摩擦型帶傳動的運動分析

摩擦型帶傳動的運動分析

摩擦帶的傳動利用了帶和軸之間的摩擦運動和動力。由于帶是彈性體,在傳遞運動和動力時,緊邊和松邊不同的拉力,造成帶不同的拉伸彈性變形,使帶與帶輪之間產(chǎn)生彈性滑動。帶傳動的這一物理現(xiàn)象在許多文獻中只給出較為準確的定性描述。筆者利用摩擦理論對帶傳動的彈性滑動進行定量分析,從理論上證明彈性滑動總是出現(xiàn)在帶繞出帶輪的一側(cè),并推導(dǎo)了在給定工作情況下彈性滑動角和彈性滑動率的計算公式,為帶傳動的設(shè)計計算提供一些理論依據(jù)。1計算的彈性滑動角的位置和公式1.1彈性模量法求解實踐表明,帶傳動的彈性滑動總是發(fā)生在帶繞出帶輪的一側(cè),如圖1(a)中的α′1和α′2即為主、從動帶輪上的彈性滑動角(α″1和α″2為主、從動帶輪上的靜角),這一點可從理論上給予證明。在圖1(a)示的2個帶輪上,裝有截面積為A(帶傳動不傳遞載荷時)的帶。工作時,緊邊受拉力F1,帶截面積變?yōu)锳1;松邊受拉力F2,帶截面積變?yōu)锳2。若緊邊和松邊帶的密度為ρ1、ρ2,帶速為υ1、υ2,則按每個截面單位時間內(nèi)通過的帶質(zhì)量相等的條件可得:A1ρ1υ1=A2ρ2υ2(1)A1ρ1υ1=A2ρ2υ2(1)設(shè)在F1,F2拉力作用下,帶的縱向應(yīng)變量為ε1、ε2,若帶的泊松比為γ,則得:{A1=A(1-γε1)2A2=A(1-γε2)2(2){A1=A(1?γε1)2A2=A(1?γε2)2(2)若帶不傳遞載荷時的密度為ρ,則由一段帶受力前后質(zhì)量不變的條件可得:{ρ1=ρ/[(1+ε1)(1-γε1)2]ρ2=ρ/[(1+ε2)(1-γε2)2](3){ρ1=ρ/[(1+ε1)(1?γε1)2]ρ2=ρ/[(1+ε2)(1?γε2)2](3)將式(2)、(3)代入式(1)可得:υ1=(1+ε1)(1+ε2)υ2(4)υ1=(1+ε1)(1+ε2)υ2(4)設(shè)E為帶的彈性模量,則ε1=F1/EA,ε2=F2/EA,則υ1>υ2。如圖1(a)示,在主動帶輪上,B0B1是靜弧,帶在B0點以主動帶輪的表面速度υ1進入主動帶輪,帶與帶輪表面間無相對滑動,即在B0B1段,帶與帶輪表面速度是相等的,都是υ1。而在帶進入滑動弧B1B2段時,帶速會逐漸小于帶輪表面速度υ1,在繞出端終點B2,帶以速度υ2離開主動帶輪,而主動帶輪的表面速度始終為υ1。由此可知,帶在繞過主動帶輪時,由于帶中拉力逐漸降低,應(yīng)變逐漸減小,帶在彈性滑動弧B1B2段發(fā)生與帶輪表面運動方向相反的彈性滑動。主動帶輪對帶的摩擦力與帶的運動方向一致,如圖1(a)示,此分布摩擦力對主動帶輪轉(zhuǎn)動中心O1之矩與帶傳動的驅(qū)動力矩M1方向相同。在從動帶輪上,D0D1是靜弧,帶在D0點以從動帶輪的表面速度υ2進入從動帶輪,帶與帶輪表面間無相對滑動,即在D0D1段,帶與帶輪表面速度是相等的,都是υ2。而在帶進入滑動弧D1D2段時,帶速會逐漸大于帶輪表面速度υ2,在繞出端終點D2,帶以速度υ1離開從動帶輪,而從動帶輪的表面速度始終為υ2。由此可知,帶在繞過從動帶輪時,由于帶中拉力逐漸增大,應(yīng)變逐漸增加,帶在彈性滑動弧D1D2段發(fā)生與帶輪表面運動方向相同的彈性滑動。從動帶輪對帶的摩擦力與帶的運動方向相反,如圖1(a)示,此分布摩擦力對從動帶輪轉(zhuǎn)動中心O2之矩與帶傳動的工作阻力矩M2方向相同。若假定彈性滑動角的位置出現(xiàn)在每個帶輪的繞入端,如圖1(b)示。在主動帶輪上,B0B1是滑動弧,在帶的繞入端帶與帶輪之間將產(chǎn)生彈性滑動,而在帶的繞出端帶與帶輪表面速度是相等的,即松邊帶速與主動帶輪表面速度相等。這時,若要滿足緊邊帶速υ1大于松邊帶速υ2的條件,就必須使帶速在滑動弧上超前于帶輪表面速度,即帶相對于帶輪的彈性滑動與主動帶輪轉(zhuǎn)向相同。帶的彈性滑動方向與其工作面所受到的驅(qū)動摩擦力的方向一致,顯然這與摩擦定律相矛盾。若要使帶速在彈性滑動弧上滯后于帶輪表面速度,即使帶相對于帶輪的彈性滑動方向與主動帶輪轉(zhuǎn)向相反,也會產(chǎn)生緊邊的帶速υ1小于松邊的帶速υ2,這又與在每個截面位置處單位時間內(nèi)通過的帶質(zhì)量相等的條件相矛盾。因此,在主動帶輪上,只有當(dāng)彈性滑動弧處于帶的繞出端時,才能同時滿足緊邊帶速υ1大于松邊帶速υ2和帶速在彈性滑動弧上滯后于主動帶輪的表面速度。對從動帶輪也可作同樣的證明。也就說,彈性滑動的區(qū)域,即彈性滑動角只能在每個帶輪的繞出端,并且它的大小會隨工作條件的變化而變化,它不是一個定值。1.2彈性滑動角的計算如圖1(a)示,若帶的單位長度質(zhì)量為q,帶與帶輪槽的當(dāng)量摩擦系數(shù)為f′(對V帶傳動,通常取f′=0.51),帶速為υ,主動帶輪上的包角為α1。分離主動帶輪為研究對象,考慮離心慣性力的影響,由柔韌體摩擦的歐拉公式可得出緊邊拉力F1與松邊拉力F2間的關(guān)系為:F1-qυ2=(F2-qυ2)ef′α′1(5)若帶傳動的計算功率為Pc,有效拉力為Fe,帶的初拉力為F0,則對于非自動張緊的帶傳動,有:F1+F2=2F0(6)又F1-F2=Fe(Fe=1000Pc/υ)(7)由式(6)、(7)可得:{F1=F0+Fe/2F2=F0-Fe/2(8){F1=F0+Fe/2F2=F0?Fe/2(8)將式(8)代入式(5)得主動帶輪上彈性滑動角的計算公式為:α′1=1f′ln2(F0-qυ2)+Fe2(F0-qυ2)-Fe分離從動帶輪為研究對象,用類似的方法可得從動帶輪上彈性滑動角的計算公式為:α′2=1f′ln2(F0-qυ2)+Fe2(F0-qυ2)-Fe可見,主、從動帶輪上彈性滑動角α′1和α′2是相同的,故帶傳動彈性滑動角的計算公式為:α′=1f′ln2(F0-qυ2)+Fe2(F0-qυ2)-Fe(9)由式(9)可見,彈性滑動角α′不是常量,它隨帶的初拉力F0、有效拉力Fe等發(fā)生變化,B1和D1點的位置在主、從帶輪上是變動的。初拉力F0減小,彈性滑動角α′增加;工作阻力矩增加,緊邊拉力F1與松邊拉力F2之差也增加,使得彈性滑動角α′也增加。而α1是一個決定于帶傳動幾何尺寸的常量,若帶傳動的初拉力過大或?qū)嶋H功率大于額定功率時,就會使α′>α1,所以就會首先在小帶輪上出現(xiàn)打滑現(xiàn)象(對于減速傳動,α1<α2)。若能事先計算出α′的大小,就可以對帶傳動工作時出現(xiàn)打滑的可能性進行預(yù)測,并根據(jù)預(yù)測結(jié)果采取相應(yīng)措施,以保證帶傳動正常工作。例1:已知一帶傳動采用B型V帶,根數(shù)z=4,帶的基準長度Ld=2000mm,主、從動帶輪的基準直徑分別為dd1=140mm,dd2=315mm,中心距a=637mm,小帶輪包角α1=164°,帶速υ=10.6m/s(小帶輪轉(zhuǎn)速n1=1440r/min),V帶每米帶長質(zhì)量為q=0.17kg/m,帶傳動計算功率Pc=9kW。試求單根帶初拉力分別為150N、190N、300N時,彈性滑動角α′的計算值,并分別預(yù)測打滑的可能性。qυ2=0.17×10.62=19.1ΝFe=1000×9/10.6×4=212.3Ν工況1:α′=10.51ln2×(150-19.1)+212.32×(150-19.1)-212.3=4.41rad=252.8°α′>α1,帶傳動打滑,不能正常工作,應(yīng)增大初拉力。工況2:α′=10.51ln2×(190-19.1)+212.32×(190-19.1)-212.3=2.85rad=163.3°α′≈α1,帶傳動處打滑臨界狀態(tài),發(fā)揮最大工作能力。工況3:α′=10.51ln2×(300-19.1)+212.32×(300-19.1)-212.3=1.553rad=89°α′<α1,帶傳動不打滑,但初拉力過大,將引起帶中應(yīng)力過大,縮短帶的壽命。2彈性滑動速度和彈性滑動率2.1摩擦滑動角內(nèi)各點協(xié)同關(guān)系弧上式滑動如圖2示,在主動帶輪內(nèi)取微段dl=υdt,若dl的原長(帶傳動不傳遞載荷時的長度)為dl0,微段帶長所受拉力為F,相應(yīng)的縱向線應(yīng)變?yōu)棣?則:dl=dl0(1+ε)即:dl0=dl1+ε=dl1+F/EA,經(jīng)過C0截面后,由于拉力減小而引起的縮短量為:Δdl0=-dFdl0EA=-dFEA(1+F/EA)dlBB0段帶在接觸弧上的縮短量為:s=∫α0Δdl0=-∫α0dFEA(1+F/EA)dl則彈性滑動速度為:υs=dsdt=-1EA∫α0dF1+F/EAdldt=υln1+F1/EA1+F/EA(10)彈性滑動角內(nèi)任意點帶速:υ=υ1-υs(11)將式(11)代入式(10),可得:υs=υ1ln1+F1/EA1+F/EA1+ln1+F1/EA1+F/EA(12)式(12)中F1/EA<<1,F/EA<<1,故近似取:ln1+F1/EA1+F/EA=ln(1+F1-FEA)將上式展開成級數(shù),只保留第一項代入式(12),可得:υs=υ1(F1-F)EA(1+F1-FEA)(13)由式(13)可知,帶在主動帶輪的繞入端,F=F1,故υs=0;在主動帶輪的繞出端,F=F2=Fmin,故υs=υmax。即在主動帶輪上,隨著帶沿著帶輪的繞進,彈性滑動速度逐漸增加,在繞出端達到最大值。若在從動帶輪上進行分析,可得到類似的結(jié)果。2.2彈性滑動率計算公式帶在主動帶輪的繞出端,υ=υ2,F=F2,則由式(11)得υs=υ1-υ2,故由式(13)可得:υ1-υ2=υ1(F1-F2)EA(1+F1-F2EA)(14)由于F1-F2EA＜＜1,故式(14)可近似寫成:υ1-υ2υ1≈F1-F2EA=FeEA=ε1-ε2=Δε=ξ(15)式中:ξ為彈性滑動率,上式就是帶傳動彈性滑動率的計算公式。由式(15)可見,彈性滑動率ξ等于帶緊邊應(yīng)變量ε1與松邊應(yīng)變量ε2之差Δε。在正常工作情況下,ξ與帶傳動的有效拉力Fe成正比(假設(shè)E為常量),當(dāng)帶傳動的有效拉力達到極限值Felim時,彈性滑動率也達到最大值ξmax。例2:已知帶傳動傳遞的計算功率Pc=12kW,小帶輪轉(zhuǎn)速n1=1450r/min,大帶輪轉(zhuǎn)速n2=630r/min,采用B型V帶,根數(shù)z=5,帶速υ=10.6m/s,試計算其彈性滑動率。查手冊:A=138mm2,E=80MPaFe=1000×12/5×10.6=226.415Ν則∶ξ=