一類非線性微分方程行波解的動(dòng)力系統(tǒng)分岔方法

一類非線性微分方程行波解的動(dòng)力系統(tǒng)分岔方法

0非線性方程的行波解非線性方程可以描述許多重要的物理現(xiàn)象，并探討非線性微分方程的行波解。近年來，許多非線性方程的精確解論方法相繼提出，如齊次平衡法、主觀哈希函數(shù)法、jacobi橢圓形函數(shù)開方法、darbox變換法、第一個(gè)積分法、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分離法等。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分離法已經(jīng)發(fā)展成為研究非線性方程的一種簡(jiǎn)單有效的方法。這一方法可以清楚地闡明非線性方程奇怪行為波解的動(dòng)力學(xué)原因。隨著研究的深入，人們對(duì)非線性方程的不同類型的行波解進(jìn)行了澄清，如滑動(dòng)波解、扭轉(zhuǎn)波解、窄波解、尖子解和尖角子解。峰值孤子解和奇角子解（cuspon）由于波峰一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性而更受關(guān)注。這兩種行為的波形非常相似，但波峰一側(cè)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)完全不同。為了理解非線性色散在波狀圖案形成的作用,Shang提出了一類廣義的非線性色散的BBM方程φt+(φm)x-(φn)xxt=0,m,n>1,并針對(duì)m,n的不同情形利用擴(kuò)展的sine-cosine方法得到上述方程一些精確的行波解。Jiang等利用動(dòng)力系統(tǒng)分岔方法研究了當(dāng)m=n=2時(shí),即下面B(2,2)方程的全局動(dòng)力學(xué)行為,并給出方程(1)更多類型的行波解,如光滑孤立波解、緊孤立波解和尖峰孤立波解等,其中尖峰孤立波解為。本文利用動(dòng)力系統(tǒng)分岔方法及漸近分析證明了方程(1)存在尖角子解,并給出了這些解的解析表達(dá)式。1系統(tǒng)平衡的性質(zhì)對(duì)方程(1)作行波變換φ(x,t)=φ(ξ)(ξ=x-ct),得到常微分方程其中g(shù)為積分常數(shù)。令,得到下面的平面動(dòng)力系統(tǒng)作變換dξ=2cφdτ,則(3)變?yōu)橄到y(tǒng)(3)和(4)具有相同的首次積分其中h為任意常數(shù)。若記,則由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論得到系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)的性質(zhì)。(1)當(dāng)c<0,g<0時(shí),系統(tǒng)(4)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(φ-,0)和(φ+,0),它們都是鞍點(diǎn)(見圖1)。(2)當(dāng)c<0,g=0時(shí),系統(tǒng)(4)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(c,0)和(0,0)。(c,0)是鞍點(diǎn),是尖點(diǎn)(見圖2)。(3)當(dāng)c<0,時(shí),系統(tǒng)(4)有四個(gè)平衡點(diǎn)(φ-,0),(φ+,0),(0,y-),(0,y+)。其中(φ-,0),(0,y-)和(0,y+)是鞍點(diǎn),(φ+,0)是中心(見圖3)。(4)當(dāng)c>0,時(shí),系統(tǒng)(4)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(φ-,0)和(φ+,0)。(φ-,0)是鞍點(diǎn),(φ+,0)是中心(見圖4)。系統(tǒng)(4)在上述參數(shù)情形下的相圖。2系統(tǒng)中相軌道的一次積分定義1設(shè)φ(ξ)是R上的連續(xù)函數(shù)。(i)若φ(ξ)在ξ0處兩側(cè)局部光滑且0≠limξ↑ξφ'(ξ)=-limξ↓ξφ'(ξ)≠∞,則稱φ(ξ)在ξ0處有一個(gè)尖峰,具有尖峰的行波解稱為尖峰孤子解;(ii)若φ(ξ)在ξ0處兩側(cè)局部光滑且limξ↑ξφ'(ξ)=-limξ↓ξφ'(ξ)=±∞,則稱φ(ξ)在ξ0處有一個(gè)尖角,具有尖角的行波解稱為尖角子解。系統(tǒng)(4)的任意一條相軌道對(duì)應(yīng)方程(1)的一個(gè)行波解。注意到圖1,圖2,圖3和圖4中均存在這樣的相軌道:它們由鞍點(diǎn)(φ-,0)或(φ+,0)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形組成,且以奇異直線φ=0為漸近線。對(duì)這樣的相軌道有下面的結(jié)論。定理1在系統(tǒng)(4)中,由鞍點(diǎn)(φ-,0)或(φ+,0)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形組成,且以奇異直線φ=0為漸近線的相軌道滿足進(jìn)一步有證明由首次積分(5)及知由H(φ,y)=H(φ-,0)或H(φ,y)=H(φ+,0)所定義的這樣的相軌道可表示成如下三種情形:(1)當(dāng)c<0,,φ-<φ<0時(shí)(見圖1,圖2,圖3),由H(φ,y)=H(φ-,0)所定義的相軌道可以表示為(2)當(dāng)c<0,g<0,0<φ<φ+時(shí)(見圖1),由H(φ,y)=H(φ+,0)所定義的相軌道可以表示為,對(duì)ξ積分一次得引理1系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)具有下面的性質(zhì):(3)當(dāng)c>0,,0<φ<φ-時(shí)(見圖4),由H(φ,y)=H(φ-,0)所定義的相軌道可以表示為其中其中h(φ)在φ=0鄰域光滑且h(0)≠0。將h(φ)在φ=0處泰勒展開成h(φ)=h(0)+O(φ)。記φ在0處的相位為ξ0,即φ(ξ0)=0。將h(φ)=h(0)+O(φ)代入(11)結(jié)合初始條件φ(ξ0)=0積分得進(jìn)一步有因?yàn)?所以(13)可以寫成又方程(14)蘊(yùn)含O(φ2)=O(|ξ-ξ0|),從而有計(jì)算得證明完畢。由定理1結(jié)合尖角子解的定義可知,由鞍點(diǎn)(φ-,0)或(φ+,0)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形組成且以奇異線φ=0為漸近線的這樣的相軌道對(duì)應(yīng)方程(1)的尖角子解。對(duì)方程(8),(9)和(10)沿相應(yīng)的軌道積分得完成上述積分可得用隱函數(shù)表達(dá)的方程(1)的尖角子解其中容易看出Gi(φ),i=1,2,3是相應(yīng)積分區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),所以方程(1)的尖角子解可以表示成由上面的討論與定理1得到下面的定理。定理2方程(1)有三種尖角子解:(1)當(dāng)c<0,,φ-<φ<0時(shí),方程(1)有尖角子解(2)當(dāng)c<0,g<0,0<φ<φ+時(shí),方程(1)有尖角子解(3)當(dāng)c>0,,0<φ<φ-時(shí),方程(1)有尖角子解在(24)中取c=-1.2,g=-1,ξ0=0.2,在(25)中取c=-1.2,g=-1,ξ0=-0.3,在(26)中取c=4,g=2,ξ0=0.2得到三個(gè)尖角子解的平面圖形,分別見圖5,