核心考點01 實數(shù)分析版

核心考點01實數(shù)目錄考點一：近似數(shù)和有效數(shù)字考點二：平方根考點三：算術(shù)平方根考點四：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根考點五：立方根考點六：無理數(shù)考點七：實數(shù)考點八：實數(shù)的性質(zhì)考點九：實數(shù)與數(shù)軸考點十：實數(shù)大小比較考點十一：估算無理數(shù)的大小考點十二：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪考點考向考點考向一、實數(shù)的概念或者：1.有理數(shù)：有理數(shù)就是能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)；有理數(shù)包括：整數(shù)和分?jǐn)?shù)；有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。2.無理數(shù)：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。3.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。二、數(shù)的開方4.若，則x叫做a的平方根；正數(shù)有兩個平方根是，其中表示正的平方根；表示負(fù)的平方根；零的平方根記作=0；負(fù)數(shù)沒有平方根。求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方，叫做被開方數(shù)；5.平方根與開平方的性質(zhì)（1）當(dāng)時，＝，＝（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，6.若，則叫做的立方根，記作：，叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù).正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個負(fù)數(shù)，零的立方根是零。即：任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個。求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.7.立方根與開立方的性質(zhì)：；8.若（的整數(shù)），則x叫做a的n次方根；當(dāng)為奇數(shù)是，叫的奇次方根；當(dāng)為偶數(shù)是，叫的偶次方根；實數(shù)的奇次方根有且只有一個，表示為：正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù),正次方根表示為：，負(fù)次方根表示為：負(fù)數(shù)的偶次方根不存在.零的偶次方根為零，表示為.求一個數(shù)的次方根的運算叫做開n次方.叫做被開方數(shù)，叫做根指數(shù).9.估計無理數(shù)的范圍三、實數(shù)的運算1.實數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)等概念（1）絕對值：一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。（2）相反數(shù)：只有符號不同的的兩個數(shù)互為相反數(shù)。若互為相反數(shù)，則0（3）倒數(shù)：若兩個數(shù)的乘積為1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)，即：.2.兩個實數(shù)比較大小（1）性質(zhì)法：負(fù)數(shù)_小于_零__小于_正數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小。（2）數(shù)軸法：數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.（3）比差法：若，則。3.數(shù)軸上兩點的距離：如果A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為、，則AB＝4.實數(shù)的運算（三級六則運算）（1）加法法則：互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零；同號相加，取相同的符號，再把它們的絕對值相加；異號相加，取絕對值較大的符號，再用較大的絕對值減去較小的絕對值；任何數(shù)與0相加，和仍然是這個數(shù).（2）減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（3）乘法法則：同號相乘得正，異號相乘得負(fù),任何數(shù)與0相乘，積為零.（4）除法法則：除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).（5）混合運算：先算冪，再乘除，后加減；如果有括號，要先算括號里的.混合運算遵循交換律和結(jié)合律。（6）當(dāng)時，5.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)完全符合實際地表示一個量多少的數(shù)叫準(zhǔn)確數(shù)；與準(zhǔn)確數(shù)達(dá)到一定接近程度的數(shù)叫做近似數(shù)。6.精確度：（1）近似數(shù)的精確度通常有兩種表述方式，一是精確到哪一個數(shù)位，二是指定保留幾個有效數(shù)字.（2）有效數(shù)字：一個近似數(shù)從左邊第一個不為零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字。7.科學(xué)記數(shù)法：把一絕對值大于10（或小于1）的數(shù)用形式.四、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪就是一個數(shù)的指數(shù)為分?jǐn)?shù).即叫分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為有理數(shù)指數(shù)冪.（），（）。2.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：設(shè)為有理數(shù)，那么（1）＝，＝;（2）＝;（3）考點精講考點精講一．近似數(shù)和有效數(shù)字（共2小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）0.0520億保留到萬位，有3有效數(shù)字．【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度和有效數(shù)字的定義求解．【解答】解：0.0520億保留到萬位，有3個有效數(shù)字．故答案為：萬位，3．【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式．2．（2022春?松江區(qū)校級期中）將80450保留三個有效數(shù)字為8.05×104．【分析】先用科學(xué)記數(shù)法表示，然后把十位上的數(shù)字5進(jìn)行四舍五入即可．【解答】解：將80450保留三個有效數(shù)字為8.05×104．故答案為：8.05×104．【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式二．平方根（共2小題）3．（2022春?松江區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．任何正數(shù)都有平方根 B．任何實數(shù)都有平方根 C．（﹣2）2的平方根是﹣2 D．|﹣4|的平方根是2【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可．【解答】解：A、任何正數(shù)都有平方根，正確，符合題意；B、負(fù)數(shù)沒有平方根，故本選項錯誤，不符合題意；C、（﹣2）2的平方根是±2，故本選項錯誤，不符合題意；D、|﹣4|的平方根是±2，故本選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查的是平方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?靜安區(qū)期中）若2m﹣4與3m﹣1是同一個正數(shù)a的平方根，則m＝1或﹣3，a＝4或100．【分析】根據(jù)平方根的定義，求出m的值，進(jìn)而確定a的值即可．【解答】解：①當(dāng)2m﹣4與3m﹣1不相等時，有2m﹣4+3m﹣1＝0，解得m＝1，當(dāng)m＝1時，2m﹣4＝﹣2，3m﹣1＝2，所以a＝22＝4，此時，m＝1，a＝4，②當(dāng)2m﹣4與3m﹣1相等時，即2m﹣4＝3m﹣1，解得m＝﹣3，當(dāng)m＝﹣3時，2m﹣4＝﹣10，3m﹣1＝﹣10，所以a＝100，此時m＝﹣3，a＝100，故答案為：1或﹣3，4或100．【點評】本題考查平方根，理解平方根的定義是解決問題的關(guān)鍵．三．算術(shù)平方根（共4小題）5．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）有一個如圖的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸出值是4時，輸入的是（）A．8 B．16 C．4 D．8【分析】設(shè)輸入的數(shù)為x，根據(jù)輸出值是4即可求出答案．【解答】解：設(shè)輸入的數(shù)為x，∴＝4，∴x＝16，故選：B．【點評】本題考查的是算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)，掌握一個正數(shù)的正的平方根是這個數(shù)的算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵，注意有理數(shù)的概念．6．（2022春?靜安區(qū)期中）的平方根為（）A．±3 B．3 C． D．【分析】先將計算出來，再計算平方根即可求解．【解答】解：∵（﹣3）2＝9，∴＝＝3，∵（±）2＝3，∴3的平方根為±，即的平方根為±，故選：C．【點評】本題考查平方根，算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是先化簡式子，再利用平方根的定義求解．7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知＝2.493，＝7.882，則﹣＝﹣78.82，6.213×104的平方根是±249.3．【分析】根據(jù)平方根的計算得出結(jié)論即可．【解答】解：∵＝2.493，＝7.882，∴﹣＝﹣78.82，6.213×104的平方根是±249.3，故答案為：﹣78.82，±249.3．【點評】本題主要考查平方根的知識，熟練掌握平方根的知識，科學(xué)記數(shù)法的知識等是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）計算：＝﹣π．．【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝|π﹣|＝﹣π．故答案為：﹣π．【點評】本題考查了算術(shù)平方根和二次根式的化簡，掌握二次根式的化簡方法是解題的關(guān)鍵．四．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共2小題）9．（2022春?閔行區(qū)校級期末）若實數(shù)a、b滿足|a+2|+＝0，則a+b的正平方根是2．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，再利用算術(shù)平方根的定義得出答案．【解答】解：∵|a+2|+＝0，∴a+2＝0，b﹣6＝0，解得：a＝﹣2，b＝6，則a+b＝4，故a+b的正的平方根是：2．故答案為：2．【點評】此題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及平方根，掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．10．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知與|b﹣2|互為相反數(shù)，ab＝1．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0列式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：∵與|b﹣2|互為相反數(shù)，∴＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以，ab＝（﹣1）2＝1故答案為：1．【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)“幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0”列出方程．五．立方根（共6小題）11．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）已知a3＝﹣27，則實數(shù)a＝﹣3．【分析】a3＝﹣27，則a是﹣27的立方根，據(jù)此即可求解．【解答】解：a＝＝﹣3，故答案是：﹣3．【點評】本題考查了立方根，正確理解立方根的定義是關(guān)鍵．12．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）用冪的形式表示：＝．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義表示即可．【解答】解：＝，故答案為：．【點評】本題考查立方根，解題的關(guān)鍵是掌握立方根的定義及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示．13．（2022春?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．1的平方根是1 B．3次方根是本身的數(shù)有0和1 C．﹣m的3次方根是﹣ D．a(chǎn)＜0時，﹣a的平方根為±【分析】直接利用立方根以及平方根的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：A.1的平方根是±1，故此選項不合題意；B.3次方根是本身的數(shù)有0和1、﹣1，故此選項不合題意；C．﹣m的3次方根是﹣，故此選項符合題意；D．a(chǎn)＜0時，﹣a的平方根為±，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了立方根以及平方根，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）216的立方根是6．【分析】根據(jù)立方根的定義即可求出答案．【解答】解：由于63＝216，故216的立方根是6，故答案為：6．【點評】本題考查立方根，解題的關(guān)鍵是熟練運用立方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．（2022春?普陀區(qū)校級期末）下列說法中，不正確的是（）A．的立方根是±2 B．的立方根是2 C．的立方根是2 D．的立方根是﹣2【分析】利用立方根、算術(shù)平方根的定義一一進(jìn)行計算判斷即可．【解答】解：A.的平方根是±2，此選項錯誤，符合題意；B.的立方根是2，此選項正確，不符合題意；C.的立方根是2，此選項正確，不符合題意；D．﹣的立方根是﹣2，此選項正確，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了有關(guān)平方根，立方根的計算問題，解題關(guān)鍵在于運用法則進(jìn)行計算．16．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）如果＝3n，那么n＝﹣．【分析】先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計算．【解答】解：∵＝＝＝＝3n．∴n＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查平方根和立方根的運算，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是求解本題的關(guān)鍵．六．無理數(shù)（共3小題）17．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）若a、b是不相等的無理數(shù)，則（）A．a(chǎn)+b一定是無理數(shù) B．a(chǎn)﹣b一定是無理數(shù) C．a(chǎn)?b一定是無理數(shù) D．不一定是無理數(shù)【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義和性質(zhì)分析即可判定選擇項．【解答】解：A、當(dāng)a＝2﹣，b＝2+，a+b＝4，a+b是有理數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；B、當(dāng)a＝1+，b＝2+，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；C、當(dāng)a＝，b＝2，ab＝8ab是有理數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；D、若a、b是不相等的無理數(shù)，則不一定是無理數(shù)，原說法正確，故此選項符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算．無理數(shù)的運算法則與有理數(shù)的運算法則是一樣的．18．（2021春?普陀區(qū)期中）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．﹣6.94 B． C．0 D．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：A、﹣6.94是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；B、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；C、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；D、是無理數(shù)，故本選項符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.5757757775…（相鄰兩個5之間的7的個數(shù)逐次加1）等有這樣規(guī)律的數(shù)．19．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）下列各數(shù)中：0、﹣、、、π、0.3737737773…（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“3”之間“7”的個數(shù)依次加1個），無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：無理數(shù)有：﹣，π，0.3737737773…（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“3”之間“7”的個數(shù)依次加1個），共3個．故選：C．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．七．實數(shù)（共2小題）20．（2021春?靜安區(qū)期中）下列語句中正確的是（）A．0.001的算術(shù)平方根是0.1 B．1的n次方根（n是大于1的整數(shù)）是1 C．一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù) D．一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義判斷即可．【解答】解：A：0.001的算術(shù)平方根是，故原題說法不正確，不符合題意，B：舉例：1的2次方根是±1，故原題說法不正確，不符合題意，C：一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，故原題說法正確，符合題意，D：一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，也可能是0，故原題說法不正確，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義是解決此題的關(guān)鍵．21．（2021?越秀區(qū)校級二模）在﹣，，﹣，3.，﹣1，，|﹣1|中，有理數(shù)有（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義、無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得解．【解答】解：∵﹣是分?jǐn)?shù)，﹣＝﹣是分?jǐn)?shù)，3.是循環(huán)小數(shù)，|﹣1|＝1是整數(shù)，∴﹣，﹣，3.，|﹣1|是有理數(shù)，∴有理數(shù)有4個．故選：B．【點評】本題考查了實數(shù)，主要利用了有理數(shù)和無理數(shù)定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵．八．實數(shù)的性質(zhì)（共2小題）22．（2021春?徐匯區(qū)校級期中）已知，那么（xy）2021的值＝﹣1．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x，y的值，再利用有理數(shù)的乘方運算法則得出答案．【解答】解：∵|x﹣|+＝0，∴x﹣＝0，y+＝0，∴x＝，y＝﹣，∴（xy）2021＝[×（﹣）]2021＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運算，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．23．（2021春?浦東新區(qū)期中）﹣的絕對值是．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣的絕對值是．故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身．九．實數(shù)與數(shù)軸（共2小題）24．（2022春?普陀區(qū)校級期末）在數(shù)軸上表示2的點與表示﹣的點之間的距離為3．【分析】數(shù)軸上兩點間的距離，即兩點對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值．【解答】解：在數(shù)軸上，表示2的點與表示﹣的點之間的距離為2﹣（﹣）＝3．故答案為：3．【點評】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值的有關(guān)內(nèi)容，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．25．（2022春?閔行區(qū)校級期末）在數(shù)軸上，如果點A表示的數(shù)是，那么到點A的距離等于2個單位的點所表示的數(shù)是+2或﹣2．【分析】到點A的距離等于2個單位的點有2個，分別位于點A的右側(cè)和左側(cè)，分別求解即可．【解答】解：如果這個點在點A的右側(cè)，表示的數(shù)為+2；如果這個點在點A的左側(cè)，表示的數(shù)為﹣2；故答案為：+2或﹣2．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，體現(xiàn)了分類討論的思想，掌握到點A的距離等于2個單位的點有2個是解題的關(guān)鍵．一十．實數(shù)大小比較（共2小題）26．（2022春?閔行區(qū)校級期中）比較大小：＜（用“＞”、“＜”“＝”）．【分析】先通分，分母為20，比較分子5（﹣1）與4的大小關(guān)系，估算5＝的大小，從而得結(jié)論．【解答】解：∵＝，＝，∵5＝，且8＜＜9，∴8﹣5＜﹣5＜9﹣5，∴3＜5﹣5＜4，∴＜，∴＜．故答案為：＜．【點評】此題考查無理數(shù)的估算，注意找出最接近的取值范圍的數(shù)值．27．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）比較大?。憨?＜﹣﹣2．（填＞、＝或＜）【分析】根據(jù)＜3，則+2＜5，再判斷負(fù)數(shù)即可．【解答】解：∵＜3，則+2＜5，∴﹣5＜﹣﹣2，故答案為：＜．【點評】本題主要考查實數(shù)大小比較，熟練根據(jù)正數(shù)的大小比較其相反數(shù)大小是解題的關(guān)鍵．一十一．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）28．（2022春?閔行區(qū)校級期中）﹣3的小數(shù)部分是﹣10．【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【解答】解：∵100＜117＜121，∴10＜＜11，∴7＜﹣3＜8，∴﹣3的小數(shù)部分是﹣3﹣7＝﹣10．故答案為：﹣10．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．29．（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，則3a﹣b+c的平方根為±4．【分析】根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的定義求出a，b的值，估算無理數(shù)的大小得到c的值，代入代數(shù)式求值，最后求平方根即可．【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，∴a＝5，b＝2，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴c＝3，∴3a﹣b+c＝3×5﹣2+3＝15﹣2+3＝16，∴16的平方根為±4．故答案為：±4．【點評】本題考查了平方根，估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意一個正數(shù)的平方根有2個，不要漏解．30．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知n＜＜n+1，那么整數(shù)n＝3．【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【解答】解：∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∴n＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．一十二．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（共6小題）31．（2022春?松江區(qū)校級期中）（﹣9）2的四次方根是±3．【分析】根據(jù)四次方根的定義即可求出答案．【解答】解：由于（﹣9）2＝81，∴81的四次方根是±3，故答案為：±3．【點評】本題考查四次方根，解題的關(guān)鍵是熟練運用四次方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．32．（2022春?閔行區(qū)校級期中）計算：×＝35．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案．【解答】解：原式＝5×7＝35，故答案為：35．【點評】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，解題的關(guān)鍵是熟練運用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．33．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）把寫成底數(shù)是整數(shù)的冪的形式是．【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的法則，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：＝＝＝，∴把寫成底數(shù)是整數(shù)的冪的形式是，故答案為：．【點評】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，熟練掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的法則是解題的關(guān)鍵．34．（2022春?閔行區(qū)校級月考）計算：．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則，二次根式的運算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算即可．【解答】解：原式＝﹣3×÷+﹣1＝﹣3+﹣1＝4﹣2﹣1＝3﹣2．【點評】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，二次根式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則，二次根式的運算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是關(guān)鍵．35．（2022春?閔行區(qū)校級期末）利用冪的性質(zhì)計算（寫出計算過程）：．【分析】直接利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)將原式變形進(jìn)而計算得出答案．【解答】解：原式＝×＝×＝×＝50＝1．【點評】此題主要考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．36．（2022春?閔行區(qū)校級期末）利用冪的性質(zhì)計算：．【分析】先轉(zhuǎn)換成底數(shù)相同的冪，再利用同底數(shù)冪乘法與除法（底數(shù)不變，指數(shù)相加減）解決此題．【解答】解：＝＝＝＝＝32＝9．【點評】本題主要考查n次方根，即＝（其中n為正整數(shù)且a為正實數(shù)）、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、n次方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021春·上海浦東新·七年級校聯(lián)考期末）16的平方根是（

）A．8 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平方根可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴16的平方根是；故選D．【點睛】本題主要考查平方根，熟練掌握求一個數(shù)的平方根是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級單元測試）在數(shù)字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相鄰兩個2之間1的個數(shù)逐次多1）中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐個判斷即可．無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，常見形式有：①開方開不盡的數(shù)，如等；②無限不循環(huán)小數(shù)，如0.101001000…等；③含π的基本都是無理數(shù)．【詳解】解：無理數(shù)有：，，2.121121112…（相鄰兩個2之間1的個數(shù)逐次多1），共3個，故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級單元測試）下列說法正確的是（

）A．一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，則這個數(shù)是，0B．一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身，則這個數(shù)一定是0，1C．一個數(shù)的絕對值等于它本身，則這個數(shù)一定是正數(shù)D．一個數(shù)的平方等于1，則這個數(shù)是【答案】D【分析】根據(jù)倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值、平方定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：0沒有倒數(shù)，故選項A錯誤；1的相反數(shù)是，故選項B錯誤；0的絕對值也是0，故選項C錯誤；，故選項D正確；故選D．【點睛】本題考查倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值、平方定義，解題關(guān)鍵是知道幾個定義的一些特殊值．4．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)立方根及n次方根可進(jìn)行求解．【詳解】解：A、由可得，故原計算錯誤；B、由，可知，故原計算錯誤；C、由可得，故原計算正確；D、，故原計算錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查立方根及n次方根，正確計算是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上海閔行·七年級上海市實驗學(xué)校西校?？茧A段練習(xí)）下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．0.20200200020．【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：、、0.20200200020是有理數(shù)，是無理數(shù)．故選：A．【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的定義，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．6．（2023春·七年級單元測試）如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四點，則所表示的數(shù)與最接近的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和無理數(shù)的估算方法求出的范圍即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，∵，∴，∴，∴D點離得近一些，故選D．【點睛】本題考查實數(shù)在數(shù)軸上的位置及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根式的性質(zhì)求出其取值范圍．7．（2022春·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）下列等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方根與立方根的定義，逐個計算得結(jié)論．【詳解】解：A、，故選項錯誤，不符合題意；B、，故選項錯誤，不符合題意；C、，故選項錯誤，不符合題意；D、，故選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)與化簡，掌握平方根和立方根的定義解決本題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2023春·七年級單元測試）把寫成冪的形式是_____．【答案】【分析】利用公式換算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計算公式，熟練運用公式是解題關(guān)鍵．9．（2023春·七年級單元測試）4的平方根是______；算術(shù)平方根是______；是______的立方根．【答案】

2

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的計算方法計算即可；【詳解】解：4的平方根：，算術(shù)平方根：；∵，∴是的立方根，故答案是：，2，．【點睛】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根的求解，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·七年級單元測試）如圖，實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后為_______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸確定的取值范圍，再進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：由圖可知：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查二次根式和絕對值的化簡．根據(jù)數(shù)軸確定的取值范圍，是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023春·七年級單元測試）已知，且，則________．【答案】1或##或1【分析】利用絕對值的定義求出，利用平方根的定義求出，利用立方根的定義求出．再根據(jù)，得到異號，最后分類討論代入求值即可．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴．綜上可知或．故答案為：1或．【點睛】本題考查代數(shù)式求值、絕對值的定義、平方根的定義、立方根的定義．正確求出a，b，c的值，并利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．12．（2021春·上海崇明·七年級統(tǒng)考期末）如果，那么_____．【答案】##﹣0.5【分析】根據(jù)條件可求出x與y的值，然后代入原式即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴；故答案為：【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是正確求出x與y的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題13．（2023春·七年級單元測試）將下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的集合里．①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．整數(shù)集合：；分?jǐn)?shù)集合：；負(fù)數(shù)集合：；有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：．【答案】故答案為：，，，，【分析】根據(jù)實數(shù)的分類解答即可．【詳解】解：整數(shù)集合：；分?jǐn)?shù)集合：；負(fù)數(shù)集合：；有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：．故答案為：，，，，．【點睛】此題考查實數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)實數(shù)的分類解答．14．（2023春·七年級單元測試）計算：．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及數(shù)的乘方，開方法則分別計算出各數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及數(shù)的乘方，開方法則．熟知分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·七年級單元測試）用的運算性質(zhì)計算：（結(jié)果表示為含冪的形式）【答案】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則、積的乘方法則計算即可．【詳解】解：=．【點睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則．16．（2023春·七年級單元測試）計算：．【答案】【分析】先根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的乘法，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，同底數(shù)冪的乘法法則計算，再算乘法，后算加減即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的乘法，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，同底數(shù)冪的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022春·上海閔行·七年級上海市七寶中學(xué)校考期中）計算：【答案】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，零次冪，負(fù)整數(shù)次冪的運算法則計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，零次冪，負(fù)整數(shù)次冪的運算法則，解題的關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，零次冪，負(fù)整數(shù)次冪的運算法則能夠正確計算．18．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）計算：﹣＋÷|0.77﹣1|．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義計算求值即可；【詳解】解：原式＝﹣3﹣+（7﹣0.1）÷（1﹣0.77），＝﹣3﹣+6.9÷0.23，＝﹣3﹣+30，＝26；【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根以及立方根的計算、絕對值的化簡等知識，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．19．（2022秋·上?！て吣昙壠谀┤绻麛?shù)x能夠?qū)懗蓛蓚€正整數(shù)a與b的和與它們的乘積之和，即x＝a＋b＋ab，那么x叫做“和諧數(shù)”，其中a＋b＋ab叫做x的“表達(dá)式”．例如，因為5＝1＋2＋1×2，24＝4＋4＋4×4，所以5與24都是“和諧數(shù)”．(1)3與20都是“和諧數(shù)”，請分別寫出它們的“表達(dá)式”：3＝

20＝(2)如果正偶數(shù)y是兩位數(shù)且y是“和諧數(shù)”，那么y的最小值是；(3)在小于20的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共有個；(4)如果“和諧數(shù)”x＝a＋b＋ab，其中a＝n2，b＝（n＋1）2，n是正整數(shù)，請說明“和諧數(shù)”x是一個完全平方數(shù)．【答案】(1)3＝1＋1＋1×1；20＝2＋6＋2×6(2)14(3)11(4)見解析【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義直接寫出3和20的表達(dá)式即可；（2）由y是正偶數(shù)知，a與b都是偶數(shù)，從最小的非零偶數(shù)開始試即可得出結(jié)果；（3）設(shè)正整數(shù)m為“和諧數(shù)”，令a≤b，當(dāng)a＝1時，根據(jù)m＜20，求出b的值進(jìn)而求出“和諧數(shù)”，同理求出a＝2時，a＝3時，a＝4時求出“和諧數(shù)”，排除重復(fù)的“和諧數(shù)”，即為所求．（4）因正整數(shù)x是“和諧數(shù)”，x＝n2+（n+1）2+n2（n+1）2，整理后可得x＝[n2+（n+1）]2，即可證明x是一個完全平方數(shù)．(1)3＝1＋1＋1×1；20＝2＋6＋2×6；故答案為：1＋1＋1×1；2＋6＋2×6；(2)因為y是正偶數(shù)且為兩位數(shù)，所以a、b都是偶數(shù)，令a和b取最小的正偶數(shù)，即a＝2，b＝2，得2＋2＋2×2＝8，不符合題意，舍去；再令a＝2，b＝4，得2＋4＋2×4＝14，符合題意；故y最小值為14，故答案為：14；(3)設(shè)正整數(shù)m為“和諧數(shù)”，令a＝1且b＝x時，則m＝1＋x＋1?x＝2x＋1＜20，得x＜9.5，故x可取1、2、3、4、5、6、7、8、9，解得m＝3、5、7、9、11、13、15、17、19共9個；令a＝2且b＝x（不等于1），則m＝2＋x＋2x＝3x＋2＜20，得x＜6，故x取2、3、4、5，故得m＝8、11、14、17，其中不與a＝1時重復(fù)的有兩個；當(dāng)a＝3且b＝x（不等于1且不等于2），則m＝3＋x＋3x＝4x＋3＜20，得x＜4.25，故x可取3或4，得m＝15、19，與上述不重復(fù)的有0個；令a＝4且b＝x（x不等于1且不等于2且不等于3），m＝5x＋4＜20，得x＜3.2，此時x無解；綜上所述：“和諧數(shù)”共9＋2＝11個，故答案為：11；(4)＝＝＝＝＝，故此時“和諧數(shù)”x是一個完全平方數(shù)．【點睛】本題主要考查對新定義的理解，以及完全平方數(shù)的知識，正確理解“和諧數(shù)”的定義及熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀材料，完成下列問題：材料一：若一個四位正整數(shù)（各個數(shù)位均不為0），千位和十位數(shù)字相同，百位和個位數(shù)字相同，則稱該數(shù)為成對數(shù)，，例如5353、3535都是成對數(shù)材料二：將一位四位正整數(shù)m的百位和十位交換位置后得到四位數(shù)n，F(xiàn)（m）=，（1）F(1234)=：F(3232)=（2）試證明任意成對數(shù)能被101整除；（3）若t為一個成對數(shù)，另一個成對數(shù)s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的F（t）的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）按照F（m）＝進(jìn)行求解；（2）設(shè)成對數(shù)個位、百位數(shù)字為a，十位、千位數(shù)字為b，然后根據(jù)定義成對數(shù)的數(shù)值進(jìn)行整理后可以得到解答；（3）可設(shè)t=m+100m+10n+1000n，則由題意可以用m、n表示出F（s）＋F（t），再根據(jù)題意由完全平方數(shù)的意義可以得到結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意可得：F（1234）＝=，F(xiàn)（3232）＝=，故答案為；（2）設(shè)某成對數(shù)個位、百位數(shù)字為a，十位、千位數(shù)字為b，則其值為：a+100a+10b+1000b=101a+1010b=101（a+10b），∵a、b為整數(shù)，∴a+10b為整數(shù)，∴任意成對數(shù)能被101整除；（3）設(shè)t=m+100m+10n+1000n，則：F（t）=，由題意可得：F（s），∴F（s）＋F（t）=360+=90，∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴0≤|m