概率與概率分布

第3章概率與概率分布

3.1隨機(jī)事件及其概率

3.2隨機(jī)變量及其概率分布

3.3大數(shù)定律與中心極限定理一、隨機(jī)變量的概念3.2隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量——表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個(gè)值一個(gè)取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果用大寫字母如X、Y、Z...來(lái)表示，具體取值則用相應(yīng)的小寫字母如x、y、z…來(lái)表示根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，可分為：離散型隨機(jī)變量——取值可以一一列舉連續(xù)型隨機(jī)變量——取值不能一一列舉二、隨機(jī)變量的概率分布3.2隨機(jī)變量及其概率分布

1.離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

3.分布函數(shù)1.離散型隨機(jī)變量的概率分布X的概率分布——X的有限個(gè)可能取值為xi與其概率pi（i=1，2，3，…，n）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。概率分布具有如下兩個(gè)基本性質(zhì)：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）離散型概率分布的表示：概率函數(shù)：P(X=xi)=pi分布列：分布圖X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn0.60.30012xP(x)圖3-5例3-9的概率分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能表示為：數(shù)學(xué)函數(shù)——概率密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)

圖形——概率密度曲線和分布函數(shù)曲線概率密度函數(shù)f(x)的函數(shù)值不是概率。連續(xù)型隨機(jī)變量取某個(gè)特定值的概率等于0只能計(jì)算隨機(jī)變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率——由x軸以上、概率密度曲線下方面積來(lái)表示概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)（1）f(x)≥0。概率密度是非負(fù)函數(shù)。（2）所有區(qū)域上取值的概率總和為1。隨機(jī)變量X在一定區(qū)間（a，b）上的概率：

f(x)xab3.分布函數(shù)適用于兩類隨機(jī)變量概率分布的描述分布函數(shù)的定義：F(x)＝P{X≤x}連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)＝f(x)xx0F(x0

)分布函數(shù)與概率密度三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.2隨機(jī)變量及其概率分布

1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

2.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

3.兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望又稱均值描述一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布的中心位置離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)若k是一常數(shù)，則

E(kX)＝kE(X)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y，有

E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則

E(XY)＝E(X)E(Y)

2.隨機(jī)變量的方差方差是它的各個(gè)可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為D(x)或σ2公式：離散型隨機(jī)變量的方差：連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：方差和標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)差＝方差的平方根方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的分散程度。它們的值越大，說(shuō)明離散程度越大，其概率分布曲線越扁平。方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)：若k是一常數(shù)，則D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)

若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則

D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)

【例3-10】試求優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：σ＝0.6xi012pi0.10.60.33.兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的定義如果X,Y獨(dú)立（不相關(guān)），則

Cov(X,Y)＝0即E(XY)＝E(X)E(Y)

協(xié)方差在一定程度上反映了X、Y之間的相關(guān)性協(xié)方差受兩個(gè)變量本身量綱的影響。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)ρ具有如下的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)ρ是一個(gè)無(wú)量綱的值

0≤|ρ|≤0當(dāng)ρ=0，兩個(gè)變量不相關(guān)（不存在線性相關(guān)）當(dāng)|ρ|=1，兩個(gè)變量完全線性相關(guān)四、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布3.2隨機(jī)變量及其概率分布

1.二項(xiàng)分布

2.泊松分布

3.超幾何分布1.二項(xiàng)分布（背景）（背景）——n重貝努里試驗(yàn)：一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果用“成功”代表所關(guān)心的結(jié)果，相反的結(jié)果為“失敗”每次試驗(yàn)中“成功”的概率都是pn次試驗(yàn)相互獨(dú)立。1.二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，記為X～B(n,p)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)：二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布就成了二點(diǎn)分布（0-1分布）二項(xiàng)分布圖形p＝0.5時(shí)，二項(xiàng)分布是以均值為中心對(duì)稱p≠0.5時(shí)，二項(xiàng)分布總是非對(duì)稱的p<0.5時(shí)峰值在中心的左側(cè)p>0.5時(shí)峰值在中心的右側(cè)隨著n無(wú)限增大，二項(xiàng)分布趨近于正態(tài)分布p=0.3p=0.5p=0.7二項(xiàng)分布圖示【例3-11】某單位有4輛汽車，假設(shè)每輛車在一年中至多只發(fā)生一次損失且損失的概率為0.1。試求在一年內(nèi)該單位：（1）沒(méi)有汽車發(fā)生損失的概率；（2）有1輛汽車發(fā)生損失的概率；（3）發(fā)生損失的汽車不超過(guò)2輛的概率。解：每輛汽車是否發(fā)生損失相互獨(dú)立的，且損失的概率相同，因此，據(jù)題意，在4輛汽車中發(fā)生損失的汽車數(shù)X～B(4,0.1)。利用Excel計(jì)算二項(xiàng)分布概率進(jìn)入Excel表格界面，點(diǎn)擊任一空白單元格（作為輸出單元格）點(diǎn)擊表格界面上的

fx

命令在“選擇類別”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”，在“選擇函數(shù)”中點(diǎn)擊“BINOMDIST”在Number_s后填入試驗(yàn)成功次數(shù)x(本例為2)；在Trials后填入總試驗(yàn)次數(shù)

n(本例為4)；在Probability_s后填入成功概率p(本例為0.1)；在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示計(jì)算成功次數(shù)等于指定值的概率“＝BINOMDIST（2，4，0.1，0）”用EXCEL計(jì)算二項(xiàng)分布的概率2.泊松分布X服從泊松分布，記為X～P(λ）:E(X)=D(X)=λ當(dāng)λ很小時(shí)，泊松分布呈偏態(tài)，并隨著λ增大而趨于對(duì)稱當(dāng)λ為整數(shù)時(shí)，λ和（λ-1）是最可能值泊松分布（應(yīng)用背景）通常是作為稀有事件發(fā)生次數(shù)X的概率分布模型。一段時(shí)間內(nèi)某繁忙十字路口發(fā)生交通事故的次數(shù)一定時(shí)間段內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的電話呼叫次數(shù)…服從泊松分布的現(xiàn)象的共同特征在任意兩個(gè)很小的時(shí)間或空間區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)是相互獨(dú)立的；各區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)只與區(qū)間長(zhǎng)度成比例，與區(qū)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)；在一段充分小的區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生兩次或兩次以上的概率可以忽略不計(jì)【例3-12】設(shè)某種報(bào)刊的每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)服從

λ=2的泊松分布。隨機(jī)翻看一版，求：（1）沒(méi)有錯(cuò)別字的概率；（2）至多有5個(gè)錯(cuò)別字的概率。解：設(shè)X＝每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)，則所求概率為：利用EXCEL計(jì)算泊松分布的概率二項(xiàng)分布的泊松近似【前提】當(dāng)n很大而p又很小時(shí)，二項(xiàng)分布可用參數(shù)λ＝np

的泊松分布近似【例3-13】一工廠有某種設(shè)備80臺(tái)，配備了3個(gè)維修工。假設(shè)每臺(tái)設(shè)備的維修只需要一個(gè)維修工，設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01。求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？解：X~B(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用λ＝0.8的泊松分布來(lái)近似計(jì)算其概率:3.超幾何分布

N個(gè)單位的有限總體中有M個(gè)單位具有某特征。用不重復(fù)抽樣方法從總體中抽取n個(gè)單位，樣本中具有某種特征的單位數(shù)X服從超幾何分布，記為X～H(n,N,M)數(shù)學(xué)期望和方差:N很大而n相對(duì)很小時(shí)，趨于二項(xiàng)分布(p=M/N)五、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布1.均勻分布X只在一有限區(qū)間[a，b]上取值且概率密度是一個(gè)常數(shù)其概率密度為：X落在子區(qū)間[c，d]

內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，與具體位置無(wú)關(guān)f(x)ac

dbxP(c≤X≤d)2.正態(tài)分布X～N(μ、σ2

)，其概率密度為：正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均值E(X)=μ

方差D(X)=σ2

-∞<x<∞

2.正態(tài)曲線σ相同而μ不同的正態(tài)曲線

2

xf(x)μ相同而σ不同的正態(tài)曲線f(x)σ較小σ較大

x正態(tài)曲線的主要特性關(guān)于x=μ對(duì)稱的鐘形曲線參數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置參數(shù)σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度以X軸為漸近線，即當(dāng)x→±∞時(shí)，f(x)→0標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布μ＝0、σ＝1的正態(tài)分布，記為N(0,1)其概率密度φ(x)，分布函數(shù)Ф(x)X～N(μ、σ2),則：Z～N(0，1

)若Z～N(0，1

)，則有：

P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1Ф(-a)=1－Ф(a)標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線

-a

0aφ(z)zΦ(a)【例3-14】某廠生產(chǎn)的某種節(jié)能燈管的使用壽命服從正態(tài)分布，對(duì)某批產(chǎn)品測(cè)試的結(jié)果，平均使用壽命為1050小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時(shí)。試求：（a）使用壽命在500小時(shí)以下的燈管占多大比例？（b）使用壽命在850～1450小時(shí)的燈管占多大比例？（c）以均值為中心，95％的燈管的使用壽命在什么范圍內(nèi)？解

X＝使用壽命，X～N(1050，2002

)＝Ф(2)－Ф(-1)＝0.97725－0.15865＝0.818695％的燈管壽命在均值左右392（即658～1442）小時(shí)＝1－Ф(2.75)＝1－0.99702＝0.002983σ

原則|X－μ|>3σ的概率很小，因此可認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值幾乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]區(qū)間內(nèi)廣泛應(yīng)用:產(chǎn)品質(zhì)量控制判斷異常情況……圖3-12常用的正態(tài)概率值（在一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中）-3

-2

-10

+1+2

+3z

-3σ

-2σ

-σ

+σ

+2σ

+3σ

x99.73%95.45%68.27%正態(tài)分布最常用、最重要大千世界中許多常見(jiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布例如，測(cè)量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗拉強(qiáng)度，一種設(shè)備的使用壽命，農(nóng)作物的產(chǎn)量…特點(diǎn)是“中間多兩頭少”由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，正態(tài)分布在很多統(tǒng)計(jì)理論中都占有十分重要的地位正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布統(tǒng)計(jì)推斷中許多重要的分布（如χ2分布、t分布、F分布）都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的。用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布X～B(n，p)，當(dāng)n充分大時(shí)，

X～N(np，np(1-p))【例3-15】假設(shè)有一批種子的發(fā)芽率為0.7?，F(xiàn)有這種種子1000顆，試求其中有720顆以上發(fā)芽的概率。解：設(shè)X＝發(fā)芽種子顆數(shù)，X～B(1000，0.7)。近似地X～N(700，210)。

P(X>720)＝P(Z>1.38)＝1－P(Z≤1.38)

＝1－0.9162＝0.0838用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布的前提n很大，p不能太接近0或1（否則二項(xiàng)分布太偏）一般要求np和np(1-p)都要大于5如果np或np(1-p)小于5，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來(lái)近似計(jì)算正態(tài)分布的概率值方法一：先標(biāo)準(zhǔn)化——查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表方法二：利用Excel來(lái)計(jì)算（不必標(biāo)準(zhǔn)化）插入函數(shù)fx——選擇“統(tǒng)計(jì)”－“NORMDIST”，進(jìn)入“函數(shù)參數(shù)”對(duì)話框中，在X后填入正態(tài)隨機(jī)變量的取值區(qū)間點(diǎn)；在Mean后填入正態(tài)分布的均值；在Standard_dev后填入正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示計(jì)算隨機(jī)變量取值小于等于指定值x的累積概率值。3.3大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律二、中心極限定理一、大數(shù)定律3.3大數(shù)定律與中心極限定理

1.獨(dú)立同分布大數(shù)定律

2.貝努里大數(shù)定律獨(dú)立同分布大數(shù)定律大數(shù)定律是闡述大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理的總稱。獨(dú)立同分布大數(shù)定律——設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)＝μ和方差D(Xi

)＝σ2（i=1,2,…），則對(duì)任意小的正數(shù)ε,有：

大數(shù)定律（續(xù)）該大數(shù)定律表明：當(dāng)n充分大時(shí)，相互獨(dú)立且服從同一分布的一系列隨機(jī)變量取值的算術(shù)平均數(shù)，與其數(shù)學(xué)期望μ的偏差任意小的概率接近于1。該定理給出了平均值具有穩(wěn)定性的科學(xué)描述，從而為使用樣本均值去估計(jì)總體均值（數(shù)學(xué)期望）提供了理論依據(jù)。貝努里大數(shù)定律設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任意的ε>0，有：它表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m/n依概率收斂于事件A發(fā)生的概率闡明了頻率具有穩(wěn)定性，提供了用頻率估計(jì)概率的理論依據(jù)。二、中心極限定理3.3大數(shù)定律與中心極限定理

1.獨(dú)立同分布大數(shù)定律

2.棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理（也稱列維一林德伯格定理）設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且存在有限的μ和方差σ2（i=1,2,…），當(dāng)n→∞時(shí)，或就趨于正態(tài)分布。

上述定理表明獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列不管服從什么分布，其n項(xiàng)總和的分布趨近于正態(tài)分布?？傻贸鋈缦陆Y(jié)論：不論總體服從何種分布，只要其數(shù)學(xué)期望和方差存在，對(duì)這一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣時(shí)，當(dāng)樣本量n充分大，就趨于正態(tài)分布。該定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基礎(chǔ)。【例3-16】有一測(cè)繪小組對(duì)甲乙兩地之間的距離采用分段測(cè)量的方法進(jìn)行了測(cè)量，將甲乙之間的距離分成為100段。設(shè)每段測(cè)量值的誤差（單位：cm）服從區(qū)間（－1，1）上的均勻分布。試問(wèn)：對(duì)甲乙兩地之間距離的測(cè)量值的總誤差絕對(duì)值超過(guò)10cm的概率是多少？解：設(shè)Xi＝第i段測(cè)量誤差（i=1,2,…），由于Xi服