2023-2024學(xué)年重慶市高三上冊(cè)開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市高三上冊(cè)開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳索筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本卷或者草稿紙上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．162．已知符號(hào)函數(shù)則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)，則（

）A． B．0 C．4 D．64．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：，經(jīng)計(jì)算，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是16，若分位數(shù)是20，則（

）A．33 B．34 C．35 D．365．已知是定義在上的奇函數(shù).，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B． C．1 D．26．已知為中不同數(shù)字的種類，如，記“”為事件，則事件發(fā)生的概率（

）A． B． C． D．7．設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，直線分別交橢圓于點(diǎn)A，B，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．10．某兒童樂(lè)園有甲，乙兩個(gè)游樂(lè)場(chǎng)，小王同學(xué)第一天去甲、乙兩家游樂(lè)場(chǎng)游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他第一天去甲游樂(lè)場(chǎng)，那么第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.7；如果第一天去乙游樂(lè)場(chǎng)，那么第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.6，則王同學(xué)（

）A．第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.63B．第二天去乙游樂(lè)場(chǎng)的概率為0.42C．第二天去了甲游樂(lè)場(chǎng)，則第一天去乙游樂(lè)場(chǎng)的概率為D．第二天去了乙游樂(lè)場(chǎng)，則第一天去甲游樂(lè)場(chǎng)的概率為11．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為12．已知函數(shù)（

）A．若，則是增函數(shù)B．若，則C．若，則可能有兩個(gè)零點(diǎn)D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若隨機(jī)變量，且，則.14．二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)是.15．已知函數(shù)滿足，若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為.16．已知函數(shù)定義域?yàn)?，，且滿足，其中為的導(dǎo)函數(shù)，若不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)分別為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.18．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證.19．已知、分別為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，且.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．甲、乙兩人輪流投籃，約定甲先投，先投中者獲勝，直到有人獲勝或每人都已投球次時(shí)投籃結(jié)束，其中為給定正整數(shù).設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，且各次投籃互不影響.(1)當(dāng)時(shí)，求甲獲勝的概率；(2)設(shè)投籃結(jié)束時(shí)甲恰好投籃次，求的數(shù)學(xué)期望.（答案用含的最簡(jiǎn)式子表示）.21．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且滿足.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，圓過(guò)且交直線于兩點(diǎn)，直線分別交于另一點(diǎn)（異于點(diǎn)）.證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).22．已知函數(shù).(1)設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；(2)若函數(shù)有極大值，無(wú)最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．A【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可求得，根據(jù)元素個(gè)數(shù)即可求出真子集個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知，解得；即，可知集合中含有3個(gè)元素，所以其真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A2．A【分析】根據(jù)充要條件的定義判斷可得答案.【詳解】若，則異號(hào)，所以，故“”是“”的充要條件.故選：A.3．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可得答案.【詳解】由題意可知：，，.故選：A.4．D【分析】利用中位數(shù)和百分位數(shù)的定義得到，，求出答案.【詳解】一共有9個(gè)數(shù)，故從小到大的第5個(gè)數(shù)為中位數(shù)，即，，故選取第7個(gè)數(shù)為分位數(shù)，故，所以.故選：D5．C【分析】根據(jù)對(duì)稱性與奇偶性得到的周期為，再求出及，最后根據(jù)周期性計(jì)算可得.【詳解】由滿足，可得的對(duì)稱中心為，則，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為，又，令，則，是定義在上的奇函數(shù)，則，又當(dāng)時(shí)，，則，，所以．故選：C．6．B【分析】由題意給的定義求出的排列有256種，當(dāng)時(shí)，即排列中有2個(gè)不同的數(shù)字，結(jié)合排列組合的應(yīng)用計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，的排列共有種.當(dāng)時(shí)，即排列中有2個(gè)不同的數(shù)字：若有3個(gè)數(shù)字相同，有種情況；若有2個(gè)數(shù)字相同，有種情況，此時(shí)共有種情況，所以事件A的概率為：.故選：B.7．D【分析】設(shè)出，根據(jù)向量的定比分點(diǎn)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示成含的式子，再代入橢圓方程聯(lián)立即可解得，即可求得離心率.【詳解】如下圖所示：

易知，不妨設(shè)，，易知，由可得，即同理由可得；將兩點(diǎn)代入橢圓方程可得；即，又，整理得解得，所以離心率；故選：D8．A【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到，從而；構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到函數(shù)單調(diào)性，得到，設(shè)，則，從而得到，取得到，從而求出答案.【詳解】令，，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，，所以，，令，，則在上恒成立，故，所以，設(shè)，則，故，所以，即，由于，，故，取得.所以.故選：A9．CD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，可判斷A錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，即B錯(cuò)誤；利用函數(shù)在上為單調(diào)遞增可知C正確；利用作差法可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，構(gòu)造函數(shù),易知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以可得時(shí)，，此時(shí)，即，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增，即，又，可得，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由可得，即，所以D正確；故選：CD10．AC【分析】利用條件概率公式、全概率公式以及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式一一代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)：第一天去甲游樂(lè)場(chǎng)，：第二天去甲游樂(lè)場(chǎng)，：第一天去乙游樂(lè)場(chǎng)，：第二天去乙游樂(lè)場(chǎng)，依題意可得，，，，對(duì)A，，A正確；對(duì)B，，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，C正確；對(duì)D，，D錯(cuò)誤，故選：AC.11．BCD【分析】運(yùn)用消元法、平均值換元法，結(jié)合柯西不等式、基本不等式逐一判斷即可【詳解】A：因?yàn)?，所以，即，，顯然該函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，因此該函數(shù)此時(shí)沒(méi)有最大值，因此本選項(xiàng)不正確；B：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以不妨設(shè)，設(shè)，，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，故，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)?，所以，而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于運(yùn)用柯西不等式和平均值換元法.12．ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)即可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；易得函數(shù)在單調(diào)遞減，即可判斷C；由，得，則有兩個(gè)不同的正根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的具體關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，所以在上是增函數(shù)，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，故，從而，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，因?yàn)楹瘮?shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，又，則有兩個(gè)不同的正根，由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示，由圖可得，要使有兩個(gè)不同的正根，則，又，則，而，同理，構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，故在單調(diào)遞減，，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，故，故，故D對(duì).方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).13．0.2##【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求出結(jié)果.【詳解】由隨機(jī)變量，

，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算可知，故0.214．【分析】先求出通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】由于的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故15．【分析】先求得的解析式，然后根據(jù)的單調(diào)性，由分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意，，令，則，所以，所以.所以，的定義域是，依題意在上單調(diào)遞減，若，則在上單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，由于和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以.故16．【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性可得，進(jìn)而可得，再構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性可得，從而構(gòu)造函數(shù)求最大值即可求解.【詳解】由可知單調(diào)遞增.不等式變形為，構(gòu)造，在定義域恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，即，進(jìn)一步變形得：，構(gòu)造設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增.（*）等價(jià)于，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，令解得，令解得，所以的最大值為，所以，即正實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為:.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，，以及二次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，是一道有難度的題.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，由中位線可知且，又因?yàn)榍?，所以且，所以為平行四邊形，所?結(jié)合平面平面可知，平面.（2）以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立如圖坐標(biāo)系.

此時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則由，可知：，設(shè)，所以平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角.所以.18．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的的基本量計(jì)算求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則由已知，解得,所以.（2）由于，所以.19．(1)的增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【分析】（1）對(duì)于將換成結(jié)合奇偶性求出、的解析式，在利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，參變分離可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)棰伲?、分別為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，所以，，所以，即②，①②解得，，所以，，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，分離參數(shù)得在時(shí)恒成立，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．(1)(2)【分析】（1）分甲投球1次獲勝、甲投球2次獲勝和甲投球3次獲勝三種情況，計(jì)算相應(yīng)的概率相加即可；（2）根據(jù)投籃次數(shù)的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，由公式求數(shù)學(xué)期望，借助數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法化簡(jiǎn).【詳解】（1）甲投球1次獲勝的概率，甲投球2次獲勝的概率，甲投球3次獲勝的概率，所以甲獲勝的概率.（2）記“甲第次投中”為事件，“乙第次投中”為事件，其中，當(dāng)時(shí)，投籃結(jié)束時(shí)甲恰好投籃次的概率為：，投籃結(jié)束時(shí)甲恰好投籃次的概率為：，所以，設(shè)，則，則，錯(cuò)位相減得：，所以.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)，先求出圓的方程，令，利用韋達(dá)定理求出，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)三點(diǎn)共線得，求出，同理求出，整理可得出答案.【詳解】（1）由題意，由可知：，整理得，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，依題意，圓的方程為，令，則，，由韋達(dá)定理可得，由已知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理可得，由三點(diǎn)共線得，所以，同理，所以，去分母整理得：，將韋達(dá)定理帶入得：，整理得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合題意，所以，所以直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn).方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與兩種情況，分別討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程：，將點(diǎn)帶入得：，此時(shí)斜率，所以切線方程為.