2022高考數(shù)學真題分類匯編05 函數(shù)與導數(shù)（教師版）

2022高考數(shù)學真題分類匯編

五、函數(shù)與導數(shù)

一、選擇題

7171

1.(2022?全國甲(文T7)(理T5))函數(shù)舊|在區(qū)間一展,的圖象大致為

()

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

【詳解】令/(x)=(3,一37)cosx,xe一%,三,

則/(-x)=(3-x-3')cos=-3~x)cosx=-f(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，排除BD；

又當岡時，|岡所以f(x)>0,排除C.

故選：A.

2.(2022?全國甲(文T8)(理T6)).當x=l時，函數(shù)/'(x)=alnx+2取得最大值一2,則

X

八2)=()

A.-1B.岡C.gD.I

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知/(1)=-2,/'(1)=0即可解得。力，再根據(jù)舊|即可解出.

【詳解】因為函數(shù)/(九)定義域為(0,+。)，所以依題可知，/。)=-2,/'。)=0,而

/,(x)=-,所以8=_2,。_/?=0,即a=—2,Z?=_2,所以/'(x)=_2+±.,因

此函數(shù)/(x)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，x=l時取最大值，滿足題意，即有

故選：B.

3.(2022?全國乙(文T8)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則

該函數(shù)是()

—x+3x

A.C.岡D.

，二F

2sinx

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

【詳解】設岡，則門r一故排除民

設〃(*)=等彳，當國時,

入I1

所以/2(力=好竺＜3-41,故排除C;

7X+1X+1

、2sinxe小2sin3八

設g(x)=K'則8閉=?。尽?故排除D-

故選：A.

4.(2022?全國乙(理)T12)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且

若丁=g(x)的圖像關于直線耳對稱,

22

g⑵=4,則￡/(&)=()

hl

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到|國從而得到

因」|岡—然后根據(jù)條件得到

/(2)的值，再由題意得到g(3)=6從而得到|因|的值即可求解.

【詳解】因為y=g(x)的圖像關于直線耳］對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)―/(x-4)=7,所以|反］~即g(x+2)=7+/(x-2),

因為/(x)+g(2-幻=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得|國］,即/(%)+/(%-2)=-2,

所以底廠一I,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因為/(x)+g(2—x)=5,所以|臼即|臼所以

/(2)=-2-/(0)=-3,

因為g(x)-/(x-4)=7,所為反]又因為f(x)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，|區(qū)|,

所以y=g(x)的圖像關于點|中心對稱,因為函數(shù)g(x)的定義域為R,

所以g⑶=6

因為/(x)+g(x+2)=5,所以|國.

所以

22

J；/(A:)=/(l)+/(2)+[/(3)+/(5)+...+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+/(22)]=-l-3-10-10=-24

攵=1

故選：D

【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當

的轉(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關系式從而解題.

5.（2022?新高考I卷T10）己知函數(shù)Q，則（）

A./（X）有兩個極值點B.f（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線舊|的對稱中心D.I的切

線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結(jié)合/a）的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷

C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，r（x）=3d—l,令/'（x）＞0得,甲J

令（（幻＜。得0

上單調(diào)遞減，在（-00,-多口上單調(diào)遞增,

所以/（X）在囚

所以是極值點，故A正確;

因

所以，函數(shù)“X）在上有一個零點,

當xN走時,a

，即函數(shù)“X）在,+8上無零點,

37

綜上所述，函數(shù)/*）有一個零點，故B錯誤;

令=一X,該函數(shù)的定義域為R,h{-x)=(-X)3-(-X)=-x3+x=-//(x),

則〃（x）是奇函數(shù)，（0,0）是〃（x）的對稱中心,

將〃（x）的圖象向上移動一個單位得到/（x）的圖象，

所以點（0,1）是曲線|w|的對稱中心,故C正確；

令/'（彳）=3/-1=2,可得x=±l,又/（D=/（-1）=1，

當切點為（U）時，切線方程為r^j當切點為?岡?時,切線方程為y=2x+3,

故D錯誤.

故選：AC

6.(2022?新高考I卷T12)已知函數(shù)/5)及其導函數(shù)|的定義域均為R,記

臼若/(］一2*)，|同|均為偶函數(shù),則()

A./(0)=0B.g［-；］=0C.||D.

【答案】BC

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化題設條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

逐項判斷即可得解.

【詳解】因為/|口|均為偶函數(shù),

所以岡即岡，|臼，「

所以〃3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則〃-1)"(4),故C正確;

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關于直線岡對稱，

又|因且函數(shù)/(x)可導，

所以囚，

所以［x|,所以國，

所以岡，|國|，故B正確，D錯誤；

若函數(shù)fW滿足題設條件，則函數(shù)|岡|(C為常數(shù))也滿足題設條件,所以無法確定fM

的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準確把握原函數(shù)

與導函數(shù)圖象間的關系，準確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時結(jié)合圖象)即可得解.

7.(2022?新高考n卷T8)若函數(shù)f(x)的定義域為R,且

22

/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則￡/(%)=()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的

國|的值,即可解出.

【詳解】因為〃x+y)+〃x—y)=/(x)/(y),令后I可得，舊

所以|因令|囚|可得,|岡即|因—所以函數(shù)/(同

為偶函數(shù)，令|問|得,,/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有

岡，從而可知岡，岡?

故但即同所以函數(shù)/(x)的一個周期為6?

因為岡，岡，

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,|國|岡所以

一個周期內(nèi)的回]由于22除以6余4,

所以岡

故選：A.

/(x)=-------

8.,2022?北京卷T4)、知函數(shù)]+21則對任意當數(shù)居有()

A.|」—一|B.|臼一

c.I臼----D.岡

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

【詳解】a,故A錯誤，C正確;

可

,不是常數(shù)，故BD

錯誤;

故選：C.

9.(2022?北京卷T7)在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶'’使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨

界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)

與T和巨|的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正

確的是（）

A.當值|習I時,二氧化碳處于液態(tài)

B.當|w|目|時,二氧化碳處于氣態(tài)

C.當|岡|囚時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當臼7時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)T與直|的關系圖可得正確的選項.

【詳解】當國二］,臼|時,也尸＞3,此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.

當I,|，|W|時,|團|，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.

當|囚I，I目I時,㈤與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，

另一方面，|可|時對應的是非超臨界狀態(tài),故C錯誤.

當|岡I，I岡I時,因|岡|,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài),故D正確.

故選：D

10.(2022?浙江卷T7)已知g.則I岡I()

A.25B.5C.時

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，塞的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

【詳解】因為|國可，即|,所以

0

故選：c.

二、填空題

1.(2022?全國乙(文T16)若因是奇函數(shù)，則。=,b=

【答案】①.岡；In2.

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】因為函數(shù)因為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱.

由。+」一。0可得，［g―I,所以囚，解得：

1-x--------------------------I

數(shù)的定義域為［由再由I可得,|管即

/(x)=In—:+「一+In2=In手，在定義域內(nèi)滿足國I,符合題意.

故答案為：岡；ln2.

2.(2022?全國乙(理)T16)已知閆|和「工分別是函數(shù)回|(臼I且岡I)

的極小值點和極大值點.若|田則。的取值范圍是.

—(1-

【答案】-J

leJ

【解析】

【分析】由4電分別是函數(shù)/(x)=2a’-ef的極小值點和極大值點，可得

國1時,f\x)<Q,舊|時,f(x)>0,再分可和0<”1

兩種情況討論，方程|可|的兩個根為x”x”即函數(shù)|岡與函數(shù)

國二］的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)|岡根據(jù)導數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖

象即可得出答案.

［詳解］解：叵I,

2

因為x?x2分別是函數(shù)/(x)=2a'-ex的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)/⑺在舊卜后|上遞減,在舊|上遞增,

所以當舊|時,/'(x)<0,當何|時,/'(%)>0,

若a>］時,

當x<0時，|岡

則此時r(x)>o,與前面矛盾，

故不符合題意,

設過原點且與函數(shù)因的圖象相切的直線的切點為區(qū)

則切線的斜率為區(qū)

故切線方程為|~f1一

2v<)

則有-lna-a*=-xolna-a,

所以|臼，解得I

又Ovavl,所以

綜上所述，〃的范圍為

【點睛】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討

論思想，有一定的難度.

3.（2022?新高考I卷T15）若曲線|岡|有兩條過坐標原點的切線,則。的取值范圍

是.

［答案］舊—-

【解析】

【分析】設出切點橫坐標/，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到

關于X。的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得。的取值范圍.

［詳解］1區(qū)］,:.\a|,

設切點為I叵］］,則I區(qū)切線斜率I叵］

切線方程為：|國

?.?切線過原點，g,

整理得：|岡

V切線有兩條，????=a2+4a>0,解得|岡條三f"l

?的取值范圍是［百一,

故答案為：叵］

4.（2022?新高考II卷T14）寫出曲線|岡|過坐標原點的切線方程:,

【答案】①.B（2）.|岡|

【解析】

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為舊］,求出函數(shù)導函數(shù),

即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出％,即可求出切線

方程，當x<0時同理可得；

【詳解】解：因為|國卜

當尤>。時而I，設切點為舊―|，由|岡所以岡，所以切線方程為

又切線過坐標原點，所以岡，解得|兇所以切線方程為岡

即尸J；

當x<0時國一設切點為|區(qū)］由|岡J所以岡，所以切線

方程為岡，

又切線過坐標原點，所以因，解得|囚所以切線方程為

a

5.（2022?北京卷T11）里數(shù)I_________________I的定義域是_________.

［答案］同

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可;

【詳解】解：因為囚，所以因，解得XW1且X。。,

故函數(shù)的定義域為國

故答案為：國——

a

6.（2022?北京卷T14）設函數(shù)I_______________________I若/“）存在最小值，則”的一個取

值為;a的最大值為.

【答案】①0（答案不唯一）②.1

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)「W|的單調(diào)性進行分類討論,可知，國二|符合條件，

1不符合條件，時函數(shù)目|沒有最小值,故/（X）的最小值只能取|臼一

的最小值，根據(jù)定義域討論可知|岡］或|國解得|囚.

【詳解】解：若向二|時，岡，I岡

若I叼I時,當x<a時，|回單調(diào)遞增,當與二|時，|弘|,故fa）沒

有最小值，不符合題目要求；

若目二I時，

當x<a時，|于］單調(diào)遞減,/（x）>/（a）=-?2+l,

當x>a時，岡

???|V|或|71-I,

解得I岡I，

練上可得I；

故答案為：o（答案不唯一），1

7.（2022?浙江卷T14）已知函數(shù)-則M?；若當

臼|時,臼則Z?_a的最大值是.

【答案】①.②.3+6閘岡

2o

【解析】

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出。的最小值，。的最大值即可.

【詳解】由已知/（，）=—口■）+2=-,因，

所以因，

當時，由I臼I可得I岡|，所以I岡|，

當x>l時，由I區(qū)可得岡，所以1cxW2+JL

等價于g，所以區(qū)

所以匕一。的最大值為3+6-

37

故答案為：,3+A/3-

三、解答題

1.(2022?全國甲(文)T20)已知函數(shù)/。)=%3一%送(％)=/+4,曲線|岡|在點

(X"(芭))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若|因卜求。；

(2)求。的取值范圍.

【答案】(1)3(2)國

【解析】

【分析】(1)先由/(X)上的切點求出切線方程，設出g(x)上的切點坐標，由斜率求出切點

坐標，再由函數(shù)值求出“即可；

(2)設出g(x)上的切點坐標，分別由f(x)和g(x)及切點表示出切線方程，由切線重合表示

出。，構(gòu)造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得〃的取值范圍.

【小問1詳解】

由題意知，|岡|，|岡—|岡則|岡|在點

|因［處的切線方程為岡一|，

即|臼設該切線與g(x)切于點|區(qū)］|岡I，則|岡~|，解

得|岡］,則|年解得耳］:

【小問2詳解】

岡則|岡|在點］臼|處的切線方程為

0,整理得0,

設該切線與g(x)切于點|回|,|，則|岡|,則切線方程為

+a）=2%2（%一%2），整理得y=2X2X-X1+a,

[xl[x]

則I,整理得

令岡，則舊令應

解得口或X>1，

，解得|岡|或目I，則x變化時,

令向的變化情況如下表:

O□

X00(0,1)1(1,+°0)

同—0+0—0+

0

a

h(x)/-1/

2.（2022?全國甲（理）T21）已知函數(shù)0

（1）若f（x）*0,求a的取值范圍;

（2）證明：若/（X）有兩個零點%,々，則環(huán)回.

【答案】（1）|臼

（2）證明見的解析

【解析】

【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為司，再利用導數(shù)即

可得證.

【小問1詳解】

/⑴的定義域為（0,+8）,

件a

令I岡I，得X=1

當xe(0,1),/'(X)<0,/(x)單調(diào)遞減

當|岡|單調(diào)遞增|.

若I狂I廁同I,即同I

所以“的取值范圍為I.

【小問2詳解】

由題知,/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設岡

，即證|囚|

要證岡

即證a

即證a

回

下面證明X>1時,

所以，所以

所以g(x)在I.I單調(diào)遞增

岡

即國，所以

所以〃(x)在I田I單調(diào)遞減

即向

綜上,，所以回

【點睛】關鍵點點睛：本題極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等

式

這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握

3.(2022?全國乙(文)T20)已知函數(shù)回.

(1)當|叼I時,求/")的最大值；

(2)若〃x)恰有一個零點，求a的取值范圍.

【答案】(1)-1

(2)(0,4-oo)

【解析】

【分析】(1)由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；

(2)求導得岡，按照耳|、0＜。＜1及。＞1結(jié)合導數(shù)討論函數(shù)的單

調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.

【小問1詳解】

當耳J時，岡，則廣(力=2一/=爰，

當|岡|時,同“X)單調(diào)遞增；

當向|時,/(x)單調(diào)遞減；

所以|國卜

【小問2詳解】

百I,則因，

當目1時,IV］I，所以當舊|時,同卜/（X）單調(diào)遞增;

當回I時，/4》）<。,/（X）單調(diào)遞減；

所以同L此時函數(shù)無零點，不合題意；

當0<4<1時，］岡）在岡上，［g/（x）單調(diào)遞增;

/（x）單調(diào)遞減;

又|臼］,當X趨近正無窮大時，“X）趨近于正無窮大,

所以/（x）僅在、,+=0）有唯一零點，符合題意;

當目二I時，乂，所以“X）單調(diào)遞增，又國

所以/（X）有唯一零點，符合題意;

當a>1時/（X）單調(diào)遞增;

所以/（X）有唯一零點，符合題意;

綜上，a的取值范圍為（0,+8）.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問

題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.

4.（2022?全國乙（理）T21）已知函數(shù)/（x）=ln（l+x）+axe7

（1）當國二|時，求曲線|岡］在點|叵］］處的切線方程;

（2）若“X）在區(qū)間國忸恰有一個零點,求〃的取值范圍.

【答案】（1）|岡

（2）|臼

【解析】

【分析】(1)先算出切點，再求導算出斜率即可

(2)求導，對4分類討論，對X分后一I兩部分研究

【小問1詳解】

/5)的定義域為而|

當目1時,岡，所以切點為(0,0)

岡，所以切線斜率為2

所以曲線|囚|在點|7]|處的切線方程為后二

【小問2詳解】

0

0

設|國

用|工I，當尤G(TO),g(x)=ev+a(l-f)＞。,即目

所以在|又]|上單調(diào)遞增，目

n商囚L當?丘I，則回

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以|遇即兇

所以/(X)在(0,+00)上單調(diào)遞增，同

故fM在(0,-KO)上沒有零點，不合題意

由耳1

⑴當|囚~|，則I網(wǎng)所以g(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞增

當向一一

所以/(X)在IVI上有唯一零點

又|回I沒有零點，即fM在(0,+oo)上有唯一零點

設岡

"(x)=e'-2a>0

所以可在|岡］單調(diào)遞增

a

所以存在|臼使得|臼

當I岡|單調(diào)遞減

當xe(〃,O),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增且__________________

又g(-l)」>0

e

所以存在I國使得I扇網(wǎng)向I

當|后］單調(diào)遞增，當「臼I單調(diào)遞減

有回—___________

而/(。)=(),所以當I臼

所以/(X)在|上有唯一零點J岡I上無零點

即/(X)在目二I上有唯一零點

所以耳H，符合題意

所以若所X)在區(qū)間而-I各恰有一個零點，求a的取值范圍為巨

y

【點睛】方法點睛：本題的關鍵是對“的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要

說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.

5.(2022?新高考I卷T22)已知函數(shù)/(x)=e*-ox和g(x)="-lnx有相同最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線百二其與兩條曲線國二］#y=g(x)共有三個不同的交點，并

且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

【答案】(1)臼|

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應的最小值，根據(jù)最小值相等可求

。注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當印時，|的解的個數(shù)、|V|的解的個數(shù)均為2,

構(gòu)建新函數(shù)向利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得向|的

大小關系，根據(jù)存在直線后~~|與曲線國|、|區(qū)|有三個不同的交點可得用的取

值，再根據(jù)兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.

【小問1詳解】

|岡|的定義域為R，而|岡|,

若耳I，則|岡|，此時無最小值，故日「

8(幻=奴一111%的定義域為(0,+8),而岡

當|岡|時,f'(x)<0,故/(x)在向~|上為減函數(shù),

當［三］I時,|JI，故/(X)在因一上為增函數(shù)，

故|國一?

當|岡卜,I囚I，故g(x)在回上為減函數(shù)，

當囚時,ITII,故g(x)在(L+m］上為增函數(shù),

因為|臼|和g(x)=Inx有相同的最小值，

故岡，整理得到可，其中國二］,

故I叵］I的唯一解為百~I,故岡的解為向

綜上，I囚|.

【小問2詳解】

由（1）可得|）［和|臼―|的最小值為區(qū)

當可時,考慮|口|的解的個數(shù)、|W|的解的個數(shù).

設同~S,（x）=ev-1,

當x<0時，［岡］,當x>0時，岡.

故舊|在叵一|上為減函數(shù),在（。,物）上為增函數(shù)，

所以S（xL=S（°）T2<°，

而岡，岡，

設I國1其中可，則回

故舊|在（L+0。）上為增函數(shù),故“（0）>"l）=e-2>0,

故國故|國一|有兩個不同的零點,即|岡|的解的個數(shù)為2.

設岡因，

當I.I時,|因"|，當x>l時，岡—I

故|因歸巨上為減函數(shù),在（1,轉(zhuǎn)）上為增函數(shù)，

所以T（x）“,=7（1）=1一。<0,

而國>S,

岡~|有兩個不同的零點即|囚|的解的個數(shù)為2.

當［可,由（1）討論可得r^jI、?也?僅有一個零點,

當耳時，由（1）討論可得?岡|、?口?均無零點,

故若存在直線百~1與曲線舊一|、|叵］將三個不同的交點,

則1目L

故|W|在(°，+8)上為增函數(shù)，故I區(qū)"I即H

所以岡，所以/i(x)在(0,叱)上為增函數(shù)，

7I司

而I回I,，

故〃(X)在(0,+8)上有且只有一個零點飛,岡且：

當問時，［x］即e*-x<x-Inx即|因」,

當|岡的，〃(％)>。即e、-x>x-Inx即回］，

因此若存在直線|季|與曲線晅］、|團|有三個不同交點，

故|耳卜

此時I習］有兩個不同的零點|岡

此時|囚有兩個不同的零點|因］,

故I岡］|岡:岡'岡

所以I叵I-I即I區(qū)］即S，

故I岡I為方程IwI的解,同理I岡I也為方程I岡］的解

又回I可化為國［即舊網(wǎng)岡

故包」為方程I囚I的解,同理回口也為方程I囚-|的解，

所以S，而向二I，

故,即I岡.

【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參

數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.

6.(2022?新高考II卷T22)已知函數(shù)|岡.

(1)當國二|時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當x>0時，J7］，求〃的取值范圍；

(3)設司，證明：岡

【答案】(I)/(x)的減區(qū)間為因，增區(qū)間為(0,+8).

(2)|岡|

(3)見解析

【解析】

【分析】(1)求出舊],討論其符號后可得/(x)的單調(diào)性.

(2)設同卜求出|國先討論|時題設中的不等式不成立,再就

|因卜合放縮法討論可|符號,最后就可1結(jié)合放縮法討論〃(x)的范圍后可得參數(shù)

的取值范圍.

(3)由(2)可得囚對任意的國｝恒成立，從而可得因?qū)?/p>

任意的|.|恒成立,結(jié)合裂項相消法可證題設中的不等式.

【小問1詳解】

當國二I時，|國一,則岡，

當x<0時，<0,當x>0時，同

故/(x)的減區(qū)間為叵I,增區(qū)間為(0,+8).

【小問2詳解】

設岡，則區(qū)I，

又岡，設岡，

貝憫，

若I岡J,則I國一

因為巨1為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在|國一|，使得|因總有g?x)>0，

故I國I在[百~~|為增函數(shù),故|國—I，

故〃(x)在場~~|為增函數(shù),故〃(尤)>〃(0)=-1,與題設矛盾.

若岡，則叵1

下證：對任意x>0,總有國成立,

證明：設S(x)=ln(l+x)-尤，故回

即岡成立.

由上述不等式有回

故0總成立，即〃(力在(0,+8)上為減函數(shù),

所以|國.

當I臼附，有旦>

所以網(wǎng)力在(0,+8)上為減函數(shù),所以〃(x)<〃(0)=-1.

綜上,

【小問3詳解】

取岡

，則|岡I，總有岡成立,

令I岡］,則區(qū)

故E即岡對任意意'成立.

所以對任意的

整理得到:a

111

故]—]-----1-~/=>In2-In1+In3-In2H---Fln(/i+l)-lnrt

Vl2+16+2冊

a

故不等式成立.

【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注

意結(jié)合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)

不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.

7.(2022?北京卷T20).百知函數(shù)目________________

(1)求曲線|囚|在點|三]|處切線方程；

(2)設|臼],討論函數(shù)g(x)在國二|上的單調(diào)性:

(3)證明：對任意的|岡