二重積分的第二中值定理

目錄1引言 1引言通過對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)我們知道，微積分學(xué)在數(shù)學(xué)分析中具有舉足輕重的地位，它是組成數(shù)學(xué)分析的不可缺失的部分.對(duì)于整塊微積分學(xué)的學(xué)習(xí)，我們可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是構(gòu)成它理論基礎(chǔ)知識(shí)的一塊非常重要的內(nèi)容.由此可知，深入的了解中值定理，可以讓我們更好的學(xué)好數(shù)學(xué)分析.通過對(duì)中值定理的研究，我們可以得到它不僅揭示了函數(shù)整體與局部的關(guān)系，而且也是微積分學(xué)理論應(yīng)用的基礎(chǔ)。隨著科技時(shí)代的發(fā)展，數(shù)學(xué)也隨之大步前進(jìn).其中，微積分的創(chuàng)立，為數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了不可磨滅的基礎(chǔ).積分中值定理是作為微積分中的一個(gè)重要性質(zhì)，而且在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程占有很重要的地位，對(duì)于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)也起著較大作用，在此我就把積分中值定理及其應(yīng)用簡(jiǎn)單清晰論述一下.通常情況下，積分中值定理包含第一積分中值定理、第二積分中值定理.而在此我們既討論了在特殊情況下的積分中值定理，即在一個(gè)區(qū)間上的情形.還討論了在幾何形體上二重、三重積分的情形的積分中值定理.并且這兩個(gè)定理在各個(gè)方面的應(yīng)用都較為廣泛，比如物理學(xué)和數(shù)學(xué).我們將積分中值定理加以應(yīng)用，把微積分體系中比較基礎(chǔ)的東西找出更為簡(jiǎn)單的解決方式：數(shù)學(xué)中一些定理的證明，數(shù)學(xué)定理、命題，幾何應(yīng)用，含定積分的極限應(yīng)用，確定積分符號(hào)，比較積分大小，證明函數(shù)單調(diào)性，估計(jì)積分值.雖然有時(shí)第一積分中值定理在處理一些積分極限問題上顯得很繁瑣，但是我們?nèi)匀豢梢园阉?dāng)作一個(gè)基礎(chǔ)定理，解決一些現(xiàn)實(shí)問題.本課題的研究過程為：討論和分析積分中值定理，然后將其加以推廣，討論各個(gè)積分中值定理中的中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)，最后論述了積分中值定理在各方面的應(yīng)用問題.課題研究的主要目標(biāo)則是通過研究和分析積分中值定理、推廣、漸進(jìn)性，將各方面的應(yīng)用如：估計(jì)積分值，求含有定積分的極限，確定積分號(hào)，比較積分大小，證明函數(shù)的單調(diào)性還有對(duì)阿貝爾判別法和狄理克萊判別法這兩個(gè)定理的證明總結(jié)出積分中值定理并把其以論文的形式整理出來。2微分中值定理2.1微分中值定理的基本內(nèi)容2.1.1羅爾中值定理定理2.1（羅爾中值定理）若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3).則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證明由(1)知在上連續(xù)，故在上必有最大值和最小值，此時(shí)，分兩種情況來談?wù)摚?a)若，即在上得最大值和最小值相等，此時(shí)為常數(shù)，，所以，因此，可知為內(nèi)任意一點(diǎn)都有；(b)若，因?yàn)?，使得最大值和最小值至少有一個(gè)在內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn)，由條件(2)在點(diǎn)處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知，.2.1.2拉格朗日中值定理定理2.2（拉格朗日中值定理）若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證明（利用羅爾定理證明拉格朗日中值定理）上式又可以寫為作輔助函數(shù)顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且.所以由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即2.1.3柯西中值定理定理2.3（柯西中值定理）若函數(shù),滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3),不同時(shí)為零；(4).則在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn),使得.證明作輔助函數(shù).易見在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得.因?yàn)椋ǚ駝t由上式也為零），所以可把上式改成.2.1.4微分中值定理的二元函數(shù)定義定理2.4（二元函數(shù)的羅爾定理）設(shè)二元函數(shù)了在有界閉域上連續(xù)，在開區(qū)域內(nèi)可微分，且在的邊界上函數(shù)值相等，即對(duì)任意,,有，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使..證明因?yàn)樵谟薪玳]區(qū)域上連續(xù)，根據(jù)多元函數(shù)的最大值最小值定理在上取得最大值和最小值，分兩種情形證之:（1）如果，則在上取得相同的數(shù)值，（對(duì)任意）.故可在內(nèi)任意取一點(diǎn)作為,使.（2）如果，則中至少有一個(gè)不等于在的邊界上的數(shù)值，不妨設(shè)，(對(duì)任意)，則在內(nèi)必定至少存在一點(diǎn)，使.這表明，由費(fèi)爾瑪定理便得到.定理2.5（二元函數(shù)的柯西中值定值）如果函數(shù)在閉凸區(qū)域上連續(xù)，在開區(qū)域內(nèi)可微,且.為內(nèi)任一點(diǎn).則對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn),至少存在一點(diǎn)(聯(lián)結(jié)的線段，)，使得.證明為了利用一元函數(shù)的柯西中值定理，作代換.引入,.易見，由連續(xù)、可微、復(fù)合而成的函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且.則根據(jù)一元函數(shù)柯西中值定理，至少存在一點(diǎn)使下式成立..取，由于是凸域，故有.則.定理2.6（二元函數(shù)的拉格朗日中值定理）設(shè)在有界閉凸區(qū)域上連續(xù)，在開區(qū)域內(nèi)可微，，則對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，有證明令.構(gòu)造新的函數(shù).由的連續(xù)性，可微性及復(fù)合關(guān)系，易見在上連續(xù)，內(nèi)可微，由一元函數(shù)的拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得.又由于,且,而是凸域，故有成立.2.2微分中值定理的應(yīng)用2.2.1證明零點(diǎn)存在性例2.1設(shè)且滿足,證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明引進(jìn)輔助函數(shù),顯然.又是多項(xiàng)式函數(shù),在上連續(xù),在可導(dǎo)，即滿足羅爾中值定理的條件，故存在,使.而,故方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.2.2.2導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)例2.2設(shè)在上二次可微,,則至少存在一點(diǎn),使得.證明因?yàn)楹瘮?shù)在與上可導(dǎo),所以由中值定理有,,,并整理得.又且在上二次可微,則分別在與內(nèi)至少存在與，使,并整理得.將式代入式得.令,則.即,.2.2.3證明有關(guān)等式例2.3設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.試證：對(duì)任意給定的正數(shù)在內(nèi)不同的,使.證明由于所以.又由于在上連續(xù)且.由介值性定理,使得.在上分別用拉格朗日中值定理有,即,.即.于是由上面兩式有,.將兩式相加得.即.2.2.4證明不等式例2.4設(shè),證明.證明顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.下證當(dāng)時(shí),有.作輔助函數(shù).則在上滿足拉格朗日中值定理,則使.由于,所以.由,有.即.2.2.5函數(shù)的單調(diào)性例2.5證明：若函數(shù)在可導(dǎo),單調(diào)增加,且,則函數(shù)在也單調(diào)增加.證明對(duì)任意,且,則在與均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,于是分別存在,使,,由于單調(diào)增加,且,所以.從而.即函數(shù)在也單調(diào)增加.2.2.6證明函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)例2.6設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，有，證明：在內(nèi)一致連續(xù).證明由函數(shù)極限的局部有界性知,存在和，使.于是,且不妨設(shè)由柯西中值定理,,有,即,故.當(dāng),且時(shí),由上面兩式得到.于是知在上一致連續(xù)，由于在上連續(xù),所以在上一致連續(xù).2.2.7用來判定級(jí)數(shù)的斂散性例2.7設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證絕對(duì)收斂.證明由且在可導(dǎo),知.故在點(diǎn)處的一階泰勒公式為：,.因,故.取有.由于收斂,由比較判別知絕對(duì)收斂.3積分中值定理3.1積分中值定理的基本內(nèi)容3.1.1積分中值定理定理3.1（積分中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立.證明由于，同時(shí)除以可得.此式表明介于函數(shù)的最大值和最小值之間.由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可得，在閉區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得函數(shù)在點(diǎn)處的值與這個(gè)數(shù)相等，即應(yīng)該有成立，將上式兩端乘以即可得到命題得證.3.1.2積分第一中值定理定理3.2（積分第一中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號(hào)，并且在上是可積的，則在上至少存在一點(diǎn)，使得成立.證明由于在上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)，并且記在上的最大值和最小值為和，即，將不等式兩邊同乘以可知，此時(shí)對(duì)于任意的都有成立.對(duì)上式在上進(jìn)行積分，可得此時(shí)在之間必存在數(shù)值，使得，即有成立.由于在區(qū)間上是連續(xù)的，則在上必定存在一點(diǎn)，使成立.此時(shí)即可得到命題得證.3.1.3積分第二中值定理定理3.3（積分第二中值定理）在區(qū)間上可積，在區(qū)間上單調(diào)，那么在上存在內(nèi)點(diǎn)，使得.特別的，當(dāng)在區(qū)間兩端連續(xù)時(shí)，有.證明用表示區(qū)間上的一個(gè)劃分，表示劃分的最大長(zhǎng)度，設(shè)非負(fù)且單調(diào)不增.將得到，其中.用表示在區(qū)間的上確界，令,則因?yàn)?，則，即.下面將用Abel引理變換上面的式子.令，,那么分別用和來表示的在區(qū)間的上下確界，顯然有，令,由于單調(diào)不增且非負(fù)，則有：，當(dāng)，有，.不等式可寫為.根據(jù)的連續(xù)性，區(qū)間存在內(nèi)點(diǎn)，使得.如果非負(fù)且單調(diào)不減，令,則.其中.因此.綜合可得，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)，積分第二中值定理可表述為,特別地，若在區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)，則3.1.4積分中值定理的二元函數(shù)的三種形式.定理3.4(二元函數(shù)中值定理的第一種形式)若二元函數(shù)在點(diǎn)的鄰域存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，則，全改變量其中證明顯然，若點(diǎn)，則點(diǎn)與，且連接兩點(diǎn)與或與的線段也屬于，如圖3.1圖3.1圖3.1為此，將全改變量改寫為如下形式上述等式右端第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，是常數(shù)，只是由變到；第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)是常數(shù)，只是由變到根據(jù)一元函數(shù)中值定理，有,.其中定理3.5(二元函數(shù)中值定理的第二種形式)設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域上連續(xù)，在所有的內(nèi)點(diǎn)都可微，則對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)存在某使得.證明令.它是定義在上的一元函數(shù)，由定理中的條件知在上連續(xù)，在可微，于是根據(jù)一元函數(shù)中值定理，存在使得.由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得.由于是凸區(qū)域，所以.故由、即得所要證的(3.1)式.定理3.6（二元函數(shù)中值定理的不等式形式）設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，沿任意方向的方向?qū)Т嬖谝恢掠薪纾创嬖谑沟脛t對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)有其中.為證這個(gè)定理，先敘述一個(gè)引理.引理3.1設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)存在，在點(diǎn)沿方向連續(xù).圖圖3.2證明對(duì)任意先證然后在式取極限（先固定）用反證法式，假設(shè)存在內(nèi)點(diǎn)使, 則.把線段上各點(diǎn)按到點(diǎn)的距離大小排列，線段上任意兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)降木嚯x小于到的距離時(shí)，就記為從而可令.由引理得沿方向連續(xù)，故有且.如圖3.2對(duì),,則在沿方向?qū)?shù)矛盾.所以.類似可證(3.5)式左邊，從而(3.4)式成立.3.2積分中值定理的應(yīng)用3.2.1用于確定數(shù)列的極限例3.1證明證明應(yīng)用推廣的積分第一中值定理，有例3.2證明，為某實(shí)數(shù).證明由積分第一中值定理，有.為介于與之間的某值，則或，而.由無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量及迫斂性得3.2.2確定函數(shù)的極限例3.3設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限.解令,則.因?yàn)樗蠛瘮?shù)為型不定式，有洛必達(dá)法則及積分中值定理有此處為介于0與之間，由連續(xù)有3.2.3用于判別級(jí)數(shù)的斂散性例3.4設(shè)單調(diào)下降且非負(fù)，證明與有相同的斂散性.證明=.因?yàn)檫f減非負(fù)，,故.這表明與有相同的斂散性；另一方面，根據(jù)積分法判別與有相同的斂散性，由此既得所要結(jié)論.3.2.4用于確定函數(shù)零點(diǎn)的分布例3.5設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).證明由積分中值定理知：在上存在一點(diǎn)，使得，從而.故在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件.因此在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.3.2.5用于證明積分不等式例3.6設(shè)在上連續(xù)，單調(diào)增加，證明.證明因?yàn)?==,==（單調(diào)增加）.所以3.2.6估計(jì)定積分的值例3.7估計(jì)的值.解由推廣的積分第一中值定理,得其中.因?yàn)?所以.即，故4積分第二中值定理的證明積分第二中值定理：在區(qū)間上可積，在區(qū)間上單調(diào)，那么在上存在內(nèi)點(diǎn)，使得：特別的，當(dāng)在區(qū)間兩端連續(xù)時(shí)，有積分第二中值定理是一個(gè)更為精確的分析工具，在證明這個(gè)定理之前，先介紹Abel引理。Abel引理：數(shù)列和，對(duì)于任意的，有實(shí)際上：下面給出Abel引理的一個(gè)理解方式，便于記憶。眾所周知，積分與求和，微分與差分有許多相似之處，一個(gè)是對(duì)連續(xù)函數(shù)而言，一個(gè)是對(duì)離散的數(shù)列而言，只要把函數(shù)與數(shù)列的一些定理放在一起比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)異曲同工之處。那么就來回顧一下分部積分的方法：區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)與，有再看上面的Abel引理，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，符號(hào)對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)上面的Abel引理就對(duì)應(yīng)了分部積分的這種形式。我們?cè)谟?jì)算積分的時(shí)候，適時(shí)使用分部積分會(huì)給計(jì)算帶來很多好處，同樣對(duì)于數(shù)列的處理，利用Abel引理進(jìn)行變換也能帶來很多好處，下面就進(jìn)入正題，證明積分第二中值定理。用表示區(qū)間上的一個(gè)劃分，表示劃分的最大長(zhǎng)度，接下來設(shè)非負(fù)且單調(diào)不增。將得到：，其中。用表示在區(qū)間的上確界，令，則：因?yàn)?，則，即。下面將用Abel引理變換上面的式子：令，，那么，分別用和來表示的在區(qū)間的上下確界，顯然有，令，由于單調(diào)不增且非負(fù)，則有：，當(dāng)，有，，不等式可寫為：，根據(jù)的連續(xù)性，區(qū)間存在內(nèi)點(diǎn)，使得。如果非負(fù)且單調(diào)不減，令，則，其中，因此，綜合可得，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)，積分第二中值定理可表述為：。特別地，若在區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)，則這種情況可以用分部積分給出推導(dǎo)過程，盡管不是嚴(yán)格的證明，但是從這個(gè)過程中應(yīng)該能加深對(duì)積分第二中值定理的理解。令，可知，則，在區(qū)間上，當(dāng)單調(diào)不減時(shí)，，，單調(diào)不增的情況同理可得。結(jié)束語人們對(duì)中值定理的認(rèn)識(shí)可以上溯到公元前古希臘時(shí)代，對(duì)中值定理的研究從微積分建立之始就開始了，至今有關(guān)中值定理問題的研究非?；钴S，且已有豐富的成果,本課題的研究成果是通過大學(xué)階段的有關(guān)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的學(xué)習(xí),和一些相關(guān)學(xué)科內(nèi)容的知識(shí)的學(xué)習(xí)，并結(jié)合一些相關(guān)的參考圖書資料，以及通過網(wǎng)絡(luò)收集期刊、報(bào)刊和雜志上的相關(guān)內(nèi)容，其中還包括自己對(duì)這些內(nèi)容的理解，還通過多方面的了解和研究，且在此和老師和同學(xué)們的一起探討，通過了解到中值定理的內(nèi)容，也對(duì)二元中值定理做了探討，接著對(duì)中值定理的應(yīng)用做了歸納總結(jié).希望通過本課題能加深對(duì)中值定理的理解和應(yīng)用，也希望通過例題的解析，能使得在應(yīng)用微分中值定理上更加的嫻熟。在自然科學(xué)中、工程技術(shù)，甚至某些社會(huì)科學(xué)中，積分是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念，積分貫穿了我們整個(gè)的學(xué)習(xí)時(shí)段.既然在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處于核心地位，本文就積分中值定理、積分中值定理的推廣、積分中值定理中值點(diǎn)的漸進(jìn)性，積分中值定理的應(yīng)用這幾個(gè)方面來深入研究.在以后的學(xué)習(xí)生活中，積分都是非常重要的基礎(chǔ)和工具，具有一定的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。許多專家學(xué)者對(duì)積分中值定理及其應(yīng)用作了研究，并取得了一定的突破.對(duì)積分中值定理一系列討論和證明是本文的核心點(diǎn)，本文通過一些定理來討論積分中值定理的證明并加以綜合運(yùn)用。參考文獻(xiàn)[1]杜爭(zhēng)光.廣義積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，39（01）：6-10.[2]楊橋艷，屈紅萍.例談與積分有關(guān)的極限問題[J].萍鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，34（06）：17-20.[3]于春華，楊志林.一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣及證明[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017，20（06）：40-41.[4]劉蔣巍.一道積分不等式的命題研究——演繹深化，逆推生成[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017，20（06）：58-60.[5]王良成，馬秀芬，楊明碩.Cauchy積分中值定理逆問題的注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（05）：86-91.[6]李小娟.巧構(gòu)輔助函數(shù)解決微分中值定理相關(guān)習(xí)題[J].教育教學(xué)論壇，2017（40）：223-224.[7]徐建，黃晉.新的Nystrom法解二維第二類Fredholm積分方程[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，40（05）：609-614.[8]胡茂林.介值定理的一種推廣[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，16（03）：210-213.[9]余小飛.積分中值定理在積分不等式中的應(yīng)用[J].當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究，2017（08）：59.[10]黃永忠，周少波，吳潔.一道碩士研究生入學(xué)試題的研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（04）：94-99.[11]嚴(yán)興杰，祁偉.定積分第一中值定理的一點(diǎn)注記[J].教育現(xiàn)代化，2017，4（30）：136-138.[12]劉冬紅，張樹義，叢培根.積分中值定理中間點(diǎn)函數(shù)的可微性[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，18（04）：434-438.[13]劉冬紅，張樹義，鄭曉迪.第二積分中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”的可微性[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，16（06）：5-8.[14]陳杰.微積分中值定理及其應(yīng)用[J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，34（02）：92-94.[15]沈霞，葉浩.關(guān)于復(fù)數(shù)域上的中值定理[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，32（02）：64-65.[16]肖勁森，林全文.一個(gè)推廣的積分中值定理[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，38（06）：1-3.[17]崔艷，儲(chǔ)亞偉，馬玉田，李雯雯.復(fù)變函數(shù)中積分中值定理的改進(jìn)和推廣[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017（02）：34-35+40.[18]潘娟娟，凌雪岷.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的幾類常用方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，33（