2021年重慶市西南大學附中高考數(shù)學適應性試卷（八）（解析版）

2021年重慶市西南大學附中高考數(shù)學適應性試卷（八）

一、選擇題（共8小題）.

1.“灰{刈Og3（2-x）W1}”是“XC{劉X-1|W1}”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

2.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點都在射線y=3x（x>0）上，且|z|=J而，則z的虛部為

（）

A.3B.3iC.±3D.±31

3.“垃圾分類”已成為當下最熱議的話題，我們每個公民都應該認真履行，逐步養(yǎng)成“減

量、循環(huán)、自覺、自治”的行為規(guī)范，某小區(qū)設置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、

“廚余垃圾”、“其他垃圾”四種垃圾桶.一天，小區(qū)住戶李四提著屬于4個不同種類

垃圾桶的4袋垃圾進行投放，發(fā)現(xiàn)每個桶只能再投一袋垃圾就滿了，作為一個意識不到

位份子，李四隨機把4袋垃圾投放到了4個桶中，則有且僅有一袋垃圾投放正確的概率

為（）

A.—12B.—C.—11D.—

6332

4.已知直線3x+4y-10=0與圓C：^+產(chǎn)-2x+4y-20=0相交于A,B兩點，點尸在圓C

上，且滿足S"AB=4,則滿足條件的P點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.己知在邊長為3的等邊AABC中，AP=yAC+yAB>則而在而上的投影為（）

A.—B.上C.—D.—

4442

6.函數(shù)/（x）=10，即1+型m1的大致圖象為（）

7.在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=3,PB=4,PC=5,點E為線段

PC的中點，過點E作該三棱錐外接球的截面，則所得截面圓的面積不可能為（）

A.6nB.8nC.10nD.12ir

1IJI1I1I1I

8.函數(shù)/'（x）=Asin（3x+——）（A>0,3>O）在［——，］上單調(diào)，且/（——）=/（——），

662412

若f（x）在［0,力上存在最大值和最小值，則實數(shù)f的取值范圍為（）

A.［2兀，+oo）B.（—71,+8）

33

二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

9.2020年12月31日，我國第一支新冠疫苗“國藥集團中國生物新冠滅活疫苗”獲得國家

藥監(jiān)局批準附條件上市，保護率為79.34%,中和抗體陽轉(zhuǎn)率為99.52%,該疫苗將面向全

民免費.所謂疫苗的保護率，是通過把人群分成兩部分，一部分稱為對照組，即注射安

慰劑；另一部分稱為疫苗組，即注射疫苗來進行的.當從對照組和疫苗組分別獲得發(fā)病

率后，就可以計算出疫苗的保護率=（對照組發(fā)病率-疫苗組發(fā)病率）/對照組發(fā)病率X

100%.關于注射疫苗，下列說法正確的是（）

A.只要注射了新冠疫苗，就一定不會感染新冠肺炎

B.新冠疫苗的高度陽轉(zhuǎn)率，使得新冠肺炎重癥感染的風險大大降低

C.若對照組10000人，發(fā)病100人；疫苗組2000人，發(fā)病80人，則保護率為60%

D.若某疫苗的保護率為80%,對照組發(fā)病率為50%,那么在1000個人注射了該疫苗后,

一定有1000個人發(fā)病

10.如圖，在正方體ABCD-AiBCQi中，點P,。分別是棱。。上異于端點的兩個

動點，且。。=BP,則下列說法正確的是（)

A.三棱錐O-AP。的體積為定值

B.對于任意位置的點P,平面4PQ與平面所成的交線均為平行關系

C./PAQ的最小值為g

□

D.對于任意位置的點P,均有平面APQJ_平面4GC4

11.己知非零實數(shù)a,b滿足3“=2%則下列不等關系中正確的是()

A.a<bB.若。<0,則。<a<0

C.D.若0<a<log32,則仙〈加

1+1aI1+lbI

12.給定兩個函數(shù)/(亢)與g(x),若實數(shù)加，幾滿足gCm)=/(〃)，則稱-詞最小值

為函數(shù)f(X)與g(x)的橫向距.已知上>0,/(X)=加三J,g(x)=e-k,則()

kk

A.當上=1時，f(x)與g(無)的橫向距為0

B.若/(幻與g(x)的橫向距為0,則0VZW1

C./(x)與g(x)的橫向距隨著左的增大而增大

D.若f(x)與g(x)的橫向距大于1,則上〉e

三、填空題(共4小題，每小題3分，滿分12分)

13.在xQ+x)5的展開式中，含j?項的系數(shù)為.

14.已知數(shù)列｛如｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛兒｝為等差數(shù)列，若a2a7al2=3?,bi+bi+b\3=fm,則

a3ali

15.如圖，為測量C點到河對岸塔頂A的距離，選取一測量點。，現(xiàn)測得/BC￡>=75°,

ZB￡>C=60°,CD=40m,并在點C處測得塔頂A的仰角為30°,則CA的距離為

in.

A

16.己知點P為雙曲線C：號飛=1S>0,b>0)右支上一點，F(xiàn)i,B為雙曲線的左、

abz

右焦點，點。為線段PFi上一點，NAPB的角平分線與線段入。交于點M,且滿足而

=,而年畫，則部］「=；若0為線段"I的中點且NF"

=60°,則雙曲線C的離心率為.

四、解答題(共6小題，滿分72分)

17.在△A8C中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且已知△ABC的外接圓半徑為R,

已知—，在以下三個條件中任選一個條件填入橫線上，完成問題(1)和(2)：

①+￡'?￡F>-=C-''B.,②Rsig+z7cos4=C,?a+c-b(^/gsinC+cosC)=0.

acabbe

問題：

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若R=2,求q+c的最大值.

18.已知正項數(shù)列｛“"｝的前〃項和為S”且ai=2,(Sn+i-S?)?67?=45,),zzeN*.

(1)求42,43,“4的值，并求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)求數(shù)列12a.(；_n+l))的前”項和公式7

19.如圖，在多面體ABCOE/中，四邊形ABCD與ABE尸均為直角梯形，平面ABC。_L平

ffiABEF,AD//BC,AF//BE,AD1AB,ABLAF,AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)己知點G為AF上一點，且AG=1,求證：BG〃平面。CE；

(2)已知直線所與平面。CE所成角的正弦值為返，求平面OCE與平面BZ)戶所成銳

二面角的余弦值.

20.在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了''精準扶貧”階段.到2020年底，全國830

個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大

壯舉.重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽.因地制宜發(fā)展

特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)

蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當

地村民的搖錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細嫩化渣、無核少

絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名，為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各

職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標準：

果徑80?85，W?J為一級果，果徑75?80""〃為二級果，果徑70?75nwj或85nm以上為

三級果.某農(nóng)產(chǎn)品研究所從種植園采摘的大量奉節(jié)臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍

橙的果徑（單位：，〃，"）,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試估計這1000個奉節(jié)臍橙的果徑的中位數(shù)；

（2）在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70?85,〃機中抽出9個臍橙，為進

一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數(shù)X的分布列

與數(shù)學期望；

（3）以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，

其中一級果的個數(shù)為匕記一級果的個數(shù)為上的概率為P（丫=無），寫出p（y=A）的表

達式，并求出當人為何值時，P（y=z）最大？

組艇

0.060-----------------.

0.045-------------LI

04030--------1---------1?1

0.004

O6570758。859095100梁徑吁

21.已知函數(shù)/(x)=ln(x+1)-a(x+——),.

x+12

(1)當x>0時，求證：f(x)<0；

(2)記數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾",若以=」(〃€N*),求證：S2?-Sn+hL>ln2.

n4

22

22.己知橢圓方程gJ5=1(a>Z?>0),拋物線方程：y^=2px(p>0),O為坐標原點,

廠是拋物線的焦點，過F的直線/與拋物線交于A,3兩點，如圖所示.

(1)證明：直線OA,。8的斜率乘積為定值，并求出該定值；

(2)反向延長OA,OB分別與橢圓交于C,D兩點,且。0+。02=5,求橢圓方程；

(3)在(2)的條件下，若誓坦的最小值為1,求拋物線方程.

S/kOCD

參考答案

一、選擇題(共8小題).

1."xe{x|log3(2-x)W1}”是“xe{x||x-的()條件.

A.充分不必要B,必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

解：由log3(2-x)W1得0<2-xW3,得-3Wx-2<0,得-l<x<2,即4=[-1,2),

由|x-1|W1得-IWx-得0WxW2,即8=[0,2],

則xeA是x&B的既不充分也不必要條件，

故選：D.

2.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點都在射線y=3x(x>0)上，且|z|=J而，則z的虛部為

()

A.3B.3zC.±3D.±3z

解：因為復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點都在射線y=3x(x>0)上，

設z=a+3ai,a€R,a>0,

所以|z尸Ja?+(3a)2=技，解得"=1，

故復數(shù)z=l+3i,所以z的虛部為3.

故選：A.

3.“垃圾分類”已成為當下最熱議的話題，我們每個公民都應該認真履行，逐步養(yǎng)成“減

量、循環(huán)、自覺、自治”的行為規(guī)范，某小區(qū)設置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、

“廚余垃圾”、“其他垃圾”四種垃圾桶.一天，小區(qū)住戶李四提著屬于4個不同種類

垃圾桶的4袋垃圾進行投放，發(fā)現(xiàn)每個桶只能再投一袋垃圾就滿了，作為一個意識不到

位份子，李四隨機把4袋垃圾投放到了4個桶中，則有且僅有一袋垃圾投放正確的概率

為()

1211

A.—B.—C.—D.—

6332

解：李四隨機把4袋垃圾投放到了4個桶中，

基本事件總數(shù)〃=A：=24,

其中有且僅有一袋垃圾投放正確包含的基本事件個數(shù)〃?=C：C；C；c；=8,

則有且僅有一袋垃圾投放正確的概率為尸=皿=提=《.

n243

故選：C.

4.已知直線3x+4y-10=0與圓C：x2+/-2x+4y-20=0相交于A,B兩點，點P在圓C

上，且滿足SVAB=4,則滿足條件的P點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

解:圓C化為(x-1)2+(y+2)2=25,則圓心坐標為C(1,-2),半徑r=5,

圓心C到直線3x+4y-10=0的距離"=|3-’10|=3,則弦長區(qū)8|=2。^=8，

設P到AB的距離為/?,貝”/必,|AB|?h=4,解得仁L

而圓上AB兩側(cè)的動點到直線AB的最大距離分別為5和2,

故滿足條件的點P共4個.

故選：D.

5.己知在邊長為3的等邊AABC中，下=￡正則而在而上的投影為()

A.—B.上C.—D.—

4442

解：CP=AP-AC=yAC-AC=yAB-yAC-

二CP'CB=3AB-yAC)?(AB-AC)

1—*25-~?1-?2

=yABq杷?AC號AC

=yX9-1-X3X3Xy-^X9

_15

-T)

15

?''*'''1■111,

停在盤上的投影為CP?CB=4=5.

ICBI"3"4

故選：c.

6.函數(shù)/(x)=lOkkl+xsi11r的大致圖象為()

解：函數(shù)的定義域為{x|xWO},排除A,

f(-x)=10te|x|-xsin(-x)=l(yg3+xsinx=f(x),即f(x)是偶函數(shù)，圖象關于y

軸對稱，排除C,

f(x)=l(V#l+xsiiir=|x|+xsinx,

當x>0時，f(x)=x+xsinx=x(1+sinx)20,排除。，

故選：B.

7.在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=3,PB=4,PC=5,點E為線段

PC的中點，過點E作該三棱錐外接球的截面，則所得截面圓的面積不可能為()

A.6nB.8TTC.IOTTD.12TT

解：根據(jù)題意，在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，

且滿足：PA=3,PB=4,PC=5,

設三棱錐體的外接球半徑為R,

故4R2=32+42+52,解得R2岑.

4

在所有的過點E的截面里，當截面過球心。時，截面的圓的面積最大，

此時半徑為R,

在所有過點E的截面里，當OE與截面垂直時，

/22

截面的圓的面積最小，此時截面的圓心為應由于。E=Y3+4一=9,

22

所以最小的截面圓的面積S=兀嗚）2號兀,

故截面圓的面積的范圍為［2『，得L］.

故選：A.

JIIiJiJIJI

8.函數(shù)/(x)=Asin(3刈--)(A>0,3>0)在［,---］上單調(diào)，且/()=f(),

662412

若八X）在［0,力上存在最大值和最小值，則實數(shù)f的取值范圍為（）

停兀，+8)2

A.B.(-H,+8)

3

JTK2冗

C.(―,—］D.(—,—］U—,+8)

63633

jI11-j?

解:因為函數(shù)/(x)=Asin(U)XH?—-)在,y］上單調(diào),

662

匕匚兀兀兀/兀

T12,解得0Va)W3,

263r223

田出，，兀、，，兀、▽兀兀兀7兀

因為“丁力克），又7F二

兀7T

所以工匕叵兀，

26

則3?3二2+k兀，k€z,

662

所以3=2+6攵，依Z,

故當％=0時，3=2,

當xe［0,t）時,2x*E［看，2t吟），

因為/（X）在［0,力上存在最大值和最小值，

所以3<2td《寫或2t吟〉等，

ZbbbN

解得或t>等.

633

故選：D.

二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

9.2020年12月31EI,我國第一支新冠疫苗“國藥集團中國生物新冠滅活疫苗”獲得國家

藥監(jiān)局批準附條件上市，保護率為79.34%,中和抗體陽轉(zhuǎn)率為99.52%,該疫苗將面向全

民免費.所謂疫苗的保護率，是通過把人群分成兩部分，一部分稱為對照組，即注射安

慰劑：另一部分稱為疫苗組，即注射疫苗來進行的.當從對照組和疫苗組分別獲得發(fā)病

率后，就可以計算出疫苗的保護率=（對照組發(fā)病率-疫苗組發(fā)病率）/對照組發(fā)病率X

100%.關于注射疫苗，下列說法正確的是（）

A.只要注射了新冠疫苗，就一定不會感染新冠肺炎

B.新冠疫苗的高度陽轉(zhuǎn)率，使得新冠肺炎重癥感染的風險大大降低

C.若對照組10000人，發(fā)病100人；疫苗組2000人，發(fā)病80人，則保護率為60%

D.若某疫苗的保護率為80%,對照組發(fā)病率為50%,那么在1000個人注射了該疫苗后，

一定有1000個人發(fā)病

解：顯然選項A錯誤，

對于選項B：新冠疫苗的陽轉(zhuǎn)率高說明有高滴度的抗體，當感染新冠肺炎后，肺炎癥狀

將會大大降低，進而減少重癥率，所以選項8正確，

對于選項C：由保護率的計算公式可得：對照組和疫苗組的發(fā)病率分別為1%,0.4%,代

入可得保護率為60%,所以選項C正確，

對于選項D：雖然根據(jù)公式算出樣本中疫苗組的發(fā)病率為10%,但實際是否會發(fā)病是隨

機事件，所以選項D錯誤，

故選：BC.

10.如圖，在正方體ABCO-ABiGA中，點P,。分別是棱BBi,。。上異于端點的兩個

動點，且。Q=8P,則下列說法正確的是（）

A.三棱錐O-AP。的體積為定值

B.對于任意位置的點P,平面APQ與平面所成的交線均為平行關系

JT

c./PAQ的最小值為專

D.對于任意位置的點P,均有平面APQL平面AGCA

解：對于A,VDAPQ=VPADQ,△ADQ面積不定，

而P到平面ADQ的距離為定值AB,

?..N-AP2不是定值,故A錯誤;

對于8,由于PQ〃平面AIBIGOI,則經(jīng)過直線PQ的平面APQ與4BCQ1的所有交線

均與P。平行，

根據(jù)平行的傳遞性，可得所有的交線也平行，故B正確；

對于C,設正方體棱長為1,PB=DQ=a&(0,1),

則”=4。=42+1,尸。=我，

加/PAna2+l+a2+1-2a，,11、

則cosNPAQ=-------------=—^=1--G(rn0,—),

2(a2+l)a2+laJ+l2

JT兀

「?NPAQE故C錯誤；

o4

對于，由題意得直線PQ與平面4GC4垂直，

二對于任意位置的點P,均有平面APQJ_平面AiGCA,故。正確.

故選：BD.

11.已知非零實數(shù)“，6滿足3。=2",則下列不等關系中正確的是()

A.a<hB.若〃V0,則Z?V〃V0

lai<lb|D.若0<aVlog32,則/<〃

解：對于A,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，0<〃<〃或YaVO,故選項A錯誤，選項8正確;

對于C,函數(shù)y=j=l七二在(7,+8)上單調(diào)遞增，而同<團，故選項C正確；

1+x1+x

a

對于￡>,0<a<log32,則有0<aV6<l,所以戒<0故選項。正確.

故選：BCD.

12.給定兩個函數(shù)/(X)與g(x),若實數(shù)根，”滿足g(機)=/(〃)，則稱|〃-加最小值

為函數(shù)f(x)與g(JC)的橫向距.已知k>0,f(x)—ln—+^,g(JC)=e「k,則()

kk

A.當人=1時，f(x)與g(x)的橫向距為0

B.若/'(x)與g(x)的橫向距為0,則OVZ<1

C.f(x)與g(x)的橫向距隨著火的增大而增大

D.若/(x)與g(x)的橫向距大于1,則

11

解：由g(加)=f(n),令”"=/〃■工■+—=r>0,則m=/"+%,n=k所以〃-加

kke

=k-Int-k,

e

設函數(shù)〃(/)=k-Int-k,Z>0,則(f)=k顯然/(,)單調(diào)遞

ee'

增且(-)=0,

k

所以八(r)在(0,—)遞減，在(工，+8)遞增，h(f)mtn—h(―)=-In—=Ink,

kktk

①當0<k〈l時，InkWO,Cn-m)mi"=l〃kW0,.".|n-w|m,n=0,即函數(shù)/(x)與g(x)

的橫向距為0,

正確，C錯誤.

②當”>1時，lnk>0,(〃-機)”而=lnk>0,即函數(shù)f(x)與g(x)的橫向距為/成，

當/〃%>1時，.,.k>e,。正確.

故選：ABD.

三、填空題(共4小題，每小題3分，滿分12分)

13.在x(1+x)5的展開式中，含「項的系數(shù)為10.

解：(1+x)5的展開式的含/項的系數(shù)為c2=10,

所以X(1+X)5的展開式的含R項的系數(shù)為10,

故答案為：10.

14.已知數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列，數(shù)列｛5｝為等差數(shù)列，若“2幻02=3?,加+歷+bi3=6n,則

a3ali――

解：由等比數(shù)列的中項性質(zhì)可得，。24702="73=3?,

解得ai—y[2,

由等差數(shù)列的中項性質(zhì)可得，加+歷+加3=3/?7=6t，

解得加=2TT,

b+b

rrrl2122b74兀KR

所以tan--------=tan^=tan----=tan——=74

a3alia/33

故答案為：V3.

15.如圖，為測量C點到河對岸塔頂A的距離，選取一測量點。，現(xiàn)測得NBC￡>=75°,

60°,CD=40m,并在點C處測得塔頂4的仰角為30°,則CA的距離為40\/

m.

A

解：如圖，\9ZBCD=15°，ZBDC=60Q，：.ZCBD=45Q.

?：CD=40m,

...△BCD中，由正弦定理可得?..BI。，:.BC=20在,

sin45sinbO

在點。處測得塔頂A的仰角為30°,

，AC=—集『=4。\巧m,

COSOU

故答案為：40&m.

22

16.已知點尸為雙曲線C：=1(a>0,Z?>0)右支上一點，F(xiàn)i,B為雙曲線的左、

右焦點，點。為線段PFi上一點，NKPB的角平分線與線段出。交于點M,且滿足西

=,而壽而g則］耨若。為線段PR的中點且NQPF2=60°，則雙

曲線C的離心率為_沂_.

解：過例作MN//PF1,交PF\于點N,作MG//PF},交P同于點G,

廣一_4一3-rzr-rzjDM_L_iDNl_3

由PM=^PDaPF?，可H得曬「局=*

由角平分線性質(zhì)定理可得徵=微=率

因為。為用的中點，所以?=9丁===由，

|PF2I42

由雙曲線的定義,可得|PB|-|PF2|=2a,

所以|PFi|=6a,\PF^=4a,|Fi以|=2c,

22

在△PBB中，由余弦定理可得cos60°/博一4&

2X6aX4a

即有c=Jja,即有e=￡=有.

a

故答案為：彳,A/7-

4

四、解答題（共6小題，滿分72分）

17.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是〃，b,c,且已知△4BC的外接圓半徑為R,

己知一，在以下三個條件中任選一個條件填入橫線上，完成問題(1)和(2)：

①.cos0+C°sB-=,②RsinA+bcosA=c,?a+c-b(^/^sinC+cosC)=0.

acabbe

問題：

(l)求角8的大??；

(2)若R=2,求〃+c的最大值.

解：(1)選擇條件①：

..cosCcosB2cosB

------+-----=-------，

acabbe

/.bcosC+ccosB=2acosB,

由正弦定理知，-^―=^-=^-,

sinAsinBsmC

AsinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBf即sin(B+C)=sin4=2sin4cosB,

VsinAWO,/.cosB=—,

2

冗

VBG(0,n),:?B=—.

3

選擇條件②：

由正弦定理知，r■丁=/『=—”=2/?,

sinAsinesinC

*.*RsinA+bcosA=c,

/./?sirL4+2/?*sinBcosA=2/?sinC,即sinA+2sin8cosA=2sinC,

XsinC=sin(4+B)=sin4cos8+cosAsin8,

二.sinA+2sinBcosA=2sin4cosB+2cosAsinB,即sinA=2sinAcosB,

VsinA^O,cosB=—，

2

K

VBG(0,IT),:?B=K

3

選擇條件③：

由正弦定理知，Th=±-=告」

sinAsinosmC

Va+c-b(^/3sinC+cosC)=0,

AsinA+sinC-sinB(^/3sinC+cosO=0,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.sinBcosC+cosBsinC+sinC-sinB(A/^sinC+cosC)=0,即cosBsinC+sinC-A/3sinBsinC

=0,

VsinC^O,

JT

AcosB+l-J^sin3=0,即2sin(B——)=1,

6

又Be(0,n),：.B--e(--,—),

666

.?.B-2L=2L,即B=N.

663

(2)由正弦定理知，〃=2RsinB=2j§,

由余弦定理知,b2=a2+c2-2ac9cosB,EP\2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,

(a+c)2-12=3acW3?(”+c廠,

4

???(a+c)2^48,即a+cW4?,當且僅當。=c=2正時，等號成立，

故a+c的最大值為氣應

18.已知正項數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S”且ai=2,(S〃+i-S〃)?〃〃=4S”HGN*.

(1)求。2,Q3,的值，并求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(2)求數(shù)列:2a,(；_n+(｝的前〃項和公式T'-

解：(1)正項數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”且m=2,(S?+i-S?)?an=4Sn,①

所以4s1=-2,解得42=4,

4s2=42，。3，解得。3=6,

4s3=。3?。4,解得。4=8.

當九22時,(SH-Srt-i)?斯-1=45〃-1②,

=

故①-②得：4(Sn-S?:-1)an(,Cln+\--I),

由于4〃>0,

所以斯+1-?！?1=4(常數(shù))，

故數(shù)列的奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等差數(shù)列；

⑺當〃為奇數(shù)時，a。r[J^X4=2n，

當〃為偶數(shù)時，a=@2+\2X4=2m

故數(shù)列｛?！ǎ耐椆綖??！?2〃.

1_1=1A_1.

2)2an*(an-n+l)4n(n+1)4nn+1'

所以TnV(l卷卷亭…+焉)+(l焉)為腎?

19.如圖，在多面體A8CDE尸中，四邊形4BCO與ABE廠均為直角梯形，平面ABC。_L平

?ABEF,AD//BC,AF//BE,ADLAB,ABVAF,AO=AB=2BC=2BE=2.

(1)已知點G為AF上一點，且AG=1,求證：BG〃平面QCE；

(2)已知直線B尸與平面。CE所成角的正弦值為返，求平面。CE與平面8。尸所成銳

5

二面角的余弦值.

【解答】(1)證明：連接AE,交8G于點0,取OE的中點H,連接H。，HC,GE,

'：AG//BE,AG=BE,

四邊形A8EG為平行四邊形,

；.0為AE的中點，

/.0H//AD,OH^—AD,

2

XBC//AD,BC^—AD,

2

AOH//BC,0H=BC,

；?四邊形BCHO為平行四邊形,

J.HC//OB,

???"Cu平面。CE,08C平面。CE,

，OB//平面DCE,即BG〃平面DCE.

(2)解：：平面4BCD_L平面ABEF,平面ABC。0平面ABE尸=48,ADLAB,ADu平

面ABCD,

.?.A"平面A8EF,

以A為原點，AF,AB,A。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

設AF=a(a>0且aWl),則F(a,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2),E(1,

2,0),C(0,2,1),

DC=(0,2,-1),貢=(1,2,-2),麗=(67,-2,0),麗=(0,-2,2),

設平面OCE的法向量為三=(x,y,z),則IF.上=°,即，2yH0,

n-DE=0lx+2y-2z=0

令y=l,則x=z=2,An=(2,1,2),

?.?直線BF與平面DCE所成角的正弦值為強,

5

:?苓-=|cosV而,一BF■n

產(chǎn)日京京=7?京？

化簡得1-40〃-16=0,解得。=4或一方(舍)，

；?麗=(4,-2,0),

設平面瓦卬的法向量為，=G6y./),則即—X-2y=0,

|m-BD=0+2z'=0

令x'=l,則y'=z，=2,：.~^=(1,2,2),

8_8

?.cos<1rn>-~~p=r

ImIwIn3x3-9

故平面DCE與平面8。尸所成銳二面角的余弦值為

9

20.在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段.到2020年底，全國830

個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大

壯舉.重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽.因地制宜發(fā)展

特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)

蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當

地村民的搖錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細嫩化渣、無核少

絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名，為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各

職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標準：

果徑80?85nwz為一級果，果徑75?80機〃？為二級果，果徑70?75nwz或Z5mm以上為

三級果.某農(nóng)產(chǎn)品研究所從種植園采摘的大量奉節(jié)臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍

橙的果徑（單位：，"，"），得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試估計這1000個奉節(jié)臍橙的果徑的中位數(shù)；

（2）在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70?85w”中抽出9個臍橙，為進

一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數(shù)X的分布列

與數(shù)學期望；

（3）以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個,

其中一級果的個數(shù)為匕記一級果的個數(shù)為上的概率為P（丫=無），寫出?（丫=力的表

達式，并求出當左為何值時，P（丫=力最大？

JR&mtn

解：(1)果徑［65,80)的頻率為(0.013+0.030+0.045)X5=0,44<0.5,

果徑［65,85)的頻率為(0.013+0.030+0.045+0.060)X5=0.74>0.5,

故果徑的中位數(shù)在［80,85),不妨設為a,

則(8-80)X0.060=0.5-0.44=0.06,解得a=81,

所以果徑的中位數(shù)為81；

(2)果徑[70,75),[85,80),[80,85)的頻率之比為(0.03X5)：(0.045X5)：

(0.06X5)=2：3：4,

所以分層抽樣過程中，一級果、二級果、三級果個數(shù)分別為4,3,2個,

故隨機變量X=0,1,2,3,

3

Cr510

P(X=0)=--=--,

「384

_C5C4_40

P(X=l)

「3-84'

1

_Cr51rc*42_30

P(X=2)

「3-84,

P(X=3)-TT_84，

所以X的分布列為:

X0123

p1040304

84848484

數(shù)學期望EX

()=0X>+lxf+2x>+3xA^=1

（3）這批果實中一級果的概率為P哧，每個果實相互獨立，則Y?B（100,亮?），

則P（丫=k）"3?（^）k.（看嚴°力

題目即求上為何值時，P（丫=無）最大，

ck+l.&k+l“工產(chǎn)-k

<、P(Y=k+l)yoo<ioJ〈io二3(100-k)

>1,解得％<29.3,

'P(Y=k)?kz3sk/7uoo-k_7(k+l)

“0?(記)?(正)

故當％W29時，p（y=z+i）＞p（y=z）,即p（r=30）＞p（29）＞p（y=28）＞P

(y=27)>???,

當k230時，P(r=Kl)<P(Y=k),即P(y=30)>P(7=31)>P(7=32)>??-,

所以P(Y=k)的最大值為P(Y=30),即一級果的個數(shù)最有可能為30個.

21.己知函數(shù)/(x)=ln(x+1)-a(x+——)，a^—.

x+12

(1)當x>0時，求證：/(x)<0；

(2)記數(shù)列｛斯｝的前八項和為S"，若小=」(neN*),求證：Si,,-S,t+^->ln2.

【解答】證明：(1)因為f(x)=ln(x+1)-a(x+^—),a^—,則f(0)=0,

x+12

令/=」一e(0,1),

則由f(x)=0,可得-at2+t-a—0,

因為工，所以△=1-4“2W0,

2

則/(x)WO在X6(0,+8)上恒成立，

所以/.(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則f(X)<f(O)=0.

(2)由(1)知，當“=工時，In(x+1)<—x(1+二一)，取x=」,

22x+1n

則In(—+1)<—―(1+]_)—(H———)>

n2n—+12nn+1

所以In(n+1)-lnn<—(-^-+

nn+1

所以In(〃+2)-In(n+1)<—一(-—---+1------1----)

2n+1n+2

所以In(n+3)-In(n+2)V1—(--3------1---J-------,

2n+2n+3

所以/"(2〃)-In(2〃-1)<—(1

22n-l

J2十2J十...十,2J十1—、)

上式全部相加，則有全(2〃)