2021年湖北省隨州市中考數(shù)學真題試卷 解析版

2021年湖北省隨州市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的）1．2021的相反數(shù)是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣2．從今年公布的全國第七次人口普查數(shù)據(jù)可知，湖北省人口約為5700萬，其中5700萬用科學記數(shù)法可表示為（）A．5.7×106 B．57×106 C．5.7×107 D．0.57×1083．如圖，將一塊含有60°角的直角三角板放置在兩條平行線上，若∠1＝45°，則∠2為（）A．15° B．25° C．35° D．45°4．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)﹣2＝﹣a2 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（a2）3＝a65．如圖是小明某一天測得的7次體溫情況的折線統(tǒng)計圖，下列信息不正確的是（）A．測得的最高體溫為37.1℃ B．前3次測得的體溫在下降 C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是36.8 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是36.66．如圖是由4個相同的小正方體構(gòu)成的一個組合體，該組合體的三視圖中完全相同的是（）A．主視圖和左視圖 B．主視圖和俯視圖 C．左視圖和俯視圖 D．三個視圖均相同7．如圖，從一個大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個小正方形，若隨機向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當梯子與水平地面所成角為α時，梯子頂端靠在墻面上的點A處，底端落在水平地面的點B處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為β，已知sinα＝cosβ＝，則梯子頂端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米9．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中的q＝143，則p的值為（）A．100 B．121 C．144 D．16910．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸的負半軸交于點C，且OB＝2OC，則下列結(jié)論：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④當﹣1＜b＜0時，在x軸下方的拋物線上一定存在關(guān)于對稱軸對稱的兩點M，N（點M在點N左邊），使得AN⊥BM，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對應(yīng)題號處的橫線上）11．計算：|﹣1|+（π﹣2021）0＝．12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長交⊙O于點D，若∠C＝50°，則∠BAD的度數(shù)為．13．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的兩實數(shù)根為x1，x2，若+＝3，則k＝．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使點C′落在AB邊上，則點B所經(jīng)過的路徑長為．（結(jié)果保留π）15．2021年5月7日，《科學》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導量子計算機“祖沖之”號的相關(guān)研究成果．祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學家，他是第一個將圓周率π精確到小數(shù)點后第七位的人，他給出π的兩個分數(shù)形式：（約率）和（密率）．同時期數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有＜x＜，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知＜π＜，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個更為精確的近似分數(shù)為：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)…現(xiàn)已知＜＜，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分數(shù)為．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，OD平分∠AOC交AC于點G，OD＝OA，BD分別與AC，OC交于點E，F(xiàn)，連接AD，CD，則的值為；若CE＝CF，則的值為．三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）17．（5分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝1．18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）證明四邊形BEDF是菱形．19．（10分）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國家對符合條件的人群接種新冠疫苗的號召，某市教育部門隨機抽取了該市部分七、八、九年級教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統(tǒng)計表：已接種未接種合計七年級301040八年級3515a九年級40b60合計105c150（1）表中，a＝，b＝，c＝；（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計的教師中接種率最高的是年級教師；（填“七”或“八”或“九”）（3）若該市初中七、八、九年級一共約有8000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計未接種的教師約有人；（4）為更好地響應(yīng)號召，立德中學從最初接種的4名教師（其中七年級1名，八年級1名，九年級2名）中隨機選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，請用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級的概率．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y2＝（m＞0）的圖象交于點C（1，2），D（2，n）．（1）分別求出兩個函數(shù)的解析式；（2）連接OD，求△BOD的面積．21．（9分）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．（1）求證：AB＝BC；（2）若⊙O的直徑AB為9，sinA＝．①求線段BF的長；②求線段BE的長．22．（10分）如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標系．已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y＝﹣x2+bx+c，現(xiàn)測得A，B兩墻體之間的水平距離為6米．（1）直接寫出b，c的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準備多少根竹竿？23．（11分）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為，其內(nèi)切圓的半徑長為；（2）①如圖1，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點，點O為△ABC的中心，設(shè)點P到△ABC各邊距離分別為h1，h2，h3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝；（結(jié)果用含a的式子表示）②如圖2，P是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，設(shè)點P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1，h2，h3，h4，h5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（參考數(shù)據(jù)：tan36°≈，tan54°≈）（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點A為⊙O外一點，OA＝4，AB切⊙O于點B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留π）②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點G在AF的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點G的位置，并說明理由24．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點P的坐標；（3）如圖2，M是直線BC上一個動點，過點M作MN⊥x軸交拋物線于點N，Q是直線AC上一個動點，當△QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應(yīng)點Q的坐標．

2021年湖北省隨州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的）1．2021的相反數(shù)是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【分析】利用相反數(shù)的定義分析得出答案，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．【解答】解：2021的相反數(shù)是：﹣2021．故選：A．2．從今年公布的全國第七次人口普查數(shù)據(jù)可知，湖北省人口約為5700萬，其中5700萬用科學記數(shù)法可表示為（）A．5.7×106 B．57×106 C．5.7×107 D．0.57×108【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：5700萬＝57000000＝5.7×107，故選：C．3．如圖，將一塊含有60°角的直角三角板放置在兩條平行線上，若∠1＝45°，則∠2為（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】過三角形的60°角的頂點F作EF∥AB，先根據(jù)平行線的性質(zhì)即推出∠EFG＝∠1＝45°，進而求出∠EFH＝15°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：過三角形的60°角的頂點F作EF∥AB，∴∠EFG＝∠1＝45°，∵∠EFG+∠EFH＝60°，∴∠EFH＝60°﹣∠EFG＝60°﹣45°＝15°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠EFH＝15°，故選：A．4．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)﹣2＝﹣a2 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（a2）3＝a6【分析】分別根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義，合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運算法則逐一判斷即可．【解答】解：A．a(chǎn)﹣2＝﹣，故本選項不合題意；B．a(chǎn)2與a3不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；C．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項不合題意；D．（a2）3＝a6，故本選項符合題意；故選：D．5．如圖是小明某一天測得的7次體溫情況的折線統(tǒng)計圖，下列信息不正確的是（）A．測得的最高體溫為37.1℃ B．前3次測得的體溫在下降 C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是36.8 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是36.6【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖和中位數(shù)，眾數(shù)的定義分別進行解答，即可求出答案．【解答】解：由拆線統(tǒng)計圖可以看出這7次的體溫數(shù)據(jù)從第1次到第7次分別為37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．A、測得的最高體溫為37.1℃，故A不符合題意；B、觀察可知，前3次的體溫在下降，故B不符合題意；C、36.8℃出現(xiàn)了2次，次數(shù)最高，故眾數(shù)為36.8℃，故C不符合題意；D、這七個數(shù)據(jù)排序為36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃．中位數(shù)為36.8℃．故D符合題意．故選：D．6．如圖是由4個相同的小正方體構(gòu)成的一個組合體，該組合體的三視圖中完全相同的是（）A．主視圖和左視圖 B．主視圖和俯視圖 C．左視圖和俯視圖 D．三個視圖均相同【分析】先得到該幾何體的三視圖，再進行判斷即可．【解答】解：如圖所示：故該組合體的三視圖中完全相同的是主視圖和左視圖，故選：A．7．如圖，從一個大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個小正方形，若隨機向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【分析】由兩個小正方形面積可推出最大正方形的邊長及面積，從而可求陰影部分的面積，根據(jù)米粒落在圖中陰影部分的概率為陰影部分與大正方形面積比即可得到答案．【解答】解：由圖可知大正方形中的兩個小正方形連長分別為2cm、cm．∴大正方形的邊長為＝3（cm）．則大正方形的面積為＝27，陰影部分的面積為27﹣12﹣3＝12（cm2）．則米粒落在圖中陰影部分的概率為＝．故選：A．8．如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當梯子與水平地面所成角為α時，梯子頂端靠在墻面上的點A處，底端落在水平地面的點B處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為β，已知sinα＝cosβ＝，則梯子頂端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【分析】在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝6（米），在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝6（米），用勾股定理可求EC＝8（米），最后AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米），即得答案．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故選：C．9．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中的q＝143，則p的值為（）A．100 B．121 C．144 D．169【分析】每個圖形中，左邊三角形上的數(shù)字即為圖形的序數(shù)n，右邊三角形上的數(shù)字為p＝n2，下面三角形上的數(shù)字q＝（n+1）2﹣1，先把q＝143代入求出n的值，再進一步求出p的值．【解答】解：通過觀察可得規(guī)律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，∵q＝143，∴（n+1）2﹣1＝143，解得：n＝11，∴p＝n2＝112＝121，故選：B．10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸的負半軸交于點C，且OB＝2OC，則下列結(jié)論：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④當﹣1＜b＜0時，在x軸下方的拋物線上一定存在關(guān)于對稱軸對稱的兩點M，N（點M在點N左邊），使得AN⊥BM，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象可判斷a，b，c的符號，a＞0，b＜0，c＜0，從而可判斷①錯誤；由OB＝2OC可推出點B（﹣2c，0）代入解析式化簡即可判斷②正確；由拋物線與x軸的交點A（﹣2，0）和點B（﹣2c，0），再結(jié)合韋達定理可得x1?x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，可得a＝，即可判斷③正確；根據(jù)a＝，2b﹣4ac＝1，可得c＝2b﹣1，從而可得拋物線解析式為y＝x2+bx+（2b﹣1），頂點坐標為（﹣2b，﹣b2+2b﹣1），繼而可求得A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．所以對稱軸為直線x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由對稱性可知，∠APB＝90°，且點P一定在對稱軸上，則△APB為等腰直角三角形，PQ＝PQ＝＝2﹣2b，得P（﹣2b，2b﹣2），且2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判斷④錯誤．【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（﹣2c，0）．由圖象可知，a＞0，b＜0，c＜0．①：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴．故①錯誤；②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac﹣2b+1＝0，即2b﹣4ac＝1，故②正確；③：∵拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（﹣2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c為相應(yīng)的一元二次方程的兩個根，由韋達定理可得：x1?x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，∴a＝．故③正確；④：如圖，∵a＝，2b﹣4ac＝1，∴c＝2b﹣1．故原拋物線解析式為y＝x2+bx+（2b﹣1），頂點坐標為（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）．∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．∴對稱軸為直線x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由對稱性可知，∠APB＝90°，且點P一定在對稱軸上，∵△APB為等腰直角三角形，∴PQ＝＝[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b，∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，這與﹣1＜b＜0矛盾，故④錯誤．綜上所述，正確的有②③，一共2個，故選：B．二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對應(yīng)題號處的橫線上）11．計算：|﹣1|+（π﹣2021）0＝．【分析】利用絕對值和零指數(shù)冪的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：|﹣1|+（π﹣2021）0＝﹣1+1＝．故答案為：．12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長交⊙O于點D，若∠C＝50°，則∠BAD的度數(shù)為40°．【分析】連接BD，由圓周角定理的推論可知∠ABD＝90°，因為∠C與∠ADB所對的弧為，所以∠ADB＝∠C＝50°．所以∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．【解答】解：連接BD，如圖．∵AD為直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠C與∠ADB所對的弧為，∴∠ADB＝∠C＝50°．∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．故答案為：40°．13．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的兩實數(shù)根為x1，x2，若+＝3，則k＝．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，將其代入已知等式，列出關(guān)于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的兩實數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，∴+＝＝＝3．解得k＝．經(jīng)檢驗，k＝是原方程的解．故答案為：．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使點C′落在AB邊上，則點B所經(jīng)過的路徑長為π．（結(jié)果保留π）【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求∠BAC＝60°，AB＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求∠BAB'＝∠BAC＝60°，由弧長公式可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝，∴AB＝3，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴點B所經(jīng)過的路徑長＝＝π，故答案為：π．15．2021年5月7日，《科學》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導量子計算機“祖沖之”號的相關(guān)研究成果．祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學家，他是第一個將圓周率π精確到小數(shù)點后第七位的人，他給出π的兩個分數(shù)形式：（約率）和（密率）．同時期數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有＜x＜，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知＜π＜，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個更為精確的近似分數(shù)為：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)…現(xiàn)已知＜＜，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分數(shù)為．【分析】根據(jù)“調(diào)日法”逐次進行計算求解．【解答】解：∵，∴利用一次“調(diào)日法”后可得到的一個更為精確的近似分數(shù)為：，∵且，∴，∴再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)為：．故答案為：．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，OD平分∠AOC交AC于點G，OD＝OA，BD分別與AC，OC交于點E，F(xiàn)，連接AD，CD，則的值為；若CE＝CF，則的值為．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得到OA＝OC，即三角形OAC是等腰三角形，又由“三線合一”的性質(zhì)得到點G是AC的中點，可得OG是△ABC的中位線，可得＝；由CE＝CF，可得∠CEF＝∠CFE，再根據(jù)“對頂角相等”，“直角三角形兩銳角互余”等可得∠OFB+∠OBD＝90°，即△OBC是等腰直角三角形，再由OG∥BC，得△BCF∽△DOF，則＝＝＝．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，∴OA＝OC＝OB，∵OD平分∠AOC，∴OG⊥AC，且點G為AC的中點，∴OG∥BC，且OG＝BC，即＝；②∵OD＝OA，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵OG⊥AC，∴∠DGE＝90°，∴∠GDE+∠DEG＝90°，∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD，∴∠OFB+∠OBD＝90°，∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB，∴△OBA是等腰直角三角形，∴BC：OB＝；由（1）知，OG∥BC∴△BCF∽△DOF，∴＝＝＝．故答案為：；．三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）17．（5分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝1．【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：（1+）÷＝＝＝，當x＝1時，原式＝＝﹣2．18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）證明四邊形BEDF是菱形．【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CDF；（2）由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，可求EO＝FO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如圖，連接BD，交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，又∵BD⊥EF，∴平行四邊形BEDF是菱形．19．（10分）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國家對符合條件的人群接種新冠疫苗的號召，某市教育部門隨機抽取了該市部分七、八、九年級教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統(tǒng)計表：已接種未接種合計七年級301040八年級3515a九年級40b60合計105c150（1）表中，a＝50，b＝20，c＝45；（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計的教師中接種率最高的是七年級教師；（填“七”或“八”或“九”）（3）若該市初中七、八、九年級一共約有8000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計未接種的教師約有2400人；（4）為更好地響應(yīng)號召，立德中學從最初接種的4名教師（其中七年級1名，八年級1名，九年級2名）中隨機選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，請用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級的概率．【分析】（1）由統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)求解即可；（2）分別求出七、八、九年級教師的接種率，即可得出結(jié)論；（3）由該市初中七、八、九年級共有的人數(shù)乘以未接種的教師所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩名教師恰好不在同一年級的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45，故答案為：50，20，45；（2）七年級教師的接種率為：30÷40＝0.75，八年級教師的接種率為：35÷50＝0.7，九年級教師的接種率為：40÷60≈0.67，∵0.75＞0.7＞0.67，∴統(tǒng)計的教師中接種率最高的是七年級教師，故答案為：七；（3）根據(jù)抽樣結(jié)果估計未接種的教師約有：8000×＝2400（人），故答案為：2400；（4）把七年級1名教師記為A，八年級1名教師記為B，九年級2名教師記為C、D，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩名教師恰好不在同一年級的結(jié)果有10種，∴選中的兩名教師恰好不在同一年級的概率為＝．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y2＝（m＞0）的圖象交于點C（1，2），D（2，n）．（1）分別求出兩個函數(shù)的解析式；（2）連接OD，求△BOD的面積．【分析】（1）將C、D代入反比例函數(shù)中即可求出m、n的值，代入一次函數(shù)中即可分別求出兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點B坐標即可根據(jù)三角形面積計算公式求出S△BOD．【解答】解：（1）由y2＝過點C（1，2）和D（2，n）可得：，解得：，故y2＝，又由y1＝kx+b過點C（1，2）和D（2，1）可得：，解得，故y1＝﹣x+3．（2）由y1＝﹣x+3過點B，可知B（0，3），故OB＝3，而點D到y(tǒng)軸的距離為2，∴S△BOD＝＝3．21．（9分）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．（1）求證：AB＝BC；（2）若⊙O的直徑AB為9，sinA＝．①求線段BF的長；②求線段BE的長．【分析】（1）連接OD，則OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通過證明得出∠A＝∠C，結(jié)論得證；（2）①連接BD，在Rt△ABD中，利用sinA＝求得線段BD的長；在Rt△BDF中，利用sin∠A＝sin∠FDB，解直角三角形可得結(jié)論；②利用△EBF∽△EOD，列出比例式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）證明：連接OD，如圖，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE．∵BC⊥DE，∴OD∥BC．∴∠ODA＝∠C．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A．∴∠A＝∠C．∴AB＝BC．（2）①連接BD，則∠ADB＝90°，如圖，在Rt△ABD中，∵sinA＝，AB＝9，∴BD＝3．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，∴∠A＝∠FDB．∴sin∠A＝sin∠FDB．在Rt△BDF中，∵sin∠BDF＝＝，∴BF＝1．②由（1）知：OD∥BF，∴△EBF∽△EOD．∴．即：．解得：BE＝．22．（10分）如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標系．已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y＝﹣x2+bx+c，現(xiàn)測得A，B兩墻體之間的水平距離為6米．（1）直接寫出b，c的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準備多少根竹竿？【分析】（1）根據(jù)題意可推出點A坐標為（0，1），點B坐標為（6，2），將這兩點坐標代入二次函數(shù)表達式即可求得b、c的值；（2）將二次函數(shù)一般式化為頂點式，即可求得大棚的最高點；（3）先求出大棚內(nèi)可以搭建支架土地的寬，再求需要搭建支架部分的面積，進而求得需要準備的竹竿．【解答】解：（1）b═，c═1．（2）由y══，可知當x═時，y有最大值，故大棚最高處到地面的距離為米；（3）令y═，則有═，解得x1═，x2═，又∵0≤x≤6，∴大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬為6﹣═（米），又大棚的長為16米，∴需要搭建支架部分的土地面積為16×═88（平方米），故共需要88×4═352（根）竹竿，答：共需要準備352根竹竿．23．（11分）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為，其內(nèi)切圓的半徑長為1；（2）①如圖1，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點，點O為△ABC的中心，設(shè)點P到△ABC各邊距離分別為h1，h2，h3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝；（結(jié)果用含a的式子表示）②如圖2，P是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，設(shè)點P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1，h2，h3，h4，h5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（參考數(shù)據(jù)：tan36°≈，tan54°≈）（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點A為⊙O外一點，OA＝4，AB切⊙O于點B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留π）②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點G在AF的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點G的位置，并說明理由【分析】（1）先求出斜邊長為5，由等面積法可得斜邊上高為，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，利用分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積可得：S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO，從而可得內(nèi)切圓半徑r＝1；（2）①易知△ABC的面積為＝，由等面積法可得：易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，所以h1+h2+h3＝，②運用類比①的方法可得：（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五邊形ABCDE，設(shè)點O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA，OB，易知S五邊形ABCDE＝5S△OAB，過O作OQ⊥AB于點Q，由多邊形內(nèi)角和公式可得∠EAB＝108°，故∠OAQ＝54°，故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，解得h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．（3）①根據(jù)等面積法，有S△OCB＝S△ACB，則圖中陰影部分的面積即為扇形OCB的面積．可證明扇形OCB圓心角度數(shù)為60°，則S扇形OCB＝＝＝陰影面積，②連接DF，過點E作EG∥DF交AF的延長線于點G，則點G即為所求，連接DG．運用等面積法即可證明．【解答】解：（1）如圖所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，設(shè)斜邊上高為h，由等面積法可知：AC?BC＝h?AB，＝．設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，利用分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積可得：S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．即3×4÷2＝AC?r+BC?r+AB?r，即＝6，∴r＝＝＝1．故答案為：，1；（2）①：由已知中圖可知，△ABC的面積為＝，由等面積法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，解得：h1+h2+h3＝．故答案為：．②：類比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五邊形ABCDE，設(shè)點O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA，OB，如圖2．易知S五邊形ABCDE＝5S△OAB，過O作OQ⊥AB于點Q，∠EAB＝＝108°，故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ?tan54°＝，故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，從而得到：h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．（3）①：若以BC作為△OCB和△ACB的底，則△OCB和△ACB等高，∴S△OCB＝S△ACB．∴圖中陰影部分的面積即為扇形OCB的面積．∵AB切⊙O于點B，∴∠OBA＝90°，又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∴△OCB為等邊三角形．∴∠COB＝60°，∴S扇形OCB＝＝．故陰影部分面積為．故答案為：．②如圖3，連接DF，過點E作EG∥DF交AF的延長線于點G，則點G即為所求．連接DG，∵S六邊形ABCDEF＝S五邊形ABCDEF+S△DEF，∵EG∥DF，∴S△DEF＝S△DGF，∴S六邊形ABCDEF＝S五邊形ABCDF+S△DGF＝S五邊形ABCDG．24．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點P的坐標；（3）如圖2，M是直線BC上一個動點，過點M作MN⊥x軸交拋物線于點N，Q是直線AC上一個動點，當△QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應(yīng)點Q的坐標．【分析】（1）根據(jù)頂點的坐標，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y＝2x﹣6，過點C作CP1∥BD，交拋物線于點P1，再運用待定系數(shù)法求出直線CP1的解析式為y＝2x﹣3，聯(lián)立方程組即可求