固體物理吳代鳴 第三章

第三章晶格振動(dòng)理論

總結(jié)及習(xí)題課主要內(nèi)容（一）關(guān)于晶格振動(dòng)問(wèn)題（二）與晶格振動(dòng)相關(guān)的熱力學(xué)性質(zhì)簡(jiǎn)諧近似：晶格比熱非簡(jiǎn)諧近似：熱膨脹、熱傳導(dǎo)、軟模結(jié)構(gòu)相變

一、關(guān)于晶格振動(dòng)問(wèn)題一維單原子鏈；一維雙原子鏈；三維晶格振動(dòng)的特點(diǎn)；關(guān)于格波；關(guān)于聲子；所謂求解晶格振動(dòng)問(wèn)題，就是通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程求其色散關(guān)系ω(q)，并分析其振動(dòng)特征。討論其振動(dòng)特征，一般包括：(1)ω是q是周期函數(shù)，討論格波數(shù)目；(2)由周期性邊界條件，得到q的取值范圍；(3)極值情況分析；(4)復(fù)式晶格中原胞內(nèi)不同原子振幅比情況；(5)長(zhǎng)波極限問(wèn)題；1.一維單原子鏈重要結(jié)論：色散關(guān)系：振動(dòng)模式數(shù)目：N中心布里淵區(qū)范圍：2.一維雙原子鏈一維雙原子鏈的討論分為如下幾種情況：（1）m1≠m2，β1=β2=β（課堂所講內(nèi)容）；（2）m1=m2，β1≠

β2（習(xí)題12）；（1）m1≠m2，β1=β2=β（課堂所講內(nèi)容）Ⅰ.

體系：N個(gè)原胞，每個(gè)原胞中包括2個(gè)原子(m1=M,m2=m,M>m)。Ⅱ.色散關(guān)系：3、三維晶格振動(dòng)的特點(diǎn)(1)對(duì)于N個(gè)原胞（s個(gè)原子/原胞）的三維體系，對(duì)于給定的波矢q，有ω

=ω

j(q)，這里j=1,2,3…,3s，即共3s支格波，其中有3支聲學(xué)模，3s-3支光學(xué)模。(2)三維體系不同格波總數(shù)目為3Ns(即Ns個(gè)原子體系的自由度數(shù)）Ⅲ.重要特點(diǎn)(1)存在著兩支ω(q)關(guān)系;ω+(q)，稱光學(xué)支(模)，或高頻支；ω-(q)，稱聲學(xué)支(模)，或低頻支。(2)光學(xué)模的振動(dòng)特點(diǎn)：基元中相鄰原子作相對(duì)振動(dòng)；長(zhǎng)波極限下，相鄰原子作相對(duì)振動(dòng)時(shí)原胞質(zhì)心保持不動(dòng)。(3)聲學(xué)模的振動(dòng)特點(diǎn)：基元中相鄰原子振動(dòng)方向相同；長(zhǎng)波極限下，聲學(xué)模代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)。(4)離子晶體中長(zhǎng)光學(xué)波能夠與電磁波發(fā)生耦合，引起遠(yuǎn)紅外光的吸收。4、關(guān)于格波由于一個(gè)原子的振動(dòng)會(huì)影響到周圍原子，同時(shí)也受到周圍原子振動(dòng)的影響，晶格中原子的振動(dòng)會(huì)以波動(dòng)的形式在晶體內(nèi)傳播，稱為格波。它是晶體中所有原子共同參與的集體行為。5、關(guān)于聲子(1)晶格振動(dòng)的能量量子稱為聲子，即格波的能量量子，其能量為?wq。(2)聲子是準(zhǔn)粒子，是玻色子;具有準(zhǔn)動(dòng)量:(4)聲子體現(xiàn)晶體中原子集體振動(dòng)的能量量子化問(wèn)題，是固體中的一種典型的元激發(fā)現(xiàn)象。(3)一定溫度下平均聲子數(shù)服從玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律；二、關(guān)于晶格振動(dòng)的熱力學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)

愛(ài)因斯坦模型德拜模型非簡(jiǎn)諧效應(yīng)

晶格比熱的模型實(shí)驗(yàn)規(guī)律：室溫或更高溫度

Cv=3NkB；

低溫區(qū)—符合T3規(guī)律；零點(diǎn)—T趨近于零時(shí)，Cv趨近于零。理論模型：杜隆-柏替定律愛(ài)因斯坦模型德拜模型晶格振動(dòng)模式密度為準(zhǔn)確地求出晶格熱容及它與溫度的變化關(guān)系，必須較準(zhǔn)確的辦法計(jì)算出晶格振動(dòng)的模式密度（或稱頻率分布函數(shù)）。模式密度的定義及計(jì)算方法1、定義：?jiǎn)挝活l率間隔內(nèi)的模式數(shù)目，用g(ω)來(lái)表示。2、計(jì)算方法：若設(shè)Δn=g(ω)Δω表示ω到ω+Δω范圍內(nèi)的晶格振動(dòng)模式數(shù)，則定義：(1)Δn=(q空間中格波分布密度)×(頻率為q到q+Δq的等頻面間的體積)；(2)q空間中格波分布密度分別為：一維：二維：三維：關(guān)于晶格比熱(1)晶格熱容CV的理論公式對(duì)于具體晶體計(jì)算出3N個(gè)簡(jiǎn)正頻率，一般常采用這樣兩個(gè)模型：愛(ài)因斯坦(Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型。Ⅰ.Einstein模型模型要點(diǎn)：（1）認(rèn)為晶體中所有原子都以相同的頻率振動(dòng)，設(shè)為ωD，即忽略了色散關(guān)系的存在。（2）晶格振動(dòng)能量是量子化的。體系規(guī)定：N個(gè)原子組成，共有3N個(gè)頻率為ωD的振動(dòng)。重要結(jié)論討論

（1）高溫情況（Ｔ>>θE):（2）低溫情況（Ｔ<<θE):結(jié)論：(1)T趨近于0時(shí)的理論結(jié)果與實(shí)際符合較好；

(2)T處于低溫段時(shí)，實(shí)驗(yàn)規(guī)律與理論不符；實(shí)驗(yàn)結(jié)論：CV（低溫）～T3愛(ài)因斯坦模型的評(píng)價(jià)

雖然Einstein模型簡(jiǎn)單，但與實(shí)驗(yàn)符合程度卻相當(dāng)好，說(shuō)明晶體比熱的量子理論的成功；但極低溫下Einstein模型給出的比熱容隨溫度T下降過(guò)快，而實(shí)際上低溫?zé)崛蓦S溫度的變化具有T3關(guān)系。只考慮了光學(xué)模的貢獻(xiàn)，完全忽略了聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。說(shuō)明Einstein模型過(guò)于簡(jiǎn)單，需要進(jìn)一步修正。晶格振動(dòng)采取格波形式，它們的頻率值是不完全相同的，而是有一定的分布情況。

Ⅱ.德拜模型模型要點(diǎn)：（1）用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波替代格波，即以彈性波的色散關(guān)系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散關(guān)系ω(q);（2）認(rèn)為晶體中只存在三支彈性波，二支橫波和一支縱波，其色散關(guān)系分別為：ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。體系規(guī)定：N個(gè)原子組成，共有3N個(gè)晶格振動(dòng)模。重要結(jié)論（1）德拜模型模式密度：重要結(jié)論（3）晶格比熱：Debye模型的討論1、高溫情況(T>>ΘD)：2、低溫情況(T<<ΘD)：稱為:德拜T3定律可見(jiàn):實(shí)際上T3定律一般只適用于大約的范圍內(nèi)。Debye模型的評(píng)價(jià)（1）Debye理論的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較好，尤其是在低溫段部分。（2）Debye近似采用彈性波色散關(guān)系代替格波的色散關(guān)系，得到了近似地頻率分布函數(shù)（即模式密度），但實(shí)際晶格振動(dòng)的模式密度與Debye近似模式密度存在著很大的差別。只有在低溫極限情況下，Debye的宏觀近似才成立。Debye理論在低溫的極限是嚴(yán)格正確的。即Debye的T3定律關(guān)于非諧效應(yīng)（2）格臨愛(ài)森定律：（1）格臨愛(ài)森狀態(tài)方程：表示當(dāng)溫度變化時(shí)，熱膨脹系數(shù)近似與晶格熱容量成比例。（3）晶體發(fā)生熱膨脹原因：非諧效應(yīng)關(guān)于非諧效應(yīng)(4)熱傳導(dǎo)可看成“聲子”的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。(5)晶格熱導(dǎo)率：(6)聲子平均自由程的影響因素：其一：聲子之間相互碰撞（聲子間互散射）；其二：雜質(zhì)、缺陷等對(duì)聲子的散射。(7)l~T關(guān)系的主要結(jié)果：(1)高溫下：l主要由碰撞過(guò)程決定，計(jì)入非諧作用后，可以從理論