1983年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

第一試1．選擇題(本題滿分32分，每題答對(duì)者得4分，答錯(cuò)者得0分，不答得1分)⑴設(shè)p、q是自然數(shù)，條件甲：p3－q3是偶數(shù)；條件乙：p+q是偶數(shù)．那么A．甲是乙的充分而非必要條件B．甲是乙的必要而非充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件⑹設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P=eq\r(ab)+eq\r(cd)，Q=eq\r(ma+nc)·eq\r(\f(b,m)+\f(d,n))，那么A．P≥QB．P≤QC．P<QD．P、Q的大小關(guān)系不確定，而與m，n的大小有關(guān)．⑺在正方形ABCD所在平面上有點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有A．9個(gè)B．17個(gè)C．1個(gè)D．5個(gè)⑻任意△ABC，設(shè)它的周長(zhǎng)、外接圓半徑長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)分別為l、R與r，那么A．l>R+rB．l≤R+rC．eq\f(l,6)<R+r<6lD．A、B、C三種關(guān)系都不對(duì)2．填充題(本題滿分18分，每小題6分)⑴在△ABC中，sinA=eq\f(3,5)，cosB=eq\f(5,13)，那么cosC的值等于．⑵三邊均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形，共有個(gè)．⑶一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，這樣兩個(gè)多面體的內(nèi)切球半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)eq\f(m,n)，那么積m?n是．

第二試1．(本題滿分8分)求證：arcsinx+arccosx=eq\f(,2)，其中x∈[－1，1]2．(本題滿分16分)函數(shù)f(x)在[0，1]上有定義，f(0)=f(1)．如果對(duì)于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求證：|f(x1)－f(x2)|<eq\f(1,2)．5．(本題滿分18分)函數(shù)F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|在0≤x≤eq\f(3,2)π上的最大值M與參數(shù)A、B有關(guān)，問(wèn)A、B取什么值時(shí)，M為最?。孔C明你的結(jié)論．

1983年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試1．選擇題(本題滿分32分，每題答對(duì)者得4分，答錯(cuò)者得0分，不答得1分)⑴設(shè)p、q是自然數(shù)，條件甲：p3－q3是偶數(shù)；條件乙：p+q是偶數(shù)．那么A．甲是乙的充分而非必要條件B．甲是乙的必要而非充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件⑵x=eq\f(1,log\s\do5(\f(1,2))\f(1,3))+eq\f(1,log\s\do5(\f(1,5))\f(1,3))的值是屬于區(qū)間A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)【答案】D【解析】x=log32+log35=log310∈(2，3)，選D．⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要條件是A．a(chǎn)≥1eq\f(1,4)B．a(chǎn)=1eq\f(1,4)C．a(chǎn)≥1D．0<a<1【答案】A【解析】M∩N=N的充要條件是圓x2+(y－a)2≤1在拋物線y=x2內(nèi)部(上方)．即a≥1，且方程y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，a≥1eq\f(1,4)，選A．⑸已知函數(shù)f(x)=ax2－c，滿足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)應(yīng)滿足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－eq\f(28,3)≤f(3)≤eq\f(35,3)⑹設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P=eq\r(ab)+eq\r(cd)，Q=eq\r(ma+nc)·eq\r(\f(b,m)+\f(d,n))，那么A．P≥QB．P≤QC．P<QD．P、Q的大小關(guān)系不確定，而與m，n的大小有關(guān)．【答案】B【解析】由柯西不等式，Q≥P．選B．2．填充題(本題滿分18分，每小題6分)⑴在△ABC中，sinA=eq\f(3,5)，cosB=eq\f(5,13)，那么cosC的值等于．【答案】【解析】cosA=±eq\f(4,5)，sinB=eq\f(12,13)，但若cosA=－eq\f(4,5)，則A>135°，cosB=eq\f(5,13)<cos60°，B>60°，矛盾．故cosA=eq\f(4,5)．∴cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－eq\f(5,13)·eq\f(4,5)+eq\f(3,5)·eq\f(12,13)=eq\f(16,65)．⑵三邊均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形，共有個(gè)．【答案】36【解析】設(shè)另兩邊為x，y，且x≤y．則得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作直線y=x，y=11，x=11，x+y=11，則所求三角形數(shù)等于由此四條直線圍成三角形內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)．(含y=11，y=x上的整點(diǎn)，不含x+y=11上的整點(diǎn))共有122÷4=36個(gè)．即填36．⑶一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，這樣兩個(gè)多面體的內(nèi)切球半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)eq\f(m,n)，那么積m?n是．第二試1．(本題滿分8分)求證：arcsinx+arccosx=eq\f(π,2)，其中x∈[－1，1]【解析】證明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx與arccosx有意義，sin(eq\f(π,2)－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴eq\f(π,2)－arccosx∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]．故根據(jù)反正弦定義，有arcsinx=eq\f(π,2)－arccosx．故證．2．(本題滿分16分)函數(shù)f(x)在[0，1]上有定義，f(0)=f(1)．如果對(duì)于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求證：|f(x1)－f(x2)|<eq\f(1,2)．【解析】證明：不妨取0≤x1<x2≤1,若|x1-x2|≤eq\f(1,2)，則必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|<eq\f(1,2)．若|x1-x2|>eq\f(1,2)，則x2－x1>eq\f(1,2),于是1－(x2－x1)<eq\f(1,2),即1－x2+x1－0<eq\f(1,2)．而|f(x1)-f(x2)|=|(f(x1)-f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<|x1－0|+|1－x2|=1－x2+x1－0<eq\f(1,2)．故證.3．(本題滿分16分)在四邊形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面積比是3∶4∶1，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三點(diǎn)共線．求