人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第27講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）

第27課空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解空間中兩直線間的位置關(guān)系.2.理解空間中直線與平面的位置關(guān)系.3.掌握空間中平面與平面的位置關(guān)系．空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系是空間幾何中最基本的位置關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是對學(xué)生原有的平面知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的擴展，也對今后學(xué)習(xí)空間立體幾何知識打下基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容的重要性不言而喻，它對知識起到了承上啟下的作用.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，逐步改變學(xué)生只習(xí)慣于在一個平面內(nèi)考慮問題的狀態(tài)學(xué)生將對立體幾何的認(rèn)識日漸提高，同時更好地提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)知識精講知識精講知識點01空間中兩直線的位置關(guān)系1．異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交．2．空間兩條直線的三種位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))【即學(xué)即練1】反思感悟知識點02直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示【即學(xué)即練2】知識點03平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示【即學(xué)即練3】反思感悟能力拓展能力拓展考法01兩直線的位置關(guān)系【典例1】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．答案(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面解析(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)．(3)直線D1D與直線D1C相交于點D1.(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)．反思感悟判斷空間兩條直線位置關(guān)系的決竅(1)建立空間觀念全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線．(2)重視長方體、正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．【變式訓(xùn)練】若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面答案D解析可借助長方體來判斷．如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面．考法02直線與平面的位置關(guān)系【典例2】(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題中假命題是()A．若a∥b，b?α，則a∥αB．若a∥α，b∥α，則a∥bC．若a∥b，b∥α，則a∥αD．若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面答案ABC解析如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，故A錯誤；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1與B1C1相交，故B錯誤；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，故C錯誤；因為a∥α，所以a與α無公共點，又b在α內(nèi)，所以a與b無公共點，所以a∥b或a與b異面．反思感悟在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．【變式訓(xùn)練】若直線上有一點在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A．直線上所有的點都在平面外B．直線上有無數(shù)多個點都在平面外C．直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個點在平面內(nèi)答案B解析直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外．考法03平面與平面的位置關(guān)系【典例3】(多選)以下四個命題中，正確的有()A．在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行B．在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行C．平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行D．平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交答案CD解析當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以AB錯誤．反思感悟利用正方體(或長方體)這個“百寶箱”能有效地判斷與兩個平面的位置關(guān)系有關(guān)命題的真假，另外先假設(shè)所給定的結(jié)論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關(guān)系的有效方法．【變式訓(xùn)練】如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．無法確定答案C解析根據(jù)題意作圖，把自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關(guān)系，如圖所示．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．不在同一個平面內(nèi)的兩個三角形的三組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個三角形（

）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【答案】C【分析】根據(jù)等角定理，即可判斷選項.【詳解】根據(jù)等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似或全等.故選：C2．異面直線指的是（

）A．兩條不相交的直線 B．兩條不平行的直線C．不同在某個平面內(nèi)的兩條直線 D．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線【答案】D【分析】由異面直線定義可直接得到結(jié)果.【詳解】由異面直線定義知：異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.故選：D.3．若SKIPIF1<0是兩相交平面SKIPIF1<0外的任意一點，則過點SKIPIF1<0（

）A．有且僅有一條直線與SKIPIF1<0都平行 B．有且僅有一條直線與SKIPIF1<0都垂直C．有且僅有一條直線與SKIPIF1<0都相交 D．以上都不對【答案】A【解析】根據(jù)點面位置關(guān)系：過兩相交平面SKIPIF1<0外一點，有且僅有一條直線與SKIPIF1<0平行，不存在同時垂直于SKIPIF1<0的直線，有無數(shù)條與SKIPIF1<0相交的直線，即知正確選項.【詳解】對于A，過兩相交平面SKIPIF1<0外一點有且僅有一條直線與它們都平行，故正確；對于B，若有且僅有一條直線與SKIPIF1<0都垂直，那么這SKIPIF1<0重合或平行與題設(shè)矛盾，故錯誤；對于C，過P點的平面同時與SKIPIF1<0相交，可知過P點與SKIPIF1<0都相交的直線有無數(shù)條；對于D，顯然錯誤.故選：A.4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用空間線面、面面平行與垂直的判定定理分別去判斷各個選項，即可判斷出正誤.【詳解】解：對于選項SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可以平行，相交，或為異面直線，因此不正確；對于選項SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此正確；對于選項SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不一定平行，因此不正確；對于選項SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不一定垂直，因此不正確.綜上，正確的命題是B.故選：B.【點睛】本題考查空間中直線、平面之間位置關(guān)系有關(guān)命題的判斷，注意空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系的合理運用，考查學(xué)生的空間想象能力和對定理的掌握程度.5．已知SKIPIF1<0是兩個不重合的平面，SKIPIF1<0是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】A【分析】直接由線面的平行、垂直關(guān)系依次判斷即可.【詳解】若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A正確；若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可能SKIPIF1<0，也可能SKIPIF1<0，B錯誤；若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可能SKIPIF1<0，也可能SKIPIF1<0，C錯誤；若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可能SKIPIF1<0，也可能SKIPIF1<0，D錯誤.故選：A.6．正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E是棱SKIPIF1<0的中點，則平面SKIPIF1<0截該正方體所得的截面面積為（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作出示意圖，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，易得平面SKIPIF1<0截該正方體所得的截面為SKIPIF1<0，再計算其面積.【詳解】如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0共面，故平面SKIPIF1<0截該正方體所得的截面為SKIPIF1<0.又正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故選：D.二、多選題7．設(shè)有下列四個命題：SKIPIF1<0：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)．SKIPIF1<0：過空間中任意三點有且僅有一個平面．SKIPIF1<0：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．SKIPIF1<0：若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．則上述命題中（

）是真命題．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系對四個命題逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】SKIPIF1<0：兩兩相交且不過同一點的三條直線圍成一個三角形，是平面圖形，SKIPIF1<0為真命題.SKIPIF1<0：如果三個點在一條直線上，則不止一個平面，SKIPIF1<0為假命題.SKIPIF1<0：兩條直線不相交，可能異面，SKIPIF1<0為假命題.SKIPIF1<0，根據(jù)線面垂直的定義可知SKIPIF1<0為真命題.故選：AD8．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0共面 B．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0異面C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0共面 D．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0異面【答案】ACD【分析】作出正方體的直觀圖，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】如圖，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，故A正確；在正方體中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，故B錯誤；因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，故C正確；由圖可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不在同一個平面，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0既不平行也不相交，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為異面直線，故D正確.故選：ACD.三、填空題9．若正方體SKIPIF1<0的棱長為1，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為___________.【答案】1【分析】作出正方體圖像，觀察即可得到答案﹒【詳解】如圖：∵SKIPIF1<0與AB、SKIPIF1<0均垂直，∴SKIPIF1<0即為兩異面直線的距離，故答案為：110．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0為兩條異面直線，已知直線SKIPIF1<0，那么直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的位置關(guān)系為________．【答案】異面或相交【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0為兩條異面直線，若SKIPIF1<0，由平行直線的傳遞性可知，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0不可能平行，故直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的位置關(guān)系為異面或相交.故答案為：異面或相交11．如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，則直線AB和SKIPIF1<0的距離為______；直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離為______；直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離為______．【答案】

1

1

SKIPIF1<0【分析】利用異面直線間的距離求解.【詳解】在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直線AB和SKIPIF1<0的公垂線，所以直線AB和SKIPIF1<0的距離為1，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公垂線，所以直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離為1；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公垂線，所以直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；故答案為：1，1，SKIPIF1<012．設(shè)圓錐底面圓周上兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，圓錐頂點到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和圓錐的軸的距離為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)圓錐的幾何特征計算出圓錐的底面半徑和母線長，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的頂點為SKIPIF1<0，底面圓圓心為點SKIPIF1<0，取線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的公垂線，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，圓錐SKIPIF1<0的底面圓半徑為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，因此，該圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題13．分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系有哪些情況，并畫圖表示．【答案】相交或異面，圖形見解析.【分析】如圖，點B與D重合時，兩條直線相交；當(dāng)點B與D不重合時，兩條直線異面.【詳解】如圖，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0是異面直線，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0分別與兩條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，當(dāng)點B與D重合時，兩條直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交；當(dāng)點B與D不重合時，兩條直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0異面.14．如圖，在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M，N分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．若異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】SKIPIF1<0或4.【分析】將異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角轉(zhuǎn)化成SKIPIF1<0或其補角，再利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示：取SKIPIF1<0的中點E，連接SKIPIF1<0．因為M，N分別是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0（或其補角）即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角．又異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由余弦定理可知SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，由余弦定理可知SKIPIF1<015．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，N為底面ABCD的中心，P為線段SKIPIF1<0上的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點．判斷下列結(jié)論是否成立，并說明理由．(1)CM與PN是異面直線；(2)SKIPIF1<0；(3)過P、A、C三點的正方體的截面一定是等腰梯形．【答案】(1)不正確，理由見解析(2)正確，理由見解析(3)正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0共面，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是異面直線，即可判斷出正誤；（2）記SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，即可判斷出正誤；（3）過P、A、C三點的正方體的截面與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得一定是等腰梯形.【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是異面直線，而是相交直線.（2）記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）如圖所示，過P、A、C三點的正方體的截面與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此過P、A、C三點的正方體的截面一定是等腰梯形.題組B能力提升練一、單選題1．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)，G分別是SKIPIF1<0的中點．若SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義判斷.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即SKIPIF1<0或其補角，因為異面直線所成角的范圍為SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0.故選：B.2．一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．相交或異面【答案】D【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系，即可求解：【詳解】如圖（1）所示，此時直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0為異面直線，其中SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為相交直線；如圖（2）所示，此時直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0為異面直線，其中SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為異面直線，綜上，一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關(guān)系是相交或異面.故選:D.3．在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，把異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角轉(zhuǎn)化為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，即可求解.【詳解】在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，即SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0.故選：B.4．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關(guān)系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內(nèi)求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為SKIPIF1<0的四等分點，L為SKIPIF1<0的中點，M為SKIPIF1<0的四等分點，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點N，易證SKIPIF1<0，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：D5．SKIPIF1<0是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用空間直線和平面的位置關(guān)系可以判斷選項ABC錯誤，選項D正確.【詳解】解：A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜交，所以該選項錯誤；B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0異面，所以該選項錯誤；C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜交，所以該選項錯誤；D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該選項正確.故選：D6．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，設(shè)過點SKIPIF1<0的平面為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．在正方體SKIPIF1<0中，存在某條棱與平面SKIPIF1<0平行B．在正方體SKIPIF1<0中，存在某條面對角線與平面SKIPIF1<0平行C．在正方體SKIPIF1<0中，存在某條體對角線與平面SKIPIF1<0平行D．平面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0所得的截面為五邊形【答案】D【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，故不存在某條棱與平面SKIPIF1<0平行，即可以判斷選項A錯誤；由六個面的12條面對角線與平面SKIPIF1<0都相交，即可判斷選項B錯誤；體對角線全部與面SKIPIF1<0相交，即可判斷選項C錯誤；補全圖形可得平面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0所得的截面為五邊形SKIPIF1<0，即可以判斷選項D正確.【詳解】對于選項A，SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不與平面SKIPIF1<0平行，SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不與平面SKIPIF1<0平行，

SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不與平面SKIPIF1<0平行，故A錯誤；觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面SKIPIF1<0都相交，故B錯誤；四條體對角線全部與面SKIPIF1<0都相交，故C錯誤.如下圖，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，再取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0與正方體底面SKIPIF1<0的交線，延長SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0的延長線交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則可得五邊形SKIPIF1<0即為平面SKIPIF1<0交正方體SKIPIF1<0的截面，故D正確；

故選：D.二、多選題7．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成SKIPIF1<0角【答案】BD【分析】由展開圖翻折成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷直線間的位置關(guān)系．【詳解】如圖，展開圖翻折成的正方體，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別在正方體平行的兩個側(cè)面上，而由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行且相等得SKIPIF1<0是平行四邊形，因此有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線，A錯；同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，B正確，C錯；SKIPIF1<0或其補角是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角是SKIPIF1<0，D正確．故選：BD．8．已知正方體SKIPIF1<0，P是棱SKIPIF1<0的中點，以下說法正確的是（

）A．過點P有且只有一條直線與直線AB，SKIPIF1<0都相交B．過點P有且只有一條直線與直線AB，SKIPIF1<0都平行C．過點P有且只有一條直線與直線AB，SKIPIF1<0都垂直D．過點P有且只有一條直線與直線AB，SKIPIF1<0所成角均為45°【答案】AC【分析】選項A.由題意滿足條件的直線是平面SKIPIF1<0與平面PAB的交線，從而可判斷；選項B.由平行公理可判斷；C選項.由線線平行的性質(zhì)結(jié)合異面直線成角的概念可判斷；D選項.由異面直線成角可判斷.【詳解】選項A.過點P與直線AB相交的直線必在平面PAB內(nèi)，過點P與直線SKIPIF1<0相交的直線必在平面SKIPIF1<0內(nèi)，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；選項B.若存在一條直線與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都平行，則SKIPIF1<0，矛盾，B不正確；C選項.因為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，顯然滿足條件的直線唯一，即SKIPIF1<0，C正確；D選項.取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點E，F(xiàn)，連PE，PF，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若l與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角為45°，則l與PE，PF所成角為45°，顯然SKIPIF1<0的角平分線及其外角平分線均符合，D不正確.故選：AC三、填空題9．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，則異面直線AC和BC1所成角的余弦值是_________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】作出異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角，利用余弦定理計算出其余弦值.【詳解】如圖，連接AD1，CD1，則∠D1AC(或其補角)就是異面直線AC和BC1所成的角，易知AC＝5，AD1＝SKIPIF1<0，CD1＝SKIPIF1<0，由余弦定理得cos∠D1AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<010．已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則側(cè)面四邊形SKIPIF1<0為正方形，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角（或補角），在SKIPIF1<0中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角（或補角），因為SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.11．已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，其中SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球體積為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用異面直線所成的角可求SKIPIF1<0的長度，將四棱錐補成長方體后可求外接球的直徑，從而可求外接球的體積.【詳解】如圖，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或其補角為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.將該四棱錐補成如圖所示的長方體：則該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為SKIPIF1<0，故外接球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0是兩個相交平面，空間兩條直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影是直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影是直線SKIPIF1<0.用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，寫出一個總能確定SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線的充分條件：___________.【答案】SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交【分析】由異面直線的定義、充要條件的判斷結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系即可得出答案.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0異面時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影是直線SKIPIF1<0，可能平行或相交：SKIPIF1<0過SKIPIF1<0上的射影是直線SKIPIF1<0，可能平行或相交：但當(dāng)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，同時成立時，則SKIPIF1<0：而當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0?直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，均相交時，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能相交；故能確定SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線的充分條件是SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交（或SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交）.故答案為：SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交.四、解答題13．如圖，正四棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為1，異面直線AD與BC1所成角的大小為60°，求A1B1到底面ABCD的距離.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0到底面ABCD的距離，然后求出SKIPIF1<0即可．【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為異面直線AD與SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0，因為正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，所以線段SKIPIF1<0的長為線段SKIPIF1<0到底面ABCD的距離，因為在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0到底面ABCD的距離為SKIPIF1<0．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖是無蓋正方體紙盒的展開圖，則原正方體中直線AB，CD所成角的大小為多少？EF與AB所成角的大小為多少？試寫出你的解題過程，并說明原理？【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【分析】將展開圖還原為正方體，可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為正方體下底面與左右側(cè)面的面對角線．等邊SKIPIF1<0中得出SKIPIF1<0，即得原正方體中直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所成角的大小，再由SKIPIF1<0得出EF與AB所成角的大小．【詳解】將展開圖還原為正方體，如圖，可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為正方體下底面與左右側(cè)面的面對角線，連線SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，即原正方體中直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以EF與AB所成角等于直線AB，CD所成的角，大小為SKIPIF1<0.2．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，N為底面ABCD的中心，P為線段SKIPIF1<0上的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點．判斷下列結(jié)論是否成立，并說明理由．(1)CM與PN是異面直線；(2)SKIPIF1<0；(3)過P、A、C三點的正方體的截面一定是等腰梯形．【答案】(1)不正確，理由見解析(2)正確，理由見解析(3)正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0共面，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是異面直線，即可判斷出正誤；（2）記SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，即可判斷出正誤；（3）過P、A、C三點的正方體的截面與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得一定是等腰梯形.【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是異面直線，而是相交直線.（2）記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）如圖所示，過P、A、C三點的正方體的截面與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，可得SKIPI