分組分解法（課件）七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊

第九章整式第5節(jié)因式分解9.16分組分解法教學(xué)目標(biāo)：1.理解分組分解法的概念.2.掌握用“二二”分組分解法分解四項(xiàng)式.3.在用分組分解法進(jìn)行因式分解的過程中培養(yǎng)發(fā)散思維的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：選擇合理的分組方法對四項(xiàng)式進(jìn)行正確的因式分解.

思考如何將多項(xiàng)式ax+ay+bx+by、a2+2ab+b2-1分解因式呢?這兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特征?多項(xiàng)式ax+ay+bx+by前面兩項(xiàng)和后面兩項(xiàng)分別有公因式a、b,多項(xiàng)式a2+2ab+b2-1前三項(xiàng)為完全平方式.可以把多項(xiàng)式ax+ay+bx+by分成(ax+ay)與(bx+by)兩組,從前一組ax+ay中提取公因式a,得到另一個(gè)因式x+y;從后一組bx+by中提取公因式b,得到另一個(gè)因式也是x+y.這樣,就可以把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.思考:如何將多項(xiàng)式ax+ay+bx+by分解因式？解：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)方法二：

解：ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)還有其他分組方法嗎？方法不同，答案相同．可按字母特征分組6對于多項(xiàng)式a+2ab+b2-1,可以將a+2ab+b2作為一組,它是個(gè)完全平方式,即a+2ab+b2=(a+b)2,然后用公式法分解因式,即利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.a+2ab+b2-1=(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1).例題1

分解因式：教材第53頁2ac–6ad+bc–3bd．

分析把這個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分成兩組,例如將前兩項(xiàng)分為一組,后兩項(xiàng)分為一組，第一組提取公因式2a后另一個(gè)因式是c-3d;第.組提取公因式6后另一個(gè)因式也是c-3d.這樣就可以分解因式了.解

2ac–6ad+bc–3bd=(2ac–6ad)+(bc–3bd)=2a(c–3d)+b(c–3d)=(c–3d)(2a+b).例題2

分解因式：教材第54頁6k2+9km–6mn–4kn．

解

6k2+9km–6mn–4kn=(6k2+9km)–(6mn+4kn)=3k(2k+3m)–2n(3m+2k)=(2k+3m)(3k–2n).

例題3

分解因式：教材第54頁2x3–2x2y+8y–8x．

解

2x3–2x2y+8y–8x=2(x3–x2y+4y–4x)=2[(x3–x2y)+(4y–4x)]=2[x2(x-y)-4(x-y)]=2(x-y)(x2-4)=2(x-y)(x+2)(x-2).

思考如何把x2-4xy+4y2-4分解因式?這個(gè)多項(xiàng)式有什么特征?多項(xiàng)式x2-4xy+4y2-4前面三項(xiàng)可以組成一個(gè)完全平方，后面一項(xiàng)是一個(gè)平方數(shù)，再將前三項(xiàng)的完全平方式和最后一項(xiàng)的平方數(shù)組成平方差公式進(jìn)行因式分解.分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2；分析：(1)中有公因式3a,應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式；(2)中將a+b看成一個(gè)整體，設(shè)a+b=m,則原式化為m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例題4因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.變式訓(xùn)練＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.有公因式要先提公因式要檢查每一個(gè)多項(xiàng)式的因式，看能否繼續(xù)分解．多項(xiàng)式分解因式的一般步驟:1.如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提公因式;2.如果各項(xiàng)沒有公因式,那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解;3.如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組來分解;4.分解因式,必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.口訣：一提二套三分四檢總結(jié)歸納(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.當(dāng)a－b＝3時(shí)，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.

當(dāng)ab＝2，a＋b＝5時(shí)，例題51．分解因式：x2-xy+ax-ay.

解:x2-xy+ax–ay

=(x2-xy)+(ax-ay)

=x(x-y)+a(x-y)

=(x+a)(x-y)故答案為:(x+a)(x-y)2．[2022年奉賢期末]分解因式：a2-b2+2a2b-2ab2.解:原式=

(a+b)(a-b)+2ab(a-b)=(a-b)(a+b+2ab)3．分解因式：x2-y2+4y-4.解:原式=x2-y2+4y–4=x2-(y2-4y+4)=x2-(y-2)2

=(x+y-2)(x-y+2)

故答案為:(x+y-2)(x-y+2).分析先分組成x2-(y2-4y+4)，再利用完全平方公式化為x2-(y-2)2，最后利用平方差公式解答.4．分解因式：a4+4b2c2-a2b2-4a2c2.解:原式=(a4-a2b2)-(4a2c2-4b2c2)=a2(a2-b2)-4c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2-4c2)=(a+b)(a-b)(a+2c)(a-2c).

分析利用加法的結(jié)合律和交換律，把整式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)，第四項(xiàng)和第二項(xiàng)分組，提取公因式后再利用公式.5.如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．

解：原式=a3+a2b-(2b3+2ab2

)=a2(a+b)-2b2(a+b

)=(a+b)(a2-2b2

)=06.如圖，在邊長為6.8cm正方形鋼板上，挖去4個(gè)邊長為1.6cm的小正方形，求剩余部分的面積．解：根據(jù)題意，得22