2021年中學生標準學術(shù)能力高考數(shù)學診斷性試卷（理科）（一卷）（3月份）

2021年中學生標準學術(shù)能力高考數(shù)學診斷性試卷（理科）（一卷）

（3月份）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）已知拋物線C：『=2x,則拋物線C的焦點到準線的距離為（）

A.AB.AC.1D.2

42

2.（5分）已知集合用={旺？-5x+4<0},N={x|2]>4},則（）

A.MUN=RB.MI~IN={x[2<x<4}C.A/UN={x|x>2}

D.MCN={x|2<：xW4}

3.（5分）已知等差數(shù)列{斯}滿足42+紡+。8=15,則。3+〃7=（）

A.3B.5C.7D.10

4.（5分）已知向量而=（_1，2），QB=（3,m）?若0AJ.AB，則m的值為（）

A.3B.4C.-3D.-4

22

5.（5分）某個國家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)y和時間x（單位：天）在18天里的散

點圖如圖所示，下面四個回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)y和時間x的回歸方程的

A.y=a+bxB.y=a+becC.y=a+blnxD.y=a+bVx

6.(5分)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊邊長分別為a,b,c,若2a=3b,A=2B,

則cosB—()

A.2B.3c.AD.0

345

7.（5分）已知函數(shù)f（x）的局部圖象如圖所示，則下列選項中可能是函數(shù)/（x）解析式的

是（）

y=xcosxC.y=/sinxD.y=xsinx

x<2

8.（5分）已知實數(shù)x,y滿足<x+y>2則朽，的最大值為（）

x+2y44

A.2B.V5C.4D.5

9.（5分）若J+（x+l）7=4（）+〃]（X+2）+〃2（X+2）2+???+〃7（x+2）7,則〃3=（）

A.-8B.35C.-43D.27

TT

C0S（-7-X）-l,x）0,

10.（5分）已知函數(shù)f（x）=<2（a>0且〃W1）,若函數(shù)圖象上關(guān)于

-log（x）,x<C0,

a0-

原點對稱的點至少有3對，則實數(shù)”的取值范圍是（）

A.（0,乎）B,呼，1）c.（0,哈）D.啥1）

11.（5分）在棱長為4點的正四面體A-BCD中，點E,尸分別為直線A8,CQ上的動點,

點P為EF中點，。為正四面體中心（滿足Q4=Q8=QC=Q￡>）,若PQ=M，則EF

長度為（）

A.276B.V6C.3D.2

12.（5分）已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=l,/+必+02=1,則/+力3+03的最小值是（）

A.AB.5C.ZD.1

399

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）上-（其中i是虛數(shù)單位）的共軌復數(shù)為.

1+21

14.（5分）已知函數(shù)/（x）=cosxG/§sinx-cosx）[，xC[O，n],則函數(shù)/（x）的單調(diào)

遞增區(qū)間為.

15.（5分）已知雙曲線t-工5=1（a>0,6>0）的焦點為為，尸2，P是雙曲線上一點,

且/人戶乃=工.若△QPF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，且R=4r,則雙曲

3

線的離心率為.

16.（5分）已知函數(shù)f（x）=」-4（a〉0,a卉1）,g（x）上三，若對任意的花口，+

ax-l21+x

8）,不等式火x）g（x-1）＜3-火x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必

考題：共60分

盧

17.（12分）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和S”，且S"-z=b=8?.

ncN

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛加｝的最小項的值.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCO中，AO〃BC,平面必。_L平面PBC.若NBCD=生,

3

TT

ZPBC=—,AD=CD=2,BC=\.

2

（1）證明：PB1.PA；

（2）若以=2PC,求二面角尸-BC-4的余弦值.

19.（12分）袋中有大小完全相同的7個白球，3個黑球.

（1）若甲一次性抽取4個球，求甲至多抽到一個黑球的概率；

（2）若乙共抽取4次，每次抽取1個球，記錄好球的顏色后再放回袋子中，等待下次抽

取，且規(guī)定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙總得分X的分布列和數(shù)學期望.

2c

20.（12分）如圖，已知桶圓C：W—+y2=i的右焦點為尸，原點為O,橢圓的動弦A8過

5

焦點尸且不垂直于坐標軸，弦A8的中點為N,橢圓C在點AB處的兩切線的交點為例.

（1）求證：O,M,N三點共線；

（2）求呵1，啊|的最小值.

IFNI

21.(12分)已知f(x)=ln(x+1)-or在（0,+8）有零點x（）.

（1）求實數(shù)。的取值范圍;

(2)求證：2(工_p<%o<ea-1,

a

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第

一題計分。作答時請寫清題號.［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］

c4k

x=2+------y

1+k

22.（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為?z2、(%為參數(shù))，

y=----------r-

l+k^

以坐標原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p