北師大版九年級數(shù)學上冊 專題3.5 垂徑定理（知識講解）

專題3.5垂徑定理（知識講解）【學習目標】1.掌握垂徑定理及其推論；2.利用垂徑定理及其推論進行簡單的計算和證明.【要點梳理】知識點一、垂徑定理1.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

特別說明：

(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.特別說明：

在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）【典型例題】類型一、利用垂徑定理求值1．如圖所示，是的一條弦，，垂足為，交于點、．（1）若，求的度數(shù)．（2）若，，求的長．【答案】（1）；（2）8【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，然后根據(jù)等弧所對的圓心角相等即可得出結(jié)論；（2）設半徑是，根據(jù)垂徑定理即可求出AE，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出r，從而求出結(jié)論．解：（1）∵，∴，∴．（2）設半徑是，則，∴，在直角中，，則，解得，則．【點撥】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，掌握結(jié)合垂徑定理和勾股定理求解是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在⊙O中，半徑OC⊥弦AB，垂足為點D，AB＝6，CD＝1．求⊙O半徑的長．【答案】r=5【分析】垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧，據(jù)此解得AD的長，再設半徑為r，由勾股定理解題即可．解：半徑OC⊥弦AB，

由垂徑定理得，，設，則在中，由勾股定理得，，即，解得：．【點撥】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，OD是⊙O的半徑，AB是弦，且OD⊥AB于點C連接AO并延長交⊙O于點E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半徑OA的長．【答案】r＝5【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設⊙O的半徑為r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值．解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝AB=＝4，設⊙O的半徑OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，【點撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．（1）求證：AD=AN；（2）若AE=，ON=1，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）3；【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)AE的長，設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，連結(jié)AO，則AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理可得出x的值，進而得出結(jié)論；解：（1）證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，∴∠BAD=∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC=∠AEN=90°，∵∠ANE=∠CNM，∴∠BCD=∠BAM，∴∠BAM=BAD，在△ANE與△ADE中，，∴△ANE≌△ADE，∴AD=AN；（2）∵AE=2，AE⊥CD，又∵ON=1，∴設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1連結(jié)AO，則AO=OD=2x-1，∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x-1，AO=2x-1，∴（2）2+（x-1）2=（2x-1）2，解得x=2，∴r=2x-1=3.【點撥】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．類型二、利用垂徑定理求平行弦2．如圖，已知⊙O的直徑d=10，弦AB與弦CD平行，它們之間的距離為7，且AB=6，求弦CD的長．【答案】8【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA、OC，根據(jù)垂徑定理得到根據(jù)AB∥CD，得到點M、O、N在同一條直線上，在Rt△AOM中，根據(jù)勾股定理求出進而求出ON，在Rt△CON中，根據(jù)勾股定理求出根據(jù)垂徑定理即可求出弦CD的長．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA、OC，則∵AB∥CD，∴點M、O、N在同一條直線上，在Rt△AOM中，∴ON=MN﹣OM=3，在Rt△CON中，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=8．【點撥】考查勾股定理以及垂徑定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD是矩形，以AD為直徑的⊙O交BC邊于點E、F，AB=4，AD=12.求線段EF的長.【答案】4【分析】作OM⊥BC于M，連接OE，根據(jù)垂徑定理求出EF=2EM，求出OE和OM長，根據(jù)勾股定理求出EM，即可求出EF．解：作OM⊥BC于M，連接OE，

則ME=MF=EF，

∵AD=12，

∴OE=6，

在矩形ABCD中，OM⊥BC，

∴OM=AB=4，

∵在△OEM中，∠OME=90°，

ME===2，

∴線段EF的長度為4．【點撥】考查了勾股定理、垂徑定理、矩形的性質(zhì)等知識點，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.【變式2】如圖,在上,經(jīng)過圓心的線段于點，與交于點.(1)如圖1,當半徑為,若,求弦的長;(2)如圖2,當半徑為,,若,求弦的長.【答案】(1)8(2)【分析】(1)連接，根據(jù)垂徑定理求出的長，因為，進而在中根據(jù)勾股定理求出長，所以求出的長即可;(2)連接,過點D作于點M，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求出，可以證明,進而求出的長，根據(jù)所做的輔助線，可得為等腰直角三角形，所以可以求出的長，然后根據(jù)，進而求出的長；解：解：(1)連接，根據(jù)垂徑定理求出的長，即：,,設，則，由勾股定理得：,即：，解得：,;(2)連接,過點D作于點M，如圖所示：，在中根據(jù)勾股定理可得：,,，而,,又在和中，,,,,,,,為等腰直角三角形，,把代入到中，解得：.【點撥】本題考查圓的知識點，要善于利用勾股定理和垂徑定理去解題，善于構(gòu)造輔助線去根據(jù)面積相等去解題，最后代入求值.【變式3】⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB和CD之間的距離．【答案】2cm或14cm【解析】分兩種情況進行討論：①弦和在圓心同側(cè)；②弦和在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．試題解析：①當弦AB和CD在圓心同側(cè)時,如圖1所示,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF?OE=2cm；②當弦AB和CD在圓心異側(cè)時,如圖2所示,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF+OE=14cm；綜上所述：AB和CD之間的距離為2cm或14cm.類型三、利用垂徑定理求同心圓問題3．已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．求證：AC=BD．【答案】證明見解析.【分析】過圓心O作OE⊥AB于點E，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因為AE-CE=BE-DE，進而求證出AC=BD．解：過O作OE⊥AB于點E，則CE=DE，AE=BE，∴BE-DE=AE-CE.即AC=BD.【點撥】本題考查垂徑定理的實際應用．舉一反三：【變式1】正方形網(wǎng)格在如圖所示的平面直角坐標系中，現(xiàn)有過格點A，B，C的一段圓?。堅趫D中標出該圓弧所在圓的圓心D，并寫出圓心D的坐標．【答案】作圖見解析；D(2，0)【解析】連接AC，作AC的垂直平分線，交坐標軸與D，D即為圓心，根據(jù)圖形即可得出點的坐標.試題解析：如圖所示：D（2，0）【變式2】如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．求證：AC=BD．【答案】證明見解析.【分析】方法1:過點O作于M，由垂徑定理即可證明；方法2:連接,，，，由等腰三角形的性質(zhì)證明,即可證得．解：如下圖，過點O作于M，由垂徑定理可得．∴,即；方法2:如下圖，連接,，，則有∴,，∴∴．【變式3】如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于、兩點．（1）求證：；（2）連接、，若，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）過點O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出結(jié)論.（2）根據(jù)題意，過點O作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的長，即可求出AC的長度．解：（1）證明：如圖，過點作于點．，，．，即．（2）解：，，，，，，【點撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．類型四、利用垂徑定理求其他問題4．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上的點，且OD⊥AC于點E，連接BE，BC，若AC=8，DE=2．（1）求半圓的半徑長；（2）求BE的長．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑的求得AE=4，設半徑為r，則OE=r-2，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于r的方程，解方程即可求得半徑；

（2）根據(jù)勾股定理求得BC，進而根據(jù)勾股定理求得BE．解：（1）于點且，設半徑為，則在中有解得：即半圓的半徑為5（2）為半圓的直徑則在中有【點撥】此題考查了垂徑定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，應用垂徑定理是關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC、OD分別交AB于點E、F，且OE=OF.求證：AE=BF.【分析】利用垂徑定理得，再由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得．還可以連接，證明得證明：過點作于點則又∵∴∴【變式2】如圖，以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點與相等嗎？為什么？【答案】相等，理由見解析.【分析】過O作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；解：證明：作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE，CE=DE，故BE-DE=AE-CE，即AC=BD.【點撥】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.【變式3】如圖，在圓O中，弦AB＝8，點C在圓O上(C與A，B不重合)，連接CA、CB，過點O分別作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別是點D、E(1)求線段DE的長；(2)點O到AB的距離為3，求圓O的半徑．【答案】（1）DE＝4；（2）圓O的半徑為5．【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得出AD=DC，CE=EB，再根據(jù)三角形的中位線定理可得DE=AB，代入相應數(shù)值求出即可；(2)過點O作OH⊥AB，垂足為點H，則OH=3，連接OA，根據(jù)垂徑定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的長即可得答案.解：(1)∵OD經(jīng)過圓心O，OD⊥AC，∴AD=DC，同理：CE=EB，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=AB，∵AB=8，∴DE=4；(2)過點O作OH⊥AB，垂足為點H，則OH=3，連接OA，∵OH經(jīng)過圓心O，∴AH=BH=AB，∵AB=8，∴AH=4，在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，∴AO=5，即圓O的半徑為5．【點撥】本題主要考查了垂徑定理，涉及了三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.類型五、垂徑定理的推論5．已知：如圖，在中，CD是直徑，AB是弦，，垂足為E.求證：，，.【答案】詳見解析【分析】連接OA，OB，則.然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可.證明：如圖，連接OA，OB，則.又，直線CD是等腰的對稱軸，又是的對稱軸.沿著直徑CD所在直線折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合，和，和分別重合.，，【點撥】本題考查了垂徑定理的應用，解此題的關(guān)鍵是能正確理解定理的內(nèi)容，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的每一條弧．舉一反三：【變式1】如圖，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B．（1）求證：；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為【分析】(1)連接OB，根據(jù)題意求證OB⊥AD，利用垂徑定理求證；(2)根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.解：（1）連接OB,交AD于點E.∵BC是⊙O的切線，切點為B，∴OB⊥BC．∴∠OBC＝90°∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC∴∠OED＝∠OBC=90°∴OE⊥AD又∵OE過圓心O∴（2）∵OE⊥AD,OE過圓心O∴AE=AD=4在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，BE＝＝3，設⊙O的半徑為r，則OE=r－3在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，OE2+AE2=OA2即(r－3)2+42=r2∴r=∴⊙O的半徑為【點撥】掌握垂徑定理和勾股定理是本題的解題關(guān)鍵.【變式2】如圖，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分別為弦AB、CD的中點，證明：OE=OF．【解析】根據(jù)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，則AE=CF，然后根據(jù)“HL”可判斷Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE=OF．證明：連結(jié)OA、OC，如圖，∵E、F分別為弦AB、CD的中點，∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，∵AB=CD，∴AE=CF，在Rt△AEO和Rt△COF中，，∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），∴OE=OF．類型六、利用垂徑定理的實際應用6．校運會期間，小捷同學積極參與各項活動．在鉛球項目中，他擲出的鉛球在場地上壓出一個小坑（圖示是其主視圖），經(jīng)測量，其中坑寬AB為8cm，小坑的最大深度為2cm，請幫助小捷同學計算鉛球的半徑OA的長為多少？【答案】5cm【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AD的長，設OA=rcm，則OD=（r-2）cm，再根據(jù)勾股定理求出r的值即可．解：作OD⊥AB于D，如圖所示：∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度為2cm，

∴AD=AB=4cm．

設OA=rcm，則OD=（r-2）cm

在Rt△OAD中，

∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42，

解得r=5cm；

即鉛球的半徑OA的長為5cm．【點撥】本題考查的是垂徑定理的應用，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】一座跨河橋，橋拱是圓弧形，跨度（AB）為16米，拱高（CN）為4米，若大雨過后，橋下河面寬度（DE）為12米，求水面漲高了多少米？【答案】水面漲高了2米【分析】由垂徑定理可求得AN的長度，ON=OC-CN，AO=CO，在Rt△AON中，利用勾股定理求得橋拱半徑，求水面漲高了多少實際是求MN的長度，建立直角三角形，利用勾股定理把OM求出來，根據(jù)OM-ON即為所求MN長．解：連接OD，由題意得，OCAB，∴ANNBAB8,同理可得，DMMEDE6，設圓弧形所在圓的半徑為R米，則ON(R4)米，在Rt△AON中，OA2AN2ON2，即R282(R4)2，解得：R10，∴OM==8，則MNOMON2，答：水面漲高了2米．【點撥】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，結(jié)合垂徑定理和勾股定理求解是解題關(guān)鍵．【變式2】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水