關于g的群類及群類問題

關于g的群類及群類問題

如果只有一個子群h是g，則稱為h。金石（x）h，即金石（x）=ch（x）。顯然，g是其自身的cc-子群。我們稱g是其自身的cc-子群。因此，在本規(guī)范中，對于具有未知cc-子群的有限組進行了研究。文獻研究了具有三個cc-子群亞組的有限組，并將其分類為cc-子群的有限組。文獻研究了具有cc-子群亞組的有限組。然而，很難對包含cc-子群的無限組進行完整分類。本文主要探討一類含有CC-子群的無限群.我們發(fā)現不存在無限的局部有限群,其含有CC-子群,但是它的每一個真子群都不含有真的CC-子群.因此讓我們感興趣的是:是否存在無限的局部有限群G,其含有CC-子群,但是每一個無限真子群都不含有真的CC-子群?我們發(fā)現這類群是存在的,而且其每一個無限真子群都是阿貝爾群.引理1設G是可除阿貝爾p-群.則G存在階為q的自同構的充要條件是G的秩大于或者等于q-1,其中p,q是素數.引理2設G是局部有限群.若存在g∈G使得CG(g)是有限的,則G是幾乎局部可解群,即G存在指數有限的局部可解子群.下面的引理3是Frobenius定理在局部有限群上的推廣.引理3設G是局部有限群,M≤G,且對任意g∈G-M有M∩Mg=1.令N=(G?∪g∈GMg)∪{1}Ν=(G-∪g∈GΜg)∪{1},則G=MN且N?ˉˉˉGΝ?ˉG,顯然M∩N=1.含有CC-子群,但是其每一個真子群都不含有CC-子群的有限群是存在的,如pq階的非阿貝爾群.下面探討滿足類似條件的局部有限群.定理1設G是局部有限群,若G存在CC-子群,但是其每一個真子群都不含有CC-子群,則G是階小于或者等于pq-1的初等阿貝爾p-群被q階循環(huán)群的擴張.證設N是局部有限群G的CC-子群,任取x∈N,y∈G-N,令子群H=〈x,y〉,則易得H∩N是H的CC-子群,且H∩N是H的真子群.因此G=H是有限群.顯然N是極大子群.若N是正規(guī)子群,任取a∈G-N,則G=N〈a〉.易得〈a〉∩N=1,因此不妨設a是q階元,q是素數.又因〈a〉通過共軛作用是N的一個無不動點的自同構,故N是冪零群,且N是特征單群,從而可得N是初等阿貝爾p-群,p是素數.對任意1≠b∈N,顯然〈b〉G=N,而bbaba2…bap-1∈Z(G)∩N,于是1=bbaba2…bap-1,即|N|≤pq-1.若N不是正規(guī)子群,則對任意g∈G-N,有N∩Ng=1,故G是以N為Frobenius補的Frobenius群.設G的核為F,顯然F也是G的CC-子群,因此G存在正規(guī)的極大CC-子群.類似上面的討論,G是階小于或者等于pq-1的初等阿貝爾p-群被q階循環(huán)群的擴張.定理1表明不存在無限的局部有限群,其存在CC-子群,但是其每一個真子群不含有CC-子群.因此很自然地就會想到探討一個無限的局部有限群,其存在CC-子群,但是其每一個無限真子群都不含有CC-子群.定理2設G是局部有限群,若G存在CC-子群,但是其每一個無限真子群都不含有CC-子群,則G是秩為q-1的可除阿貝爾p-群N被q階循環(huán)群〈x〉的擴張,其中p,q是互不相同的素數,且G的每一個無限真子群都是阿貝爾群.證首先將證明G中一定存在無限的正規(guī)CC-子群.設N是G的CC-子群.若N是有限群,則對N中任意非單位元x有|CG(x)|=|CN(x)|≤|N|≤∞.因此由引理2,G中存在指數有限的正規(guī)子群M.易得M∩N=1,否則可得M∩N是M的CC-子群,而M是無限子群,矛盾.從而得到G=MN且M∩N=1.N通過共軛作用在M上是一個無不動點的自同構.因此可得M也是CC-子群.若N是無限群,同理,對任意g∈G-N,若有N∩Ng≠1,則N∩Ng是N的CC-子群.因此N∩Ng=1或者N∩Ng=N.若對任意g∈G-N有N∩Ng=1,則G中存在正規(guī)子群M,使得G=MN,且M是CC-子群且滿足M∩N=1.因此易得M是無限子群.若存在g∈G-N,有N∩Ng=N,即G=〈g〉N,顯然N?ˉˉˉG.Ν?ˉG.上面的討論表明G中一定存在無限的正規(guī)CC-子群N.設x∈G-N,則〈x〉∩N=1.因此不妨假設x是階為q的元,q是一個素數,則G=N〈x〉,且〈x〉通過共軛作用是N的一個q階無不動點的自同構.設H是N的任意有限子群,令K=〈H,Hx,…,Hxq-1〉,則K是N的有限子群,且Kx=K.由此〈x〉是K的一個q階無不動點的自同構.若q=2,顯然K是阿貝爾群;若q≥3,由文獻,K是冪零群且cl(K)≤(q?1)2q?1?1q?2(Κ)≤(q-1)2q-1-1q-2.由H的任意性,可得N是冪零群且cl(N)≤(q?1)2q?1?1q?2.(Ν)≤(q-1)2q-1-1q-2.顯然在N中不存在無限的真子群是特征子群,否則假設N0是N中的無限的特征真子群,則N0是N0〈x〉的CC-子群,矛盾.因此易得N是p-群,且換位子群|N′|<∞.若|N′|≠1,則存在a?Z(N),但是|N∶CN(a)|<∞,即|G∶CN(a)|<∞.令L=CN(a),從而易得|G∶LG|<∞,其中LG是L在群G中的核,顯然LG是LG〈x〉的CC-子群.故N′=1,即N是阿貝爾群.令N的特征子群Ω1(N)=〈n|np=1,n∈N〉.若|Ω1(N)|=∞,則Ω1(N)是Ω1(N)〈x〉的CC-子群,即N=Ω1(N).此時易得N中存在一個G的指數有限的正規(guī)子群A,則類似可得G=A〈x〉,矛盾.故|Ω1(N)|<∞.于是N=D×F,其中D是秩有限的可除阿貝爾p-群,F是有限p-群.又D是N的特征子群,故F=1.即N=D是可除阿貝爾p-群.又對任意n∈N有nnxnx2…nxq-1∈Z(G),因此nnxnx2…nxq-1=1,即n-1∈〈nx,…,nxq-1〉,從而可得N是秩小于或者等于q-1的可除阿貝爾p-群,又由引理1,N是秩等于q-1的可除阿貝爾p-群.又若q=p,則〈Ω1(N),x〉是有限p-群,因此易得存在1≠n0∈Ω1(N)∩Z(G),這與N是C