專題23 平行四邊形【有答案】

專題23平行四邊形問題1.平行四邊形定義有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“□ABCD”表示，讀作“平行四邊形ABCD”。2.平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。4.平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah【例題1】（2020?溫州）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作?BCDE，則∠E的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠C，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴∠E＝70°．【對點練習(xí)】（2019?山東臨沂）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點，BM＝DN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【答案】A【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知：OA＝OC，OB＝OD，再證明OM＝ON即可證明四邊形AMCN是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD∵對角線BD上的兩點M、N滿足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形．【例題2】（2020?涼山州）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE∥AB交AD于點E，若OA＝1，△AOE的周長等于5，則?ABCD的周長等于16．【答案】16．【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，證OE是△ABD的中位線，則AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，則AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位線，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周長等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴?ABCD的周長＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；【對點練習(xí)】（2019?湖北武漢）如圖所示，在?ABCD中，E.F是對角線AC上兩點，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，則∠ADE的大小為．【答案】21°．【解析】設(shè)∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°?！纠}3】（2020?揚州）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F，連接AF、CE．（1）若OE=32，求（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【答案】見解析?！痉治觥浚?）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，進(jìn)而得出（2）先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC，即可得到四邊形AECF是菱形．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3∴EF＝2OE＝3；（2）四邊形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．【對點練習(xí)】(湖南省永州市)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．(1)求證：BE=CD．(2)連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．【答案】見解析。【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB．又AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴BE=AB．又AB=CD，∴BE=CD．（2）∵BE=AB，BF⊥AE，∴AF=EF，∵AD∥BE，∴∠D=∠DCE，∠DAF=∠FEC，∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴S平行四邊形ABCD=S△ABE．∵BE=AB，∠BEA=60°，∴△ABE為等邊三角形．∴S△ABE=AE·BF=×4×4sin60°=×4×4×=．∴S平行四邊形ABCD=．一、選擇題1．（2020?衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，可以得到選項A中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以得到選項B中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以得到選項D中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；選項C中的條件，無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；∵AB∥DC，AD＝BC，則無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C中的條件，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形.2．（2020?臨沂）如圖所示，P是面積為S的?ABCD內(nèi)任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則（）A．S1+S2＞S2 B．S1+S2C．S1+S2=S2 D．S1+S2的大小與【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形和平行四邊形的面積、三角形的面積，即可得到S和S1、S2之間的關(guān)系，本題得以解決．【解析】過點P作EF⊥AD交AD于點E，交BC于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴S＝BC?EF，S1=AD∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=3．（2020?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是邊BC的中點，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點，且∠BFC＝90°．連接AF并延長，交CD于點G．若EF∥AB，則DG的長為（）A．52 B．32【答案】D【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到EF的長，再根據(jù)梯形中位線定理，即可得到CG的長，進(jìn)而得出DG的長．【解析】∵E是邊BC的中點，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF=12∵EF∥AB，AB∥CG，E是邊BC的中點，∴F是AG的中點，∴EF是梯形ABCG的中位線，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝24.（2019?廣西池河）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在DE延長線上，添加一個條件使四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【答案】B．【解析】利用三角形中位線定理得到DEAC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇．∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DEAC．A.根據(jù)∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．B.根據(jù)∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確．C.根據(jù)AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．D.根據(jù)AD＝CF，F(xiàn)D∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．二、填空題5．（2020?武漢）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是?ABCD的對角線，點E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，則∠BAC的大小是．【答案】26°．【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°6．（2020?天津）如圖，?ABCD的頂點C在等邊△BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上，G為DE的中點，連接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為．【答案】32【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到BF和BE的長，然后可以證明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的長．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC+CF＝5，∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，延長CG交BE于點H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，∠CDG=∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等邊三角形，∴CH＝BC＝3，∴CG=127．（2019湖南婁底）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是．【答案】9．【解析】∵E為AD中點，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，∴OE=CD，∵△BCD的周長為18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO的周長是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=98.（2019河南?。┤鐖D，在□ABCD中，BE⊥AB交對角線AC于點E，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)是_________.【答案】110°【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和和三角形外角的性質(zhì)求角的大小，解題的關(guān)鍵是熟練運用平行四邊形性質(zhì)或三角形外角的有關(guān)知識．思路：首先利用平行四邊形的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∵∠2是△ABE的外角∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110，故答案為110°.9.(2019浙江金華)如圖,已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，則∠AED的度數(shù)是.【答案】80°【解析】延長DE交AB于F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角的關(guān)系可以確定∠AED的度數(shù)．延長DE交AB于F，因為AB∥CD，BC∥DE，所以四邊形BCDF為平行四邊形，因為∠C＝120°，所以∠BFD＝120°，所以∠AFD＝60°，又∠A＝20°，所以∠AED＝60°+20°＝80°，故答案為80°.三、解答題10．（2020?廣元）已知?ABCD，O為對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面積為2，求?ABCD的面積．【答案】見解析?！痉治觥浚?）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出結(jié)論；（2）由于AE：AD＝1：2，O為對角線AC的中點，得出△AEO∽△ADC，根據(jù)△AOE的面積為2，可得△ADC的面積，進(jìn)而得到平行四邊形ABCD的面積．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中點，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，∠EAO=∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵AE：AD＝1：2，O為對角線AC的中點，∴AO：AC＝1：2，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵△AOE的面積為2，∴△ADC的面積為8，∴平行四邊形ABCD的面積為16．11．（2020?青島）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當(dāng)BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由．【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，從而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根據(jù)SAS即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)BD平分∠ABC和平行四邊形的性質(zhì)，可以證明?ABCD是菱形，從而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根據(jù)題目中的條件，可以證明四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據(jù)AC⊥EF，即可得到四邊形AFCE是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）當(dāng)BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE是菱形．12．（2020?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，分別過點A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度數(shù)；（2）求證：AE＝CF．【答案】見解析?！痉治觥浚?）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAO，利用角平分線的定義求出∠DAC，再利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．（2）證明△AEO≌△CFO（AAS）可得結(jié)論．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．13．（2020?岳陽）如圖，點E，F(xiàn)在?