從而K交換.又G/N?K,所以G′≤N,故G′冪零.2)由G可解,令G=[N]H,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Pi?-G〉,H=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正規(guī)于G〉.N冪零,由1)知H交換.顯然N亦滿足定理?xiàng)l件,設(shè)A1,A2,…,An為N的所有極大交換子群.若N非交換,由引理2.6,Ai?-N,i=1,2,…,n.?1<K/Ai≤N/Ai,則K非交換,由引理2.7,K?-N.所以?K/Ai≤N/Ai,K/Ai?-N/Ai,故N/Ai為交換群或Hamilton群,i=1,2,…,n.(a)?Ai,N/Ai均交換.由于1<N/Z(N)=N/∩Ai,又N/∩Ai同構(gòu)于(N/A1)×(N/A2)×…×(N/An)的一個(gè)子群,所以N/Z(N)交換,此時(shí)N為類2亞交換群.(b)?Ai,N/Ai不全為交換.設(shè)N/Ai交換,N/Aj為Hamilton群,i≠j.由于N/Ai交換,所以N′≤Ai,故N為亞交換.又N/Aj為Hamilton群,類為2,所以N3Aj/Aj=[N/Aj,N/Aj,N/Aj]=1,其中N3=[N,N,N],故N3≤Aj.又N3≤N′≤Ai,由i和j的任意性,有N3≤∩Ai=Z(N).所以N4=[N3,N]=1.但N3≠1,若N3=1,則N′≤Z(N)=∩Ai,從而?Ai,N/Ai交換,矛盾.此時(shí)N為類3亞交換群.(c)?Ai,N/Ai均為Hamilton群.N/Ai類為2,故N3Ai/Ai=[N/Ai,N/Ai,N/Ai]=1,故N3≤Ai.所以1<N3≤∩Ai=Z(N).又N4=[N3,N],所以N4=1,N冪零類為3,但N非亞交換.否則,N′交換,存在Ai,使N′≤Ai,則N/Ai交換,矛盾.此時(shí)N為類3非亞交換群.3)由2)知,G=[N]H,其中H交換,N冪零,且N4=1,又G/N?H,所以G/N交換,G′≤N,G(2)≤N′=N2,從而G(3)≤N(2)=[N2,N2]≤N4.故G(3)=1.證畢.注11)交換群、Hamilton群、內(nèi)交換群、對(duì)稱群S3、交錯(cuò)群A4均滿足定理3.1條件,但An(n≥5)和Sn(n≥4)不滿足定理3.1條件.2)定理3.1中的群G不一定超可解,例如交錯(cuò)群A4滿足定理?xiàng)l件,但A4非超可解.定理3.2令G為有限群,若G的每個(gè)非正規(guī)循環(huán)子群A均反正規(guī),那么G是導(dǎo)長(zhǎng)不超過3的可解群,G′冪零,且G=[N]H,其中H為循環(huán)Hall-子群,N為循環(huán)群或交換群或Hamilton群.證明1)先證G可解.設(shè)P∈Syl2(G),若P?-G,則G為2-閉,G/P可解,從而G可解.若P不正規(guī)于G,則存在x∈P,使得〈x〉不正規(guī)于G,由假設(shè)〈x〉在G中反正規(guī),由引理2.9,〈x〉=NG(〈x〉),從而〈x〉=NP(〈x〉).由引理2.4,P=〈x〉.所以P=CG(P)=NG(P),由引理2.5,G為2-冪零,設(shè)H為正規(guī)2-補(bǔ),H可解,又G/H?P,故G可解.下證G′冪零,令G=[N]H,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Pi?-G〉,H=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正規(guī)于G〉.顯然N冪零.對(duì)于H,Pj不正規(guī)于G,則存在x∈Pj,使得〈x〉不正規(guī)于G,由假設(shè)〈x〉在G中反正規(guī),由引理2.9,〈x〉=NG(〈x〉),從而〈x〉=NPj(〈x〉),由引理2.4,Pj=〈x〉,所以NG(Pj)=CG(Pj),CH(Pj)=NH(Pj),由引理2.5,H為pj-冪零,由pj的任意性,H冪零,從而H循環(huán).又G/N?H,所以G′≤N,故G′冪零.2)由1)知G=[N],H,N冪零,H為循環(huán)Hall-子群.對(duì)于N,若N中存在循環(huán)子群〈x〉不正規(guī)于G,則〈x〉在G中反正規(guī),所以〈x〉=NG(〈x〉),從而〈x〉=NN(〈x〉),由引理2.4,N=〈x〉,此時(shí)G=[N],H為亞循環(huán)群.否則,N中的所有循環(huán)子群都正規(guī)于G,由引理2.2,N為交換群或Hamilton群.3)由2)知,G=[N],H,其中H循環(huán),N冪零,且N3=1,其中N3=[N,N,N],又G/N?H,所以G/N循環(huán),G′≤N,G(2)≤N′=N2,從而G(3)≤N(2)=[N2,N2]≤N4≤N3=1.故G(3)=1.證畢.注2由于Hamilton群的每個(gè)循環(huán)子群都是正規(guī)的,故Hamilton群滿足定理3.2條件.定理3.3令G為有限群,若G的每個(gè)非循環(huán)子群的極大交換子群K均滿足CG(K)=NG(K)或K?-G,那么G可解;且G=[N],H,其中H為A-群且有超可解型Sylow塔,N為下列群之一:(a)循環(huán)群;(b)交換群;(c)類2亞交換群;(d)類3亞交換群;(e)類3非亞交換群.證明1)先證G可解,設(shè)P∈Syl2(G),若P循環(huán),由引理2.8,G為2-冪零,設(shè)K為正規(guī)2-補(bǔ),K可解,又G/K?P,故G可解.下設(shè)P不循環(huán),若P?-G,則G為2-閉,G/P可解,從而G可解.若P不正規(guī)于G,則必存在P的極大交換子群P1不正規(guī)于G,由假設(shè)CG(P1)=NG(P1),由引理2.3,P1=CP(P1)=NP(P1),由引理2.4,P=P1,所以CG(P)=NG(P),由引理2.5,G為2-冪零,故G可解.2)由G可解,令G=[N],H,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Pi?-G〉,H=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正規(guī)于G〉.顯然N冪零.對(duì)于H,?Pj∈Sylpj(H),若Pj非循環(huán),由于Pj不正規(guī)于G,則存在Pj的極大交換子群Pj1不正規(guī)于G,由假設(shè)CG(Pj1)=NG(Pj1),所以Pj1=CPj(Pj1)=NPj(Pj1),所以Pj=Pj1,Pj交換,由Pj的任意性知H為A-群,且由引理2.13知H有超可解型Sylow塔.對(duì)于N,N亦滿足定理?xiàng)l件.若N非循環(huán),如果存在N的極大交換子群K,使得CG(K)=NG(K),則K=CN(K)=NN(K),由引理2.4,N=K,N交換.故若N非交換,則對(duì)N的任一極大交換子群Ai,均有Ai?-G,i=1,2,…,n.?K/Ai≤N/Ai,若K/Ai>1,則K非交換,由引理2.10,K?-N,所以?K/Ai≤N/Ai,K/Ai?-N/Ai,從而N/Ai為交換群或Hamilton群,i=1,2,…,n.1)?Ai,N/Ai均交換.由于1<N/Z(N)=N/∩Ai,又N/∩Ai同構(gòu)于(N/A1)×(N/A2)×…×(N/An)的一個(gè)子群,所以N/Z(N)交換,此時(shí)N為類2亞交換群.2)?Ai,N/Ai不全為交換.設(shè)N/Ai交換,N/Aj為Hamilton群,i≠j.由于N/Ai交換,所以N′≤Ai,故N為亞交換.又N/Aj為Hamilton群,類為2,所以N3Aj/Aj=[N/Aj,N/Aj,N/Aj]=1,其中N3=[N,N,N],故N3≤Aj.又N3≤N′≤Ai,由i和j的任意性,有N3≤∩Ai=Z(N).所以N4=[N3,N]=1.但N3≠1,若N3=1,則N′≤Z(N)=∩Ai,從而?Ai,N/Ai交換,矛盾.此時(shí)N為類3亞交換群.3)?Ai,N/Ai均為Hamilton群.N/Ai類為2,故N3Ai/Ai=[N/Ai,N/Ai,N/Ai]=1,故N3≤Ai.所以1<N3≤∩Ai=Z(N).又N4=[N3,N],所以N4=1,N冪零類為3,但N非亞交換.否則,N′交換,存在Ai,使N′≤Ai,則N/Ai交換,矛盾.此時(shí)N為類3非亞交換群.證畢.注3定理3.3中的群G不一定超可解,例如交錯(cuò)群A4滿足定理?xiàng)l件,但A4非超可解.定理3.4令G為有限群,若G的每個(gè)非循環(huán)子群A均滿足A=NG(A),則G超可解;且G是p-冪零的,其中p為|G|的最小素因子;并且若G冪零,則G為循環(huán)群或p2階初等交換群或四元數(shù)群Q8;若G非冪零,則G為下列群之一:1)G=[H]K,H為循環(huán)Hall-子群,K為引理2.11定義的循環(huán)群或亞循環(huán)群;2)G=[H]K,H為循環(huán)Hall-子群,K=[L]P,L為引理2.11定義的循環(huán)群或亞循環(huán)群,P∈Sylp(G),P為p2階初等交換群;3)G=[H]K,H為循環(huán)Hall-子群,K=LQ8,K為L(zhǎng)與四元數(shù)群Q8之積,L為引理2.11定義的循環(huán)群或亞循環(huán)群,Q8∈Syl2(G).證明1.設(shè)G為極小階反例,顯然定理?xiàng)l件對(duì)子群遺傳,則G為內(nèi)超可解群,由引理2.14知存在P∈Sylp(G),使得P?-G,且P非循環(huán),由假設(shè)P=NG(P),又P?-G,于是P=NG(P)=G,G冪零,矛盾,因此極小階反例不存在,故G為超可解群.2.若G非p-冪零,則存在K≤G,使得K為內(nèi)p-冪零,由引理2.1,K=[P]Q,P∈Sylp(K),Q∈Sylq(K),Q循環(huán).若P循環(huán),由于p為|G|的最小素因子,p亦為|K|的最小素因子,由引理2.8,K為p-冪零,矛盾.若P非循環(huán),由假設(shè),P=NG(P),于是P=NK(P)=K,K冪零,矛盾.綜上,G為p-冪零.3.若G冪零,?A<G,若A非循環(huán),由假設(shè)A=NG(A),由引理2.4知矛盾,故A循環(huán),于是若G非循環(huán),則G為內(nèi)循環(huán)群,設(shè)G=P1×P2×…Pr,Pi∈Sylpi(G),若r>1,則每個(gè)Pi均循環(huán),從而G循環(huán),矛盾,故r=1,G為內(nèi)循環(huán)p-群.由引理2.12知,G為p2階初等交換群或四元數(shù)群Q8.4.若G非冪零,?P∈Sylp(G),由3知P為循環(huán)群或?yàn)閜2階初等交換群或四元數(shù)群Q8.1)?P∈Sylp(G),P<G,若P?-G,則P循環(huán),否則,由假設(shè)P=NG(P)=G,矛盾,故P循環(huán).2)若G有Sylow子群為內(nèi)循環(huán)群,不妨設(shè)為P,P∈Sylp(G),則?Q∈Sylq(G),q≠p,Q不為內(nèi)循環(huán)群.否則,設(shè)Q∈Sylq(G),q≠p,Q為內(nèi)循環(huán)群,令M=〈P,Q〉,M可解,則存在M的極大子群M1?-M,NM(M1)=M>M1,由假設(shè)知M1循環(huán),又|M/M1|=素?cái)?shù),不妨設(shè)|M/M1|=p,則Q≤M1,于是Q循環(huán),矛盾,故Q不為內(nèi)循環(huán)群.由G可解,令G=[H]K,K>1,H=〈Pi∈Sylpi(G)|Pi?-G〉,K=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正規(guī)于G〉.顯然H冪零,由1)知,?Pi≤H,Pi循環(huán),于是H循環(huán).對(duì)于K,若?Pj≤K,Pj均循環(huán),則K為引理2.11定義的循環(huán)群或亞循環(huán)群,否則,存在P≤K,P∈Sylp(G),P為內(nèi)循環(huán),且?Q≤K,Q∈Sylq(G),q≠p,Q循環(huán),若P為p2階初等交換群,由假設(shè)P=NG(P),于是P=CK(P)=NK(P),由引理2.5,K為p-冪零,設(shè)L為正規(guī)p-補(bǔ),K=[L]P,由2)知L的每個(gè)Sylow子群皆循環(huán),于是L為引理2.11定義的循環(huán)群或亞循環(huán)群,若P=Q8,則存在Hall-子群L≤K,使得K=LQ8.證畢.注4定理3.4中的群G不一定冪零,例如對(duì)稱群S3滿足定理?xiàng)l件,但S3非冪零.定理3.5設(shè)有限群G可解,若G的每個(gè)非交換子群A均滿足A=NG(A),那么G為亞交換群;且若G冪零,則G為交換群或內(nèi)交換p-