人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)同步講義第08講 2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（原卷版）

第01講2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課程標準學(xué)習(xí)目標①會用不等式表示不等關(guān)系；掌握等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)。②會利用不等式性質(zhì)比較大小。③會利用不等式的性質(zhì)進行簡易的求范圍與證明。1通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能做到用不等式表示不等關(guān)系，能利用等式及不等式的相關(guān)性質(zhì)進行大小的比較、不等關(guān)系的證明、求解相應(yīng)代數(shù)式的取值范圍.知識點一：不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號語言SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點二：實數(shù)SKIPIF1<0大小的比較1、如果SKIPIF1<0是正數(shù)，那么SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0是負數(shù)，那么SKIPIF1<0，反過來也對.2、作差法比大?。孩賁KIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<03、不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變知識點三：不等式SKIPIF1<0的探究一般地，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.知識點四：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性SKIPIF1<0SKIPIF1<0（等價于）傳遞性SKIPIF1<0SKIPIF1<0（推出）可加性SKIPIF1<0SKIPIF1<0（等價于可乘性SKIPIF1<0注意SKIPIF1<0的符號（涉及分類討論的思想）SKIPIF1<0同向可加性SKIPIF1<0SKIPIF1<0同向同正可乘性SKIPIF1<0SKIPIF1<0可乘方性SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同為正數(shù)可開方性SKIPIF1<0題型01由已知條件判斷所給不等式是否正確【典例1】（2023春·北京·高二對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）校考期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）（2023春·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為正實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【典例3】（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么下列選項中錯誤的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（多選）（2023春·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)校考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0題型02由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則一定有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小【變式1】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（多選）（2023秋·福建三明·高一統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列四個不等式中，一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型03作差法比大小【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0大小關(guān)系不確定【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則s與t的大小關(guān)系是________.題型04利用不等式求值或取值范圍【典例1】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）（2023秋·四川達州·高一校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則y的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范圍．題型05用不等式表示不等關(guān)系【典例1】（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過SKIPIF1<0，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊耄F釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的SKIPIF1<0，已知一個鐵釘受擊3次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的SKIPIF1<0，請從這個實例中提煉出一個不等式組：______．【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的，圖（2）是一個矩形，從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種關(guān)系用含字母SKIPIF1<0的不等式表示出來（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？茧A段練習(xí)）某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案SKIPIF1<0為一次性投資SKIPIF1<0萬；方案SKIPIF1<0為第一年投資SKIPIF1<0萬，以后每年投資SKIPIF1<0萬.下列不等式表示“經(jīng)過SKIPIF1<0年之后，方案SKIPIF1<0的投入不大于方案SKIPIF1<0的投入”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型06易錯題（利用不等式求值或取值范圍）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____，SKIPIF1<0的取值范圍是____.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍是________.2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列不等式正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02．（2023春·山東濱州·高二校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<03．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）下列命題為真命題的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<04．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知p∈R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則M，N的大小關(guān)系為（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N5．（2021秋·高一單元測試）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．（2023秋·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，則下列選項中能使SKIPIF1<0成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020·北京·高三校考強基計劃）設(shè)a，b，c均為大于零的實數(shù)，若一元二次方程SKIPIF1<0有實根，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題9．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______．10．（2020·安徽宣城·高一涇縣中學(xué)校考強基計劃）若關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0只有一個整數(shù)解2，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為____________．四、解答題11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用比較法證明以下各題：(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是？B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長大于SKIPIF1<0）按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑SKIPIF1<0，軟件會在運動軌跡上標注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知劉老師共跑了SKIPIF1<0，恰好回到起點，前SKIPIF1<0的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022秋·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谀┤鬝KIPIF1<0且SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0成立的一個充分非必要條件是（

）A．S