多元函數(shù)積分

[整理]多元函數(shù)積分[整理]多元函數(shù)積分/[整理]多元函數(shù)積分多元函數(shù)積分利用積分地域的對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)多元函數(shù)的積分1.1利用積分地域的對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)多元函數(shù)的重積分題型一計(jì)算積分地域擁有對(duì)稱(chēng)性，被積函數(shù)擁有奇偶性的重積分種類(lèi)（一）計(jì)算積分地域擁有對(duì)稱(chēng)性、被積函數(shù)擁有奇偶性的二重積分常用下述命題簡(jiǎn)化計(jì)算二重積分.命題1若f(x,y)在積分地域D上連續(xù)，且D關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱(chēng)，則（1）f(x,y)是D上關(guān)于x（或y）的奇函數(shù)時(shí)，有f(x,y)dxdy0；D（2）f(x,y)是D上關(guān)于x（或y）的偶函數(shù)時(shí)，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy；其DD1中D1是D落在y軸（或x軸）一側(cè)的那一部分地域.命題2若D關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，D1為D中對(duì)應(yīng)于x≥0,y≥0（或x≤0,y≤）的部分，0則4f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)f(x,y),f(x,y)dxdyD1D0,f(x,y)或f(x,y)f(x,y).命題3設(shè)積分地域D對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的兩部分記為D1和D2.（1）若(x,)(,),則f(,)d2f(,)d;fyfxyxyxyDD1（2）若(x,)(,),則f(,)d0.fyfxyxyD命題4積分地域D關(guān)于x,y擁有輪換對(duì)稱(chēng)性，則f(x,y)df(y,x)d1f(y,x)]d[f(x,y)DD2D記D位于直線y=x上半部分地域?yàn)镈1則,f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(y,x)f(x,y),D1D0,f(y,x)f(x,y),種類(lèi)（二）計(jì)算積分地域擁有對(duì)稱(chēng)性，被積函數(shù)擁有奇偶性的三重積分.常用下述命題簡(jiǎn)化擁有上述性質(zhì)的三重積分的計(jì)算.命題1若Ω關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)，而Ω1是Ω對(duì)應(yīng)于z≥0的部分，則0,f(x,y,z)f(x,y,z),(x,y,z),f(x,y,z)d2f(x,y,z)d,f(x,y,z)f(x,y,z),(x,y,z);1若Ω關(guān)于yOz平面（或zOx平面）對(duì)稱(chēng)，f關(guān)于x（或y）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有近似結(jié)論.命題2若Ω關(guān)于xOy平面和xOz平面均對(duì)稱(chēng)（即關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)），而Ω1為Ω對(duì)應(yīng)于z≥0,y≥0的部分，則4f(x,y,z)d,當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)，fy,zf(x,y,z)d1，當(dāng)關(guān)于或?yàn)槠婧瘮?shù)；0fyz若Ω關(guān)于xOz平面和yOz平面均對(duì)稱(chēng)（即關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)），也許關(guān)于xOy平面和yOz平面均對(duì)稱(chēng)，那么也有近似結(jié)論.命題3若是積分地域Ω關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，則8f(x,y,z)d當(dāng)關(guān)于均為偶函數(shù)，,fx,y,zf(x,y,z)d1，當(dāng)關(guān)于或或?yàn)槠婧瘮?shù)；0fxyz命題4若積分地域Ω關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)關(guān)于x,y,z為奇函數(shù)，即f(x,y,z)f(x,y,z),則f(x,y,z)d0.題型三計(jì)算積分地域擁有輪換對(duì)稱(chēng)性的三重積分命題5若是積分地域關(guān)于變量x,y,z擁有輪換對(duì)稱(chēng)性（即x換成y,y換成z,z換成x，其表達(dá)式不變），則f(x,y,z)df(y,z,x)df(z,x,y)d1.f(y,z,x)f(z,x,y)]d[f(x,y,z)31.2利用積分地域的對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)第一類(lèi)曲線積分、曲面積分題型一計(jì)算積分曲線（面）擁有對(duì)稱(chēng)性的第一類(lèi)曲線（面）積分種類(lèi)（一）計(jì)算積分曲線擁有對(duì)稱(chēng)性的第一類(lèi)曲線積分命題設(shè)曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則2f(x,y)ds,關(guān)于是偶函數(shù)，L1f(x,y)ds其中L1是L在x≥0的那段L0，關(guān)于是奇函數(shù)，f(x,y)x曲線，即L1是L在y軸右側(cè)的部分；若曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則有上述近似結(jié)論.命題設(shè)f(x,y)在分段圓滑曲線L上連續(xù)，若L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則0,若f(x,y)關(guān)于為奇函數(shù)，1為L(zhǎng)的右半平f(x,y)ds(x,y)，L若關(guān)于為偶函數(shù)，f(x,y)L(x,y)面或上半平面部分.種類(lèi)（二）計(jì)算積分曲面擁有對(duì)稱(chēng)性的第一類(lèi)曲面積分第一類(lèi)曲面積分的奇偶對(duì)稱(chēng)性與三重積分近似，可利用下述命題簡(jiǎn)化計(jì)算.命題設(shè)積分曲面Σ關(guān)于yOz對(duì)稱(chēng)，則0,f(x,y,z)dS2f(x,y,z)dS1

當(dāng)f(x,y,z)關(guān)于x為奇函數(shù)，其中Σ1是Σ在yOz當(dāng)f(x,y,z)關(guān)于x為偶函數(shù)，面的前側(cè)部分.若Σ關(guān)于其他兩坐標(biāo)面有對(duì)稱(chēng)性，則有近似結(jié)論.注意不能夠把Σ向xOy面上投影，因第一類(lèi)曲面積分的Σ投影域面積不能夠?yàn)?.題型二計(jì)算平面積分曲線關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)的第一類(lèi)曲線積分命題若L關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，則f(x,y)dsf(y,x)ds.LL題型三計(jì)算空間積分曲線擁有輪換對(duì)稱(chēng)性的第一類(lèi)曲線積分命題若曲線Γ方程中的三變量x,y,z擁有輪換對(duì)稱(chēng)性，則xdsydszds,x2dsy2dsz2ds.1.3利用積分地域的對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)第二類(lèi)曲線積分、曲面積分題型一計(jì)算積分曲線擁有對(duì)稱(chēng)性的第二類(lèi)曲線積分第二類(lèi)曲線積分的奇偶對(duì)稱(chēng)性與第一類(lèi)曲線積分相反，有下述結(jié)論.命題1.3.1設(shè)L為平面上分段圓滑的定向曲線，P(x,y),Q(x,y)連續(xù)，（1）L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，L1是L在y軸右側(cè)部分，則0,P(x,y)dxL2P(x,y)dx,L10,Q(x,y)dyL2Q(x,y)dy,L1

若P(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)，若P(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)；若Q(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)，若Q(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù).（2）L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，L1為L(zhǎng)在x軸上側(cè)部分，則0,P(x,y)dxP(x,y)dx,L2L10,Q(x,y)dyQ(x,y)dy,L2L1

若P(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)，若P(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)；若Q(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)，若Q(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù).（3）L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，L1是L在y軸右側(cè)或x軸上側(cè)部分，則P(x,y)dxQ(x,y)dy0,若P(x,y),Q(x,y)關(guān)于(x,y)為偶函數(shù)，2L1PdxQdy,若P(x,y),Q(x,y)關(guān)于(x,y)為奇函數(shù).LL（4）L關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，則P(x,y)dxQ(x,y)dyP(y,x)dyQ(y,x)dxP(y,x)dyQ(y,x)dx.LLL即若L關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，將x與y對(duì)調(diào)，則L關(guān)于直線y=x翻轉(zhuǎn)，即L化為L(zhǎng)—.所以第二類(lèi)曲線積分沒(méi)有輪換對(duì)稱(chēng)性.題型二計(jì)算積分曲面擁有對(duì)稱(chēng)性的第二類(lèi)曲面積分命題設(shè)Σ關(guān)于yOz面對(duì)稱(chēng)，則2P(x,y,z)dydz,當(dāng)P(x,y,z)關(guān)于為奇函數(shù)，P(x,y,z)dydz1x當(dāng)P(x,y,z)關(guān)于為偶函數(shù)0,x.其中Σ1是Σ在yOz面的前側(cè)部分.這里對(duì)坐標(biāo)y和z的第二類(lèi)曲面積分只能考慮Σ關(guān)于yOz面的對(duì)稱(chēng)性，而不能夠考慮其他面，這一點(diǎn)也與第一類(lèi)曲面積分不同樣.交換積分次序及變換二次積分題型一交換二次積分的積分次序※直接例題，無(wú)講解.題型二變換二次積分變換二次積分是指將極坐標(biāo)系（或直角坐標(biāo)系）下的二次積分變換成直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）下的二次積分.由極坐標(biāo)系（或直角坐標(biāo)系）下的二次積分的內(nèi)外層積分限寫(xiě)出相應(yīng)的二重積分地域D的極坐標(biāo)（或直角坐標(biāo)）表示，再確定該地域D在直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）中的圖形，爾后配置積分限.計(jì)算二重積分題型一計(jì)算被積函數(shù)分地域給出的二重積分含絕對(duì)值符號(hào)、最值符號(hào)max或min及含符號(hào)函數(shù)、取整函數(shù)的被積函數(shù)，實(shí)質(zhì)上都是分地域給出的函數(shù)，計(jì)算其二重積分都需分塊計(jì)算.題型二計(jì)算圓域或部分圓域上的二重積分當(dāng)積分地域的界線由圓弧、過(guò)原點(diǎn)的射線（段）組成，而且被積函數(shù)為xnymf(x2y2)或xnymf(y/x)的形狀時(shí)，常作坐標(biāo)變換xrcos,yrsin，利用極坐標(biāo)系計(jì)算比較簡(jiǎn)單.為此，引進(jìn)新變量r,θ,獲取用極坐標(biāo)（r，θ）計(jì)算二重積分的公式：f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd（其中rdθdr是極坐標(biāo)系下的面積元素）.DD'用極坐標(biāo)系計(jì)算的二重積分，就積分地域來(lái)說(shuō)，常是圓域（或其一部分）、圓環(huán)域、扇形域等，可按其圓心所在地址分為下述六個(gè)種類(lèi)（其中a,b,c均為常數(shù)）.種類(lèi)（一）2≤a上的二重積分.計(jì)算圓域x2+y種類(lèi)（二）2≤2ax上的二重積分.計(jì)算圓域x2+y種類(lèi)（三）2≤-2ax上的二重積分.計(jì)算圓域x2+y種類(lèi)（四）2≤2ay上的二重積分.計(jì)算圓域x2+y種類(lèi)（五）2≤-2ay上的二重積分.計(jì)算圓域x2+y種類(lèi)（六）計(jì)算圓域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重積分.計(jì)算三重積分題型一計(jì)算積分地域的界線方程均為一次的三重積分當(dāng)積分地域Ω主要由平面圍成時(shí)，宜用直角坐標(biāo)系計(jì)算，若是積分地域Ω的界線方程中含某個(gè)坐標(biāo)變量的方程只有兩個(gè)，則可先對(duì)該坐標(biāo)變量積分。題型二計(jì)算積分地域?yàn)樾D(zhuǎn)體的三重積分可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算。特別當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)變量的二次齊式時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算。題型三計(jì)算積分地域由球面或球面與錐面所圍成的三重積分積分地域?yàn)榍蛎婊蚯蛎媾c錐面所圍成的三重積分，采用球面坐標(biāo)系計(jì)算能夠減少計(jì)算工作量，特別當(dāng)被積函數(shù)為形如xmynzlf(x2y2z2)的形式時(shí)，常用球面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分。用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分時(shí)，第一，應(yīng)明確球面坐標(biāo)變換xsincos，yrsinsin，rcos及其參數(shù)ρ，θ，φ幾何意義；其次，要記住球面坐標(biāo)變換后的體積元素為dV2sinddd；最后，依照積分地域的幾何形狀及ρ，θ，φ的幾何意義正確定出三重積分的積分限。本題型還可以夠采用柱面坐標(biāo)及先二后一的方法進(jìn)行計(jì)算。題型四計(jì)算被積函數(shù)最少缺兩個(gè)變量的三重積分法一用先二后一法（截面法）計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)最少缺兩個(gè)變量且平行于所缺兩變量的坐標(biāo)面的截面面積又易求時(shí)，可用下述公式將三重積分化為定積分求之。為方便計(jì)，設(shè)被積函數(shù)為f(x)，則z2z2f(z)dz，f(z)dvf(z)dzdxdz(D(z)的面積)z1z1D(z)其中z1，z2是Ω向z軸投影而獲取的投影區(qū)間[z1，z2的端點(diǎn)，而D(z)是用垂直于z軸（平]行于xOy平面）的平面截Ω所得的截面，如D(z)的面積易求出，則上述積分即可求出。易知當(dāng)積分地域Ω由橢球面、球面、柱面、圓錐面或旋轉(zhuǎn)面等曲面或其一部分所圍成時(shí)，相應(yīng)截面D(x)或D(y)或D(z)為圓域，其面積S(x)或S(y)或S(z)易求出。若是被積函數(shù)又最少缺兩個(gè)變量，可先對(duì)所缺的兩個(gè)變量積分，用先二后一法計(jì)算其三重積分。法二用重心計(jì)算公式求之當(dāng)被積函數(shù)只有一個(gè)變量，而Ω的體積又易求出，則可利用重心計(jì)算公式求其三重積分。題型五計(jì)算易求出其截面地域上的二重積分的三重積分可用先二后一法計(jì)算。誠(chéng)然這時(shí)界面地域上的二重積分不等于其面積，但由于易求出其值，再計(jì)算一個(gè)單積分，該三重積分也就求出。這時(shí)對(duì)被積函數(shù)不能作要求。當(dāng)截面為圓域或其一部分，被積函數(shù)又為f(x2y2)型，常采用上法計(jì)算其三重積分，且常用極坐標(biāo)計(jì)算其截面地域上的二重積分。所以當(dāng)Ω為旋轉(zhuǎn)體時(shí)，其上的三重積分也可用上法求之。計(jì)算曲線積分題型一計(jì)算第一類(lèi)平面曲線積分計(jì)算這類(lèi)曲線積分的主要方法是依照積分曲線方程的種類(lèi)（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程），正確寫(xiě)出弧長(zhǎng)元素ds的表達(dá)式，將第一類(lèi)曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎ǚe分（其下限必不高出上限）的計(jì)算。計(jì)算中要向來(lái)注意利用曲線方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)（由于在積分過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)向來(lái)沿著曲線移動(dòng)，從而其坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線方程），這是計(jì)算曲線（面）積分特有的方法，所以可用曲線方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)。代換后歸納為計(jì)算kdSkL，而L的弧長(zhǎng)是已知的或易求的。L其他，還應(yīng)注意曲線的對(duì)稱(chēng)性及被積函數(shù)的奇偶性和周期性和物質(zhì)曲線的重心簡(jiǎn)化計(jì)算。注意若曲線有對(duì)稱(chēng)性，誠(chéng)然整個(gè)被積函數(shù)不用然關(guān)于x（或y）為奇、偶函數(shù)，但可進(jìn)一步察看其某一部分可否擁有奇偶性，盡量利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算。題型二求解平面上與路徑?jīng)]關(guān)的第二類(lèi)曲線積分有關(guān)問(wèn)題種類(lèi)（一）判斷（證明）平面曲線積分與路徑?jīng)]關(guān)，并求該積分定理5.1滿(mǎn)足以下四條件之一，則積分PdxQdy在L所圍的地域D內(nèi)與路徑?jīng)]關(guān)：L（1）存在u(x,y)使得duPdxQdy((x,y)D)；（2）若D為單連通地域，且QP((x,y)D)（；但若D不是單連通地域，QPxyxy在D內(nèi)建立，不能夠證明PdxQdy在D內(nèi)與路徑?jīng)]關(guān)）L（3）PdxQdy0，l為D內(nèi)任一分段圓滑閉曲線；L（4）若D為有唯一奇點(diǎn)M0的復(fù)連通域，存在一條環(huán)繞M0的路徑C，使PdxQdy0。C關(guān)于單連通地域D，為證Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)，使du=Pdx+Qdy?？紦?jù)PQyx建立。若在單連通地域D內(nèi)積分與路徑?jīng)]關(guān)，則可在D中采用特其他路徑計(jì)算u(x1,y1)(x1,y1)Qdy，其中右端積分為終點(diǎn)變動(dòng)的積分，平時(shí)取D中平行于坐標(biāo)軸的Pdx(x0,y0)折線路徑計(jì)算，設(shè)(x00為D內(nèi)任一點(diǎn)有,y)(x1,y1)Qdyx1P(x,y0)dxy1u(x1,y1)Pdxx0Q(x1,y)dy，(x0,y0)y0或u(x1,y1)(x1,y1)y1y1PdxQdyP(x0,y)dyQ(x,y1)dx.(x0,y0)y0y0若找到了原函數(shù)u(x,y),則LPdxQdyLdu(x,y)(x1,y1)u(x0,y0).u(x,y)(x0,y0)u(x1,y1)種類(lèi)（二）求平面上與路徑?jīng)]關(guān)的第二類(lèi)平面曲線積分被積式中的待定函數(shù)或常數(shù)在單連通地域內(nèi)由PQ或其他與積分路徑?jīng)]關(guān)的等價(jià)條件建立待定函數(shù)(或常數(shù))yx所滿(mǎn)足的微分方程,求解次微分方程即可確定所求函數(shù)(或常數(shù)).種類(lèi)（三）證明Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)并求出u(x,y).定理5.2設(shè)P(x,y),Q(x,y)在地域D上連續(xù),則PdxQdy在D內(nèi)與路徑?jīng)]關(guān)的充要條件是L在D內(nèi)存在函數(shù)u(x,y)使du(x,y)PdxQdy(即uP,uQ).xy值得注意的是,定理5.2只要P,Q在地域D上連續(xù),對(duì)地域D是單連通或復(fù)連通都建立.由該定理可知,談?wù)揚(yáng)dxQdy可否與路徑?jīng)]關(guān)與談?wù)揚(yáng)dx+Qdy可否存在原函數(shù)是一回L事.題型三計(jì)算平面上與路徑有關(guān)的第二類(lèi)曲線積分誠(chéng)然題型不同樣,計(jì)算第二類(lèi)曲線積分方法有別,但將曲線L的方程代入被積式,化簡(jiǎn)被積函數(shù),及利用各種對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算是計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的各種題型都采用的方法和技巧.種類(lèi)（一）計(jì)算平面上與路徑有關(guān)的平面曲線積分求法一用格林公式求之由PQ知,曲線積分PdxQdy與路徑有關(guān),所以不能夠改變其積分路徑求積分,其yxL值可用格林公式求之.該法是計(jì)算平面上第二類(lèi)曲線積分的重要方法.常有以下三種情況:(1)曲線積分滿(mǎn)足格林公式的各個(gè)條件,可使用該公式將曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎胤e分求之.(2)曲線不封閉,增加輔助線(比方增加平行于坐標(biāo)軸的直線段使之組成封閉曲線),爾后用格林公式把求曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)橐浊蟮亩胤e分及輔助線上的曲線積分.L所圍地域含P,Q不連續(xù)點(diǎn)時(shí),想法使用格林公式.這時(shí)L所圍地域?yàn)閺?fù)連通地域,想法去掉P,Q不連續(xù)的點(diǎn),常用下述各法求出其積分.方法一將L的方程代入被積函數(shù),有時(shí)可去掉其不連續(xù)的點(diǎn).方法二構(gòu)造單連通地域D.常用摳除P,Q不連續(xù)點(diǎn)的小(橢)圓與曲線L和其他曲線圍成單連通地域D,再在D上使用格林公式.方法三使用下述復(fù)連通域上的格林公式求之.命題5.1(復(fù)連通域上的格林公式)設(shè)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且Q在D內(nèi)各處建立.L1,L2是任意兩條通向閉路徑,且在各自所圍的地域內(nèi)有同樣的不yx屬于D的點(diǎn)(稱(chēng)為奇點(diǎn)或洞點(diǎn)),則PdxQdyPdxQdy.L1L2求法二寫(xiě)出積分曲線的參數(shù)方程化為定積分計(jì)算計(jì)算與路徑有關(guān)又不便使用格林公式的第二類(lèi)曲線積分時(shí),常寫(xiě)出其參數(shù)方程,化為定積分計(jì)算.題型四計(jì)算空間第二類(lèi)曲線積分計(jì)算沿空間閉合曲線的第二類(lèi)曲線積分常用下述各法..法一借助曲線的參數(shù)方程,化為定積分計(jì)算.法二投影到坐標(biāo)面上,化為平面上第二類(lèi)曲線積分計(jì)算.因第二類(lèi)曲線積分是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,dx,dy,dz是有向弧長(zhǎng)元素在各坐標(biāo)軸上的投影,可將空間曲線上的第二類(lèi)曲線積分投影到坐標(biāo)面上去計(jì)算.當(dāng)曲線方程含一次方程時(shí),常將一個(gè)變量用其他兩個(gè)變量表示的式子代入被積式,被積函數(shù)就化成二元函數(shù),積分曲線就向相應(yīng)坐標(biāo)面上投影,空間曲線積分就化為平面曲線積分.再用格林公式可化為二重積分計(jì)算.法三用斯托克斯公式轉(zhuǎn)變?yōu)榍娣e分計(jì)算.特別當(dāng)曲線Γ封閉,且被積函數(shù)為x,y,z的一次或二次多項(xiàng)式,空間曲線所張成的曲面為平面片或?yàn)椴糠智蛎姹容^簡(jiǎn)單常常用此法求之.求時(shí)要注意由Γ的定向按右手法規(guī)確定曲面的定向.特別當(dāng)F(P,Q,R),rotF0時(shí),可選擇特其他積分路徑求PdxQdyRdz.※使用上述三法計(jì)算時(shí),還應(yīng)注意將曲線方程代入被積函數(shù)以化簡(jiǎn)被積式,空間第二類(lèi)曲線積分對(duì)稱(chēng)性的情況同平面曲線第二類(lèi)曲線積分近似,且同樣要加以充分利用以化簡(jiǎn)計(jì)算.法四當(dāng)Pdx+Qdy+Rdz的原函數(shù)存在并易求時(shí),經(jīng)過(guò)求原函數(shù)求得曲線積分.計(jì)算曲面積分題型一計(jì)算第一類(lèi)曲面積分種類(lèi)（一）計(jì)算與曲面外法線向量沒(méi)關(guān)的第一類(lèi)曲面積分這類(lèi)曲面積分算法是將曲面積分化為投影地域上的二重積分,為此,需按以下步驟進(jìn)行(1)確定曲面Σ的方程,積分曲面的顯式表示應(yīng)當(dāng)是單值函數(shù),否則需將曲面Σ分片,使分片后的各片曲面為單值函數(shù);(2)由曲面Σ的方程(比方z=z(x,y))算出曲面微元dS(比方dS1zx'2zy'2dxdy);(3)由曲面方程及題中所指出的范圍確定曲面在相應(yīng)的坐標(biāo)面(例如xOy平面)上的投影地域(比方Dxy),爾后將Σ的方程及dS的表達(dá)式代入被積式,且將積分地域變?yōu)橥队暗赜?余下的就是計(jì)算二重積分.上述求解過(guò)程可歸納為必然(曲面Σ的方程)、二求（曲面微元dS）、三代（將Σ的方程及dS的表示式代入被積式）、四代替（將積分地域Σ用投影地域代替）、五計(jì)算（二重積分）.由于第一類(lèi)曲面積分不考慮曲面的側(cè),利用對(duì)稱(chēng)性的情況與重積分近似,且解題中同樣要充分利用,其他還可以夠利用物質(zhì)曲面的重心簡(jiǎn)化計(jì)算.種類(lèi)（二）計(jì)算與曲面外法線向量有關(guān)的第一類(lèi)曲面積分利用第一類(lèi)與第二類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系,有時(shí)將第一類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙?lèi)曲面積分,再用高斯公式:AdSAndSdivAdv,PdydzQdzdxRdxdz(PcosQcosRcos)dS(PQR)dv.xyz或利用斯托克斯公式化為第二類(lèi)曲線積分rotFndSFds計(jì)算.題型二計(jì)算第二類(lèi)曲面積分法一化為投影地域上的二重積分計(jì)算以計(jì)算R(x,y,z)dxdy為例的計(jì)算步驟為(1)確定積分曲面Σ的方程z=z(x,y)及其在xOy面上的投影地域Dxy,并確定曲面的側(cè)是上側(cè)還是下側(cè);(2)把曲面方程z=z(x,y)代入被積函數(shù)中,獲取R(x,y,z)dxdy若曲面Σ是由方程z=z(x,y)所給出的曲R(x,y,z(x,y))dxdy,Dxy面上側(cè),取正號(hào),否則取負(fù)號(hào).其他,兩個(gè)積分P(x,y,z)dydz及Q(x,y,z)dzdx可近似計(jì)算.這樣需將一個(gè)完滿(mǎn)的積分向三個(gè)坐標(biāo)面投影.若是曲面方程由z=z(x,y)給出,也可由下述命題,將三個(gè)坐標(biāo)面上的積分轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)坐標(biāo)面上的積分.此法常成為合一投影法.利用上述方法計(jì)算曲面積分時(shí),仍需注意利用奇偶性、對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算.命題6.1若定曲面Σ由方程z=z(x,y)給出,Σ在xOy平面上的投影地域?yàn)镈xy,z(x,y)在Dxy上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),P,Q,R在Σ上連續(xù),則PdydzQdzdxRdxdyP(x,y,z(x,y))zQ(x,y,z(x,y))zR(x,y,z(x,y))dxdyxy其中正負(fù)號(hào)由Σ的定向確定:法向量指向上側(cè)取正號(hào),否則取負(fù)號(hào).若將Σ投影到y(tǒng)Oz或zOx平面可得近似計(jì)算公式.設(shè)曲面Σ由方程z=z(x,y)給出,當(dāng)Σ取上側(cè)時(shí),有coszx'zy,cos1,,cos'2'2'2'2'2'21zxzy1zxzy1zxzy而dxdycosdS,dzdxcosdS,dzdycosdS,故dSdydzdzdxdxdy,coscoscos即dydzcosdxdyzx'dxdy,dzdxcosdxdyz'ydxdy.coscos于是PdydzQdzdxRdxdy(z'Pz'QRdxdy,xy)這樣三個(gè)坐標(biāo)面上的積分就轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)坐標(biāo)面上的積分.同樣,若曲面Σ由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)表示且將Σ投影到y(tǒng)Oz或zOx平面也可獲取近似公式.一般地,若是曲面方程由z=z(x,y)給出較簡(jiǎn)單.比方,曲面為平面或?yàn)樾D(zhuǎn)拋物面等可用上述合一投影法求其上的第二類(lèi)曲面積分.法二使用高斯公式求之高斯公式設(shè)空間閉地域是由分片圓滑的閉曲面Σ所圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在地域Ω上擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有PdydzQdzdxRdxdyPQRdv,xyz或(PcosQcosRcos)dSPQRdv.xyz這里Σ是Ω的外側(cè),cosα,cosβ,cosγ是Σ的外法向量的方向余弦.以上兩式均為高斯公式.在以上兩式中令P=x,Q=y,R=z即得V(的體積)1ydzdxzdxdy,xdydz3或V(的體積)1ycoszcos)dS.(xcos3使用高斯公式計(jì)算第二類(lèi)曲面積分有下述幾種情況:曲面積分PdydzQdzdxRdxdy滿(mǎn)足高斯公式的多個(gè)條件(